1-§. To’plamlar ustida amallar va akslantirishlar

10-§. Metrik fazolar.

Ta’rif: Agar biror X to’plamning o’zini - o’ziga to’g’ri ko’paytmasi ni to’plamga aks ettiruvchi funksiya berilgan bo’lib, u quyidagi shartlarni qanoatlantirsa,

1) ; tenglik faqat va faqat bo’lganda o’rinli,

2) (simmetriklik aksiomasi),

3) (uchburchak tengsizligi aksiomasi)

u holda funksiyaga to’plamda aniqlangan metrika deyiladi.

Agar to’plamda metrika aniqlangan bo’lsa juftlikka metrik fazo deyiladi.

Misollar:1) ixtiyoriy to’plam elementlari uchun

deb olsak, metrik fazoga ega bo’lamiz.

2) Haqiqiy sonlar to’plami masofa bilan metrik fazo tashkil qiladi .

3. 
   n ta haqiqiy sonning tartiblangan gruppalar to’plami.
   

<sub>Ixtiyoriy

,

elementlar uchun</sub>

masofa bilan aniqlangan o’lchovi fazo Evklid fazosi deyiladi va

_{kabi belgilanadi.}

uchun 1) va 2) shartlar bajariladi. 3) shartni bajarilishini ko’rsatamiz.

, , bo’lsin.

U holda uchburchak tengsizligiga ko’ra

(1)

, deb olib ni olamiz, so’ngra (1) ni quyidagi ko’rinishda yozamiz:

, (2)

Bu tengsizlik

(3)
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi, haqiqatan

va bu (2) tenglikni beradi. (1) isbotlandi.

4) - n ta haqiqiy sonning tartiblangan gruppalar to’plami.

(4)

masofa bilan metrik fazo tashkil qiladi.

(5)

masofa bilan metrik fazo tashkil qiladi.

5) segmentda aniqlangan barcha uzluksiz haqiqiy funksiyalar fazosi

(6)

metrika bilan metrik fazo tashkil qiladi.

6) Haqiqiy sonlardan tuzilgan

shartni qanoatlantiruvchi barcha mumkin bo’lgan ketma-ketliklar fazosi da metrika

(7)

kiritiladi. munosabatdan barcha uchun (7) yig’indi ma’noga ega bo’ladi. Ya’ni _bo’lsa,

qator yaqinlashuvchi bo’ladi.

Uchinchi shartni bajarilishini tekshiramiz.

(8)

(3) misoldagi kabi belilashlar kiritsak) har bir tayin da

o’rinli ekanini ko’rsatgan edik. da limitga o’tib (8) ni hosil qilamiz. Bu yerda har bir qator yuqorida aytilganiga ko’ra yaqinlashuvchi bo’ladi.

7) segmentda aniqlangan barcha uzluksiz haqiqiy funksiyalar fazosida
(9)

metrikani kiritamiz. Bunda metik fazo kabi belgilanadi.

Bu fazoda ham metrika shartlarini tekshiramiz 1) va 2) oson ko’rsatiladi, uchinchi shartni bajarilishini ko’rsatamiz.

Koshi- Bunyakovkiy tengsizligidagidan kelib chiqadi.

Bu tengsizlik esa quyidagi


ayniyatdan kelib chiqadi.

8) to’plamda

(10)

metrika kiritamiz. metrik fazo bo’ladi.

9) n ta haqiqiy sonning tartiblangan gruppalar to’plami da

(11)

metrika kiritamiz. metrik fazo tashkil qiladi. Bu yerda - ixtiyoriy tayinlangan son.

1) va 2) shartlar bajarilishi ko’rsatish oson, 3) ni tekshiramiz.



dan olingan 3 ta nuqta bo’lsin.

, deb olamiz ,

tengsizlik

(12)

ko’rinishni oladi. Bu Minkovskiy tengsizligi deyiladi.

da Minkovskiy tengsizligi oddiy isbotlanadi (yig’indining moduli modullar yig’indisidan oshmaydi), shuning uchun deb xisoblaymiz.

(12) tengsizlikning isboti da Gyolder tengsizligi deb aytiluvchi quyidagi tengsizlikka asoslangan:

, (13)

bu yerda , va , ya’ni

, (14)

(13) tengsizlik bir jinsli. Agar u

,

2 ta vektor uchun bajarilsa, va vektorlar uchun ham bajarilishini ko’rsatadi, bu yerda ixtiyoriy sonlar. Shuning uchun (13) ni

(15)

bo’lgan xol uchun isbotlash yetarli.

(15) shart bajarilsin. U holda (13) tengsizlik

(16)

ko’rinishga keladi.

tekislikda funksiyani qaraymiz (yoki chiziqlarni qaraymiz)

Chizmadan ko’rinadiki, ixtiyoriy a va b musbat sonlari uchun

tengsizlik bajariladi.

va ni hisoblaymiz.

Shunday qilib, sonli tengsizlik o’rinli.

Bu yerda a ni bilan, b ni bilan almashtirib va bo’yicha 1 dan n gacha yig’ib, (14) va (15) ni etiborga olib

ni hosil qilamiz. (16) tengsizlik isbotlandi.