1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

AB _
AE AD
tenglik o‘rinlidir (86- rasm).
AE AD
Isbot. Proporsiyaning xossasini tatbiq etib, yuqorida isbotlangan = -=-77
EB DC
EB DC
proporsiyani -je = JD ko‘rinishda yozib olamiz va uning ikkala qismiga 1 ni qo‘shsak, yana to‘g‘ri tenglik hosil bo‘ladi. Demak,
E
AD + DC AD
B , DC , AE + EB
~TF + ¹ = -TFT + 1 yoki —JT,—
AE AD AE
So‘nggi tenglikka AE + EB = AB va AD + DC=AC ifodalarni qo‘ysak, talab qilinayotgan tenglik kelib chiqadi:
AB = AC AE AD .

1. 
   masala. Uchta kesma berilgan: a = 6 sm, b = 3 sm, c = 4 sm. To‘rtinchi d kesmaning uzunligi qanday bo‘lganda bu to‘rtta kesma proporsional bo‘ladi (izlangan d kesma berilgan kesmalarning har biridan katta bo‘lish sharti bilan)?
   

Yechilishi. Berilganlarni va shartni hisobga olsak, b< c < a< d ekani ravshan. Buning uchun berilgan kesmalar ichidan ikkita eng kattasining uzunlik- larini ifodalovchi sonlar ko‘paytmasini eng kichigiga bo‘lish kifoya, ya’ni d = a • c : b = 6-4:3 = 8 (sm).
Javob: d = 8 sm.

2. 
   masala. Uchburchak ichki burchagining bissektrisasi shu burchak qar- shisidagi tomonni qolgan ikki tomonga proporsional bo‘laklarga bo‘ladi. Shuni isbot qiling.
   

Isbot. ABC uchburchakda AD kesma A burchakning bissektrisasi bo‘lsin, u holda Z1 = Z2 bo‘ladi (88- rasm). BD: DC=AB: AC ekanini isbotlaymiz. DA ga parallel va BA ning davomini E nuqtada kesuvchi CE to‘g‘ri chiziqni o‘tkazamiz. AEC va ACE burchaklarni, mos ravishda, 3 va 4 bilan belgilaymiz. U vaqtda DA va CE parallel to‘g‘ri chiziqlarni BE kesuvchi bilan kesishishidan hosil bo‘lgan mos burchaklar bo‘lgani uchun Z1 = Z3. Shu parallel to‘g‘ri chiziqlarni AC kesuvchining kesishidan hosil bo‘lgan ichki almashinuvchi burchaklar bo‘lgani uchun Z2 = Z4.
Shartga ko‘ra, Z1 = Z2 (AD — bissektrisa), shuning uchun Z3 = Z4 bo‘ladi (uchburchakda teng burchaklar qarshisida teng tomonlar yotadi). Demak, A CAE — teng yonli, ya’ni AE=AC (teng burchaklar qarshisida yotgan tomonlar bo‘lgani uchun).
Proporsional kesmalar haqidagi teoremaga asosan: BD: DC=AB: AE pro- porsiyani hosil qilamiz. Bu proporsiyadagi AE kesmani o‘ziga teng AC kesma bi­lan almashtirsak,
BD : DC = AB : AC
hosil bo‘ladi.
Shuni isbotlash talab etilgan edi.
Savol, masala va topshiriqlar

170. 
     1) Ikki kesmaning nisbati deganda nimani tushunasiz?
     

2. 
   Ikki kesmaning nisbati o‘lchov birligiga bog‘liqmi?
   
3. 
   Proporsional kesmalar deb nimaga aytiladi?
   
4. 
   Proporsiyaning avvaldan ma’lum bo‘lgan xossalarini ayting va for­mula ko‘rinishida yozing.
   
5. 
   P roporsional kesmalar haqidagi teoremani ifodalang.
   

171. 
     AC = 8 sm va BD = 16 sm. 1) Bu kesmalar uzunliklarining nisbatini to­ping. 2) Olingan kesmalarning uzunliklari detsimetrda (millimetrlarda, metrlarda) ifodalansa, ular uzunliklarining nisbati o‘zgaradimi?
     
172. 
     1) C nuqta AB kesmani AC: CB = 3:2 nisbatda bo‘ladi. AC: AB va AB: CB nisbatlarni toping.
     

2) C nuqta AB kesmani AC: CB = 2:3 nisbatda bo‘ladi. AC kesmaning uzunligi 4,8 dm. AB va CB kesmalarning uzunliklarini toping.

173. 
     1) Agar ikki kesmaning nisbati 2,5 : 1,5 kabi, qolgan ikkitasining nisbati 75 : 45 kabi bo‘lsa, bu kesmalar proporsionalmi?
     

2) a bilan b va c bilan d kesmalar bir-biriga proporsional kesmalar. Agar a = 5 sm, b = 80 mm, d = 1 dm bo‘lsa, c ni toping.

174. 
     Uzunliklari quyidagicha bo‘lsa, a, b va c, d kesmalar proporsional bo‘- ladimi:
     

1. 
   a = 1,6 sm, b = 0,6 sm, c = 4,8 sm, d = 1,8 sm;
   
2. 
   a = 50 sm, b = 6 dm, c = 10 dm, d = 9,5 dm?
   

175. 
     Ikki parallel to‘g‘ri chiziq O burchakning bir tomonini A va B nuqtalar- da, ikkinchi tomonini esa C va D nuqtalarda kesadi. Agar OD = 25 sm va OA : OB = 2 : 5 bo‘lsa, OC kesmaning uzunligini toping (89- rasm). Yechilishi. Proporsional kesmalar haqidagi teoremaga ko‘ra: OC: OD = 2:5. Kesmalardan kichigini OC = 2x bilan belgilaymiz. U holda OD = 5x = 25 sm bo‘ladi. Bundan x = 5 sm. Demak, izlanayot- gan kesma OC = 10 sm ga teng.
     

Javob: OC = 10 sm.

176. 
     Ikkita AB va CD kesmalar berilgan. E va F nuqtalar, mos ravishda, AB va CD kesmalarda yotadi. AE, EB va CF, FD kesmalar proporsional. AB • FD = CD • EB ekanini isbotlang.
     
177. 
     Agar parallel to‘g‘ri chiziqlar A burchakning tomonlarini B, C va E, F nuqtalarda kessa, u holda
     

BC _ AB_
IF ~AE
tenglik o‘rinlidir (90- rasm). Ko‘rsatma. Qo‘shimcha EP|| AC o‘tkazilgan.

178. 
     ( Amaliy masala.) A punktdan B punktgacha (91- rasm) bo‘lgan masofani aniqlash uchun (B punkt A dan ko‘rinadi, ammo unga borib bo‘lmaydi) ixtiyoriy AC to‘g‘ri chiziq, so‘ngra AB va CB to‘g‘ri chiziqlar o‘tkaziladi (C nuqtadan B punkt ko‘rinadi). CA to‘g‘ri chiziqda C nuqtadan bosh- lab CF kesma ajratiladi va AB ga parallel qilib EF to‘g‘ri chiziq o‘tka-
     

ziladi. AC, EF va CF kesmalarni o‘lchash bilan AB masofa qanday topiladi? AC = 200 m, CF = 50 m va EF = 150 m deb olib, hisoblashni bajaring.

179. 
     C nuqta AB kesmani AC: CB = 1:2 nisbatda bo‘ladi. AC:AB va CB : AB nisbatlarni toping.
     
180. 
     1) Kesma 4 : 3 nisbatda ikki bo‘lakka bo‘lingan. Agar kichik bo‘lak kat- tasidan 5 sm qisqa bo‘lsa, kesmaning har bir bo‘lagi uzunligini toping.