§ Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi taqsimot funksiyasi

§ 2. Tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi. Shartli taqsimot qonunlari

X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz deiladi, agar uchun va hodisalar bog‘liqsiz bo‘lsa.
Endi tasodifiy miqdorlar bog‘liqsizligining zarur va yetarli shartini keltiramiz.
Teorema. X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lishi uchun
(1)
tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Zarurligi. Agar X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lsa, va hodisalar ham bog‘liqsiz bo‘ladi. U holda , ya’ni .
Yetarliligi. (1) tenglik o‘rinli bo‘lsin, u holda bo‘ladi. Bu tenglikdan X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsizligi kelib chiqadi. ■
1-natija. X va Y uzluksiz tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lishi uchun
(2)
tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Zarurligi. Agar X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lsa, u holda (1) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikni x bo‘yicha, keyin esa y bo‘yicha differensiyallab, tengliklarni, ya’ni hosil qilamiz.
Yetarliligi. (2) tenglik o‘rinli bo‘lsin. Bu tenglikni x bo‘yicha va y bo‘yicha integrallaymiz:
.
Bu esa tenglikning o‘zidir. Teoremaga ko‘ra X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsizligi kelib chiqadi. ■
2-natija. X va Y diskret tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lishi uchun ihtiyoriy larda
(3)
tengliklarning bajarilishi zarur va yetarlidir.
(X,Y) ikki o‘lchovlik tasodifiy miqdorlar tashkil etuvchi X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liq bo‘lsa, ularning bog‘liqligini xarakterlovchi shartli taqsimot qonunlari tushunchalari keltiriladi.
(X,Y) ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdorlar birgalikdagi taqsimot qonuni , bo‘lsin. U holda
, (4)
ehtimolliklar to‘plami, ya’ni lar Y tasodifiy miqdorning dagi shartli taqsimot qonuni deyiladi. Bu yerda
.
Xuddi shunday,
, (5)
ehtimolliklar to‘plami, ya’ni lar X t.m.ning dagi shartli taqsimot qonuni deyiladi.
Misol. (X,Y) ikki o‘lchovlik tasodifiy miqdorlarni birgalikdagi taqsimot jadvali berilgan:

X \ Y	1	2	3
0.1	0.12	0.08	0.40
0.2	0.16	0.10	0.14

Quyidagilarni toping: a) X va Y tasodifiy miqdorlarning alohida taqsimot qonunlari; b) X tasodifiy miqdorning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni.
a) va tengliklardan:

Y	1	2	3
P	0.28	0.10	0.54

X	0.1	0.2
P	0.60	0.40

,

b) (5) formulaga asosan: ,

. X tasodifiy miqdorning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni quyidagiga teng:

X	0.1	0.2

Endi (X,Y) ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlar uzluksiz bo‘lgan holni ko‘ramiz. (X,Y) t.m.ning birgalikdagi zichlik funksiyasi, va lar esa X va Y t.m.larning alohida zichlik funksiyalari bo‘lsin.

Y tasodifiy miqdorning X=x bo‘lgandagi shartli zichlik funksiyasi


(6)

ifodaga orqali aniqlanadi.

Shartli zichlik funksiyasi zichlik funksiyasining kabi xossalariga egadir.