§ Evklid fazosidagi topologiya

Xausdorf aksiomasi. Berilgan - topologik fazoda ixtiyoriy o’zaro farqli , nuqtalar uchun ularning o’zaro kesishmaydigan atroflari mavjud bo’lsa,bu fazoda Xausdorf aksiomasi bajarilgan deyiladi.

Xausdorf aksiomasi bajarilgan topologik fazolar Xausdorf fazolari deyiladi. Biz bu haqida alohida ta’kidlamasdan kurs davomida hamma topologik fazolar uchun Xausdorf aksiomasi bajarilgan deb faraz qilamiz. Yuqorida ta’kidlaganimizdek, metrik fazolarda bu aksioma har doim bajarilgan.

Endi topologik fazolarga qaytaylik. - topologik fazo va bo’lsin. Agar nuqtaning ixtiyoriy atrofi uchun shunday son mavjud bo’lib, da munosabat bajarilsa, - ketma-ketlik nuqtaga yaqinlashadi deyiladi va (yoki ) ko’rinishda yoziladi.

Teorema-7. Xausdorf fazosida har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik yagona limitga egadir.

Isbot. Faraz qilaylik yaqinlashuvchi ketma-ketlik va bo’lsin. Agar va  bo’lsa, va bilan mos ravishda va nuqtalarning o’zaro kesishmaydigan atroflarini belgilaymiz (Xausdorf aksiomasi ).Berilgan - ketma-ketlik va nuqtalarga yaqinlashganligi uchun shunday sonlar mavjudki, äa da bo’ladi. Bundan bo’lsa, munosabatni olamiz. Demak, . Bu ziddiyatdan  bo’lishi kelib chiqadi. 