Ў збекистон Республикаси Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги

8-маъруза. Мухандислик масалаларини моделлаштириш. Қурилишнинг баъзи бир масалаларини математик моделини қуриш

Ҳаётда учрайдиган кўплаб масалалар, ўзига хос механик қонуниятлар, физик хусусиятлар ва математик моделлар асосида хал этилади. Қуйида қурилиш конструкция сохасида фойдаланиладиган тўсиннинг эгилишини буралиш бурчаги ( ) ва силжиши ( ) ни хисобга олган холда хисоблашнинг математик моделини яратамиз.

X,Y,Z ўқлар бўйича стержин нуқталарининг кўчиши қуйидагича аниқланади.
(1)

Кўчишлар асосида стержиннинг деформацияланишини ифодалаймиз (Коши формуласи);
(2)
Зўриқиш ва деформация ўртасидаги мувозанат қуйидагича аниқланади (Гук қонуни);
(3)
10-11-маъруза. Мухандислик масалаларини моделлаштириш. Лагранжнинг вариацион принципи асосида келтириб чиқарилган чегаравий масалалар

Фазовий куч таъсиридаги стерженнинг мувозанат тенгламасини чиқаришда қуйидаги Лагранж вариацион принципидан фойдаланилади:

(4)
Бу ерда -потенциал энергия вариацияси бўлиб, у қуйидагича аниқланади:
(5)
-ташқи кучлар вариацияси бўлиб, у қуйидагича аниқланади
(6)
Потенциал энергия вариациясини қуйидагича ёзамиз:
(7) тенгламани қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин:
(8) тенгламани соддароқ кўринишда айрим алмаштиришлар орқали ёзамиз:
Энди қуйидаги белгилашларни киритамиз:

(10)

Ушбу тенгламадаги варияцияда хосила қатнашганлиги учун бўлаклаб интеграллаш формуласини қўллаймиз ва қуйидаги тенгламага эга бўламиз:
(11) тенгламадан хар бир параметр (яъни ) ларни варияцияси бўйича гуруппалаймиз ва унга қуйилган чегаравий шартни оламиз.
(12)
(4) Лагранж принципига асосан иккинчи тартибли дифференциал тенгламани келтириб чиқаришга ҳаракат қиламиз.
Бунинг учун (12) тенгламадаги параметрларни ўлчовсиз ҳолатга ўтказамиз ва (4) Лагранж вариацион принципи бўйича муносабатдан фойдаланиб тенгламани ёзамиз.

ўлчовсиз катталиклар асосида олинган тенгламани га кўпайтирамиз.

Натижада 3 номалумли 3 та тенгламалар системасига эга бўлдик.

(13),(14) тенгламалар системаси ва уларни чегаравий шартларини соддароқ кўринишда ифодалаймиз. Бунинг учун вектор функция киритамиз ва юқоридаги тенгламалар системасини вектор кўринишида ёзамиз.
(14)
Бу ерда A,B,C,D-учинчи тартибли квадрат матрицалар F-вектор.
(15)
бу ерда

Ишлаб чиқилган (14) тенглама иккинчи тартибли чизиқли оддий дифференциал тенглама, қўйилган масала яъни буралиш бурчаги ва силжиш ни ҳисобга олган ҳолда тўсининг эгилиши ни тадқиқ этиш учун математик модел ҳисобланади.