1. § Функции Бесселя мнимого аргумента

ности, при

Аналогично,

Из формул (62) непосредственно вытекают следующие соотношения между функциями Ханкеля, у которых значок отличается лишь знаком:

Далее, так как функции Ханкеля выражаются линейно через функции и , то они удовлетворяют тем же рекуррентным формулам, что и эти функции, а именно:

В заключение этого параграфа приведем без доказательства асимптотические представления функций Ханкеля:
1. § 7. Функции Бесселя мнимого аргумента
Во многих задачах математической физики встречается уравнение

Нетрудно проверить, что это уравнение получается из уравнения Бесселя после замены в последнем на ix Следовательно, функция есть частное решение уравнения . Так как урав-

нение (65) однородно, то произведение на произвольную постоянную есть также решение данного уравнения. Выберем эту постоянную равной и введем обозначение

При указанном выборе постоянной рассматриваемое нами частное решение уравнения (65) будет выражаться рядом

Функция также является решением уравнения , и если не целое число, то и суть два линейно-независимых решения уравнения (65). Если - целое число, то функции и линейно-зависимы, так как

что непосредственно вытекает из формул (66) и (16).
Для получения общего решения уравнения (65) надо найти другое, линейно-независимое от , частное решение.
Это частное решение, носящее название функции Макдональда, берется в виде

При целом правая часть равенства (69) принимает неопределенный вид, что легко следует из соотношения (68). Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим следующее выражение для функции при целом :

B частности,

Отметим, что при .
Так как и суть два линейно-независимых решения уравнения (65) при любом значении , то его общее решение можно написать в таком виде:

где и произвольные постоянные.
B заключение заметим, что растет неограниченно при , а функция стремится к нулю при , как это видно из асимптотических представлений этих функций, приводимых здесь без доказательства:

3 АДАчИ

1. 
   Доказать формулы.
   

2. 
   Разложить в ряд Фурье- Бесселя функцию . Ответ :
   

3. 
   Разложить в интервале функцию в ряд по функциям
   

где -положительные корнн уравнения.

Omвem:

4. 
   Доказать справедливость разложения
   

и получить отсюда формулы Бесселя

Ук а за н и е. Воспользоваться формулой (57).

5. 
   Доказать справедливость формул:
   
6. 
   Доказать, что
   

У к аз а н и е. Воспользоваться дифференциальным уравнением для функции .
rsa B a XIV

2. & 1. Свободные колебания подвешенной нити
Рассмотрим тяжелую однородную гибкую нить длины . Нить закреплена верхним концом в точке и совершает колебания под действием силы тяжести. Максимальное отклонение ее нижнего конца от вертикали равно . За ось примем вертикальное направление, вдоль которого расположится нить, когда под действием своего веса она займет прямолинейное положение. Обозначим через отклонение точек нити от положения равновесия в момент времени (рис. 22).
Будем рассматривать малье колебания такие, что можно пренебречь квадратом производной по сравнению с единицей. Тогда

где -угол между касательной в точке с абсциссой к нити в момент времени и положительным направлением оси .
Натяжение нити в точке с абсциссой равно весу части нити, расположенной вниз от , т. е. , где -линейная