Ў збекистон Республикаси Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги

13-маъруза. Чизиқли моделлаштириш масаласининг умумий қуйилиши. Чизиқли дастурлаш масалаларини MathCad ёрдамида ечиш.


Математик программалаш куйилган максадга эришиш учун чекланган ресурсларни энг яхши усуллар билан таксимлаш хакидаги фандир.
Одатда, математик программалаш усулида иктисодий масалаларни моделлаштириш жараёнида ифодаловчи тенгламалар ва тенгсизликлар системасичизикли тарзда келтирилади.
Чизикли программалаш-ишлаб чикариш шартлари ва макбуллик меъзони чизиклари нисбийликда ифодаланган экстремал режали иктисодий масалаларнинг назарияси ва усулларини ишлаб чикишини тасвирлайди ва математик программалашнинг биир булагини акс эттиради.
Режали-иктисодий масалаларнинг хал этишда энг макбул ("яхши ") вариантни танлаш такозо этилади, мисол учун, юк ташишни режалаштиришда энг кам транспорт харажатига эришиш ёки ташиш вактини камйтиришдир.
Максад, албатта, сонли курсаткичлар билан ифодаланади. Бундай курсаткичлар режанинг макбуллик меъзони дейилади ва бир канча максадли функция куринишида математик шаклда берилади.
Чизикли программалаш (ЧП) усулларидан фойдаланиш анъанавий усуллардан бир канча афзалликлар билан фарк килади:
-оддий усулда бир вараинтда режа ишлаб чикилса, ЧПда режанинг барча имкониятлари инобатга олиниб, энг яхши варианти танлаб олинади;
-ЭХМлардан фойдаланиб, ЧП усуллари ёрдамида масалани хал этишда бир вактни узида куп сонли факторларни ва ишлаб чикарилаётган режани сифатини оширишга имкон беради;
Чизикли программалаштириш масалаларининг умумий куйилиши. Масаланинг умумий куриниши куйидагича булади:



ва узгарувчиларнинг манфий эмаслиги шартлари:


(3)

ёки бу тенгсизликларнинг йигиндисини куйидаги шаклда ёзиш мумкин:

Бу ерда :

1)масала узгарувчилари : Х1,Х2,…,Хn (j=1,2,…,n);
2)ишлаб чикариш ресурсларининг микдорлари:
b1,b2,…,bm (i=1,2,…,m);
3)хар бир узгарувчининг бирлигида хар кайси ресурс тури харажатнинг техник иктисодий коэффициентлари берилган, масалан, 1 га донли экинга мехнат сарфи у умумий куринишда a_ij берилган;
4)узгарувчилар бирлигида махсулот чикиши курсаткичлари маълум, улар С -билан ифодаланади.
ЧП нинг умумий масаласи куйидагича ифодаланади: кидирилаётган
Х1,Х2,…,Хn узгарувчиларнинг шундай кийматини топиш керакки, натижада куйидаги чизикли функция узининг экстримум (энг катта) кийматига эришсин.
Mathcad хилма-хил математик масалаларни ечиш учун мулжалланган интеграллашган мухитдир. Mathcad куйидаги функционал компонентлардан иборат:
· яхши ўйланган, кординациялашган менюлар системаси, контекс меню;
· куроллар панели мажмуаси;
· матн мухаррири;
· формулалар редактори;
· графиклар редактори, жумладан уч ўлчовли графиклар яратиш имкониятини беради;
· хисоблаш системаси, бу система сонли ва символли ҳисоблашлар имкониятини беради;
· шаблонлар мажмуаси, улар ёрдамида формулалар, индекслар, интеграл, хосила, матрица, детерминант ва хоказо белгиларни кулай киритиш мумкин;
· математик ифодаларни тўғри ёзилишини назорат килувчи ва нотўғрилиги хакида, уни тузатиш хакида курсатма берувчи ёрдам системаси;
· натижаларни чиқариш системаси;
· алфавитли, индексли ёрдам системаси, тайёр шпаргалкалар, бўлимларга ажратилган ёрдам системаси.
Mathcad менюси иерархик тузилишга эга: бош меню (горизонтал меню), горизонтал меню пунктларига богланган осилувчи вертикал меню ва унинг кушимча менюлари, калкиб чикувчи меню, контекст меню.
Mathcad математик амалий дастурлар дастаси Math Soft Inc. фирмаси томонидан компакт дискларда чикарилади. Уни стандарт усуллар билан инсталляция килинади. Mathcad инсталляция килингач Windows ОС нинг бош менюсида кайд этилади. Mathcad ни ишга тушириш хам Windows ОС нинг стандарт усуллари билан ишга туширилади. Mathcad мухитининг ишчи ойнаси қуйида келтирилган (2-расм).

2-расм
Mathcad да хар бир хужжат алохида блоклардан иборат булади: матн (комментарийлар), формулалар, графиклар, жадваллар ва хоказо. Хар бир блок туртбурчак соҳадан иборат бўлади.
Блокларнинг жойлашуви (комментарийлардан бошқаси) муҳим аҳамиятга эга. Улар чапдан ўнгга ва юқоридан пастга қараб жойлашиши керак. Бундай қоида қуйидагини билдиради. Масалан, функция графиги чизилаётганда, аввал функция, аргументнинг ўзгариш соҳаси, кейин график блоки ёки жадвал жойлашиши керак. Блоклар яратиш учун Mathcad да ички қурилган уч редактор-матнли, формулали, график редакторлар ишлатилади. Матнли мухаррир комментарийлар яратиш учун ишлатилади. Комментарий хисоблашларга таъсир курсатмайди. Матнда ҳаракатланиш Windows ОС учун стандарт ҳолатда, тугмалар ва сичконча билан орқали амалга оширилади.
Чизиқли дастурлаш масаласининг умумлашган математик модели формасининг ёзилиши қуйидаги кўринишга эга.

Математик моделнинг биринчи формуласи иқтисодий маънода излананаётган миқдорларга қўйиладиган чекланишларни ифодалайди, улар ресурслар миқдори, маълум талабларни қондириш зарурати, технология шароити ва бошқа иқтисодий ҳамда техникавий факторлардан келиб чиқади. Иккинчи шарт - ўзгарувчиларнинг, яьни изланаётган миқдорларнинг манфий бўлмаслик шарти бўлиб ҳисобланади. Учинчиси мақсад функцияси дейилиб, изланаётган миқдорнинг бирор боғланишини ифодалайди.
Чизиқли дастурлаш масаласига келувчи қуйидаги масалани қараймиз.
Фабрика икки хил А ва В тикув махсулти ишлаб чиқаради. Бу маҳсулотларни ишлаб чиқаришда уч хил N₁,N₂,N₃ турдаги материалларни ишлатади. N₁-материалдан 15 м., N₂-материалдан 16 м., N₃-материалдан 18 м. мавжуд.
M₁- маҳсулотни ишлаб чиқариш учун N₁-дан 2м., N₂-дан 1м., N₃-дан 3м. ишлатади.
M₂- маҳсулотни ишлаб чиқариш учун N₁-дан 3м., N₂-дан 4м., N₃-дан 0м. ишлатади.
M₁- маҳсулотнинг бир бирлигидан келадиган фойда 10 сўмни, M₂ - маҳсулотдан келадиган фойда 5 сўмни ташкил қилади.
Ишлаб чиқаришнинг шундай планини тузиш керакки фабрика максимал фойда олсин. Масаланинг математик моделини тузамиз:
2x₁+3x₂£15
x₁+4x₂£16
3x₁£18
x₁³0, x₂³0
Z=10x₁+5x₂max
Mathcadда чизиқли дастурлаш масаласи ечишда maximize ва minimize функцияларидан фойдаланиш мумкин. Бу функциялар умумий ҳолда қуйидаги кўринишда ёзилади:
Maximize(F,<ўзгарувчилар рўйхати>)
Minimize(F,<ўзгарувчилар рўйхати>)
Mathcadда чизиқли дастурлаш масаласини ечиш қуйидагича бажарилади (14-расм):
1.Mathcadни ишга тушургандан сўнг, мақсад функцияси ёзилади, масалан f(x,y)=<функция кўриниши> ва ўзгарувчиларнинг бошланғич қиймати киритилади.
2.Given калит сўзи ёзилади.
3.Тенгсизликлар тизими ва чекланишлар киритилади.
4.Бирор ўзгарувчига maximize ёки inimize функцияси юборилади.
5.Шу ўзгарувчи ёзилиб тенглик киритилади. Натижа вектор кўринишида ҳосил бўлади.
6.Мақсад функцияси қийматини ҳисоблаш учун, масалан f(p₀,p₁) ёзилиб тенглик белгиси киритилади.

8-расм. Чизиқли дастурлаш масаласини ечиш.