Ι. Обучение решению арифметических задач

1.2. Виды арифметических задач.
Над конечными непересекающимися (не имеющими общих элементов) множествами можно выполнить операцию объединения множеств, этой операции соответствует задача, второй требуется найти сумму натуральных чисел. Удалению правильной части конечного множество соответствует задача на отыскание остатка.
Операции перехода к дополнению данного множества А до множества В, т. е. нахождения тех элементов множество А, соответствует задача на нахождение разности. Так обосновывается выделение исходных простых задач на нахождение суммы, остатка и разности.
Ι Задачи, которых требуется найти сумму чисел, обозначающих численность множества предметов или значения величин.
ΙΙ Задачи, в которых требуется найти остаток, т. е. узнать, сколько останется, если от одного числа отнять другое число.
III­IV. Задача, в которой требуется найти разность, т. е. узнать:
Каждая простая задача может быть в тех же условиях. Одно из данных первой служит искомым задачи, принять за одно из данных новой задачи, а одно из данных преобразуемой задачи считать искомым в новой задаче.
Такие задачи, в которых при тех же условиях одно из данных первой служит искомым во второй и искомое первой входит в число данных, называются взаимно обратными.
Из каждой исходной задачи путем преобразования можно получить две обратные задачи, которые с исходной составят группу из трех взаимно обратных задач.
По степени трудности решения простые задачи можно подразделить на следующие группы:
А) задачи, при решении которых выбор арифметического действия производится на основании использования опыта ученика в операциях со множествами предметов, когда ученику приходилось в играх и в других видах деятельности объединять множества предметов удалять из множества предметов его часть, брать по нескольку равночисленных множеств предметов, делить множество предметов на равные части, раскладывать предметы в кучки по одинаковому числу предметов.
Это задачи на нахождение суммы, остатка, произведения, частного (деление на равные части), делителя (деление по содержанию);
Б) задачи, при решении которых арифметическое действие находится путем простейшего умозаключения.
Например, чтобы узнать, сколько было саженцев до их посадки, если известно, что посадили 5 саженцев, а осталось их 3, ученик должен применить рассуждение: «осталось 3 саженца, значит, они были до посадки; да еще были и те 5, посадили; до посадки было 5 саженцев, всего 8 саженцев».
К этой группе задач относятся задачи на нахождение неизвестных компонентов сложения, вычитания, умножения, деления;
В) задачи, в содержание которых в качестве данного или искомого входят разность или отношение: задачи на нахождение разности по вопросам «насколько больше?», «на сколько меньше?», нахождение отношения по вопросам «во сколько раз больше?», «во сколько раз меньше?», задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц и в несколько раз.
Для решения этих задач дети должны понимать смыслу указанных выше вопросов и соответствующих выражений («на несколько единиц больше», «в несколько раз больше» и т.п.) и осознать выражаемые ими понятия.
Для установления последовательности задач при обучении их решению необходимо учитывать эти особенности.