1-amaliy mashg’ulot. Chiziqli fazolar. Chiziqli va qavariq funksionallar. Minkovskiy funksionali

1-amaliy mashg’ulot. Chiziqli fazolar. Chiziqli va qavariq funksionallar. Minkovskiy funksionali
Bu mavzuga doir misollarni yechish uchun talaba chiziqli fazo ta’rifi, qism fazo, bazis, faktor fazo tushunchalari bilan tanish bo’lishi kerak.
1-misol. Barcha nolga yaqinlashuvchi ketma – ketliklardan iborat.

to’plamni qaraylik.
Bu to’plamda qo’shish va skalyar songa ko’paytirish amallarini quyidagicha aniqlaymiz:

, .
Ushbu

munosabatlardan va ekanligi kelib chiqadi.
Endi yuqorida aniqlangan yig’indi va songa ko’paytirish amallari uchun chiziqli fazo aksiomalari o’rinli ekanligini tekshiramiz. Ketma – ketlik hadlari sonlardan iborat ekanligini nazarda tutgan holda, quyidagilarga ega bo’lamiz.
1. ;
2. ;
3. Barcha hadlar nollardan iborat ketma - ketlik «nol» element, ya’ni rolini bajaradi, haqiqatan ham dagi ixtiyoriy element uchun
4. ning har qanday elementi uchun qarama-qarshi element _{dan iborat.}
5.
6.
7.
8.
Ta’rif. chiziqli fazoda elementlar berilgan bo’lsin. Agar kamida biri noldan farqli bo’lgan sonlar topilib, ushbu munosabat bajarilsa, elementlar chiziqli bog’liq deyiladi. Aks holda, ya’ni tenglikdan ekanligi kelib chiqsa, elementlar chiziqli bog’lanmagan (yoki erkli) deyiladi. Masalan, amallar odatdagidek aniqlangan fazodan olingan va vektorlar chiziqli bog’lanmagan, chunki tenglik tenglamalar sistemasiga teng kuchli, bu esa faqat yechimga ega.
2-misol. Amallar odatdagidek aniqlangan fazoda
a)
b)
funksiyalar chiziqli erklimi?
Echish. a) Ushbu ayniyatga ko’ra, bo’lgani bo’ladi, ya’ni berilgan funksiyalar chiziqli bog’liq.
b) munosabat bajarilsin, ya’ni barcha uchun tenglik o’rinli bo’lsin. Xususan deb olsak, mos ravishda tengliklarni hosil qilamiz. Bu yerdan esa ekanligi kelib chiqadi.
Demak, berilgan funksiyalar chiziqli bog’lanmagan ekan.