§ Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi taqsimot funksiyasi

§ 3. Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari

(X,Y) tasodifiy vektorning sonli xarakteristikalari sifatida turli tartibdagi momentlar ko‘riladi. Amaliyotda eng ko‘p I va II – tartibli momentlar bilan ifodalanuvchi matematik kutilma, dispersiya va korrelatsion momentlardan foydalaniladi.
Ikki o‘lchovli diskret (X,Y) tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasi (MX,MY) bo‘lib, bu yerda
(1)
va .
Agar (X,Y) tasodifiy miqdorlar uzluksiz bo‘lsa, u holda
. (2)
X va Y t.m.larning kovariatsiyasi
(3)

tenglik bilan aniqlanadi. Agar (X,Y) tasodifiy miqdorlar diskret bo‘lsa, uning kovariatsiyasi

, (4)
agar uzluksiz bo‘lsa,
(5)
formulalar orqali hisoblanadi.
Kovariatsiyani quyidagicha hisoblash ham mumkin:
. (6)
Bu tenglik (3) formula va matematik kutilmaning xossalaridan kelib chiqadi:

Kovariatsiya orqali X va Y tasodifiy miqdorlarning dispersiyalarini aniqlash mumkin:
,
.
(X,Y) vektorning kovariatsiya matritsasi

- ifoda bilan aiqlanadi.
Kovariatsiyaning xossalari:
1. ;
2. Agar bo‘lsa, u holda ;
3. Agar X va Y ixtiyoriy t.m.lar bo‘lsa, u holda ;
4. yoki ;
5. yoki
;
6. .
Isboti. 1. (3) dan kelib chiqadi.
2. Agar bo‘lsa, u holda va lar ham bog‘liqsiz bo‘ladi va matematik kutilmaning xossasiga ko‘ra .
3.
.
4. .
5.

6. 3-xossani va t.m.larga qo‘llasak,






.

Dispersiya manfiy bo‘lmasligidan , ya’ni .■

3-xossaga ko‘ra, agar bo‘lsa, X va Y tasodifiy miqdorlar bo‘gliq bo‘ladi. Bu holda X va Y tasodifiy miqdorlar korrelatsiyalangan deyiladi. Lekin ekanligidan X va Y tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi kelib chiqmaydi. Demak, X va Y tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligida ularning korrelatsiyalanmaganligi kelib chiqadi, teskarisi esa har doim ham o‘rinli emas.
X va Y tasodifiy miqdorlarning korrelatsiya koeffitsienti


(7)

formula bilan aniqlanadi.

Korrelyatsiya koeffisiyentining xossalari:
1. , ya’ni ;
2. Agar bo‘lsa, u holda ;
3. Agar bo‘lsa, u holda X va Y t.m.lar chiziqli funksional bog‘liq bo‘ladi, teskarisi ham o‘rinli.
Shunday qilib, bogliqsiz tasodifiy miqdorlar uchun , chiziqli bog‘langan tasodifiy miqdorlar uchun , qolgan hollarda . Agar bo‘lsa, tasodifiy miqdorlar musbat korrelatsiyalangan va aksincha agar bo‘lsa, ular manfiy korrelyatsialangan deyiladi.