§ Evklid fazosidagi topologiya

§ 3. Metrik fazolar

Metrik fazolar topologik fazolarning juda muhim sinfini tashkil etadi. Bu fazolarda ixtiyoriy ikki nuqta uchun ular orasidagi masofa tushunchasi kiritiladi. Metrik fazolaríèíã muhim turlari bilan siz birinchi kursda tanishãàísiz.

Berilgan - ixtiyoriy to’plam uchun to’g’ri ko’paytmada funktsiya aniqlangan bo’lib, quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:


Yuqoridagi shartlar metrik fazo aksiomalari deyiladi. Bu shartlar bajarilsa juftlik metrik fazo deyiladi. - metrik fazo, bo’lsa markazi nuqtada va radiusi ga teng ochiq shar quyidagicha aniqlanadi:

Ochiq shar yordamida metrik fazoda ochiq to’plam tushunchasini kiritish mumkin. - qism to’plam, bo’lib birorta son uchun bo’lsa nuqta to’plamning ichki nuqtasi deyiladi. Hamma nuqtalari ichki nuqtalar bo’lgan to’plam ochiq to’plam deyiladi. Agar oila sifatida metrik fazoning hamma ochiq qism to’plamlari va bo’sh to’plamdan iborat oilani olsak, natijada juftlik topologik fazoga aylanadi. Bu topologiya fazoda metrika yordamida kiritilgan topologiya deb ataladi. Endi oilaning topologik fazo aksiomalarini qanoatlantirishini tekshiraylik.

1) va ixtiyoriy son bo’lsa, bo’lganligi uchun X to’plam oilasiga tegishlidir;

2. 
   Bo’sh to’plam oilaga uning aniqlanishiga ko’ra tegishlidir;
   

1. 
   Ikkita to’plam oilaga tegishli bo’lsa,ularning kesishmasi ham bu oilaga tegishli ekanligini ko’rsataylik. Agar va bo’lsa, ikkinchi shartga ko’ra munosabat o’rinlidir Faraz qilaylik, va bo’ëñèí. Qaralayotgan âà to’ïëàìlar ochiq bo’lganligi uchun shunday va musbat sonlar mavjudki, , munosabatlar bajari­ladi. Agar bo’lsa, munosabat bajariladi. Demak, to’plam oilaga tegishlidir;
   

4) Faraz qilaylik - oilaga tegishli to’plamlar oilasi bo’lsin.

Biz ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun nuqtani qaraylik. Qaralayotgan nuqta yig’indiga tegishli bo’lganligi uchun shunday indeks mavjudki, munosabat bajariladi. Bu to’plam ochiq bo’lganligi uchun shunday son mavjudki, munosabat bajariladi.Demak, va oila topologik fazo aksiomalarini qanoatlantiradi.

6 - Misol.

7 - Misol.

Bu erda
8-Misol. bilan segmentda aniqlangan uzluksiz funktsiyalar to’plami belgilaymiz. Bu to’plamda funktsiyalar uchun ôormula bo’yicha metrikani aniqlaymiz. Bu holda uchun metrik fazo aksiomalarini tekshirish engil, shuning uchun bu ishni o’quvchilarga havola etamiz.

Endi metrik fazo uchun ichki, chegaraviy va urinish nuqtalarini kiritaylik.

Faraz qilaylik - qism to’plam, bo’lib, ixtiyoriy uchun bo’lsa, nuqta to’plamning chegaraviy nuqtasi deyiladi. Agar ixtiyoriy uchun faqat munosabat bajarilsa, nuqta to’plamning urinish nuqtasi deyiladi. Bèðîðtà ñîíè u÷uí ìuíîñàbàt bàjàðèëñà, íuqtà u÷uí è÷êè íuqtà äåéèëàäè.

Metrik fazolar shunday bir ajoyib xususiyatga egaki, bu xususiyat Xàusdorf aksiomasi deb ataladi - metrik fazo, va bo’lsin Agar bo’lsa, sharlar o’zaro kesishmaydi. Biz topologik fazolar uchun ham Xausdorf aksiomasining bajarilishini talab qilamiz. Bu aksioma quyidagicha ta’riflanadi.