§ Masalaning qo‘yilishi

Lemma-3.1.1 Faraz qilaylik bo‘lsin. U holda (3.1.1)-(3.1.3) masala yechimi

(3.1.4)

integral tenglama, hamda (3.1.2), (3.1.3) boshlang‘ich chegaraviy shartlardan va funksiyalarni topish masalasiga ekvivalent. Bu yerda funksiya funksiyaning rezolventasi.

Isbot. Faraz qilaylik funksiya (3.1.1), (3.1.2) Koshi masalasinig yechimi bo‘lsin. (3.1.1) tenglamani operatorga nisbatan ikkinchi tur Volterra integral tenglamasi ko‘rininshida yozib olamiz:

Integral tenglamalar umumiy nazariyasida bizga ma’lumki yuqoridagi integral tenglamaning yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

(3.1.4) tenglamada funksiya funksiyaning rezolventasi, va funksiyalar o‘rtasidagi bog‘lanish quyidagi tenglik bilan aniqlanadi:

(3.1.5)

Ushbi formulani tekshirish uchun (3.1.1) integral tenglamadagi funksiyani o‘rniga (3.1.5) tenglikni qo‘yamiz






bu yerda





integralni quyidagicha yozish mumkin:



integralni soddalashtirish maqsadida ning ichki integrali chegarasidagi ni bilan almashtiramiz: bu yerda ga teng, natijada integral quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

(3.1.5) tenglikni isbotini davom ettirganimizda

funksiya (3.1.1) integro-differensial tenglamani qanoatlantirganligi sababli oxirgi tenglikning kvadrat qavsidagi ifoda ga teng. Bu shuni anglatadiki oxigi tenglik (3.1.4) tenglamani ifodalaydi (3.1.5) integral tenglamani funksiyaga nisbatan ifodalaymiz

va bu tenglikni (3.1.4) tenglamadagi funksiyaning o‘rniga qo‘yganimizda

(3.1.4) ning yechimi ekanligidan yuqoridagi tenglikning kvadrat qavsida turgan ibora ga teng deb xulosa qilamiz.

Lemma isbotlandi.

Shunday qilib, agar (3.1.4), (3.1.2), (3.1.3) masaladan funksiyalarni topish mumkin bo‘lsa, funksiya (3.1.5) integral tenglamaning yechimi bo‘ladi.

funksiyani funksiya bilan belgilash kiritaylik, ya’ni bo‘lsin.