§ 1. Differensial tenglama haqida tushunchalar

§ 11.1 Differensial tenglama haqida tushunchalar

1. 
   n – tartibli oddiy differensial tenglama deb
   

(11.1)
ko’rinishdagi tenglamaga aytiladi. Agar noma’lum funksiya bitta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa, bunday differensial tenglama oddiy differensial tenglama deyiladi. Agar noma’lum funksiya ikki yoki undan ortiq o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lsa, bunday differensial tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
2.Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aytiladigan har qanday differensiallanuvchi funksiyaga aytiladi. Shu funksiyani aniqlovchi yoki funksiya differensial tenglamaning integrali deyiladi. Har bir integral xOy tekisligida differensial tenglamaning integral chizig’i deb ataluvchi egri chiziqni aniqlaydi.
3. Agar x,y va n ta ixtiyoriy o’zgarmaslarni o’z ichiga olgan
(11.2)
tenglamadagi ixtiyoriy o’zgarmaslarga har xil qiymatlar berganda (11.1) tenglama yechimlarining mavjudlik va yagonalik sohasidan o’tuvchi hamma integral chiziqlar va faqat o’sha chiziqlargina hosil bo’lsa, (11.2) tenglama (11.1) differensial tenglamaning o’sha sohadagi umumiy integrali deyiladi. Ixtiyoriy o’zgarmaslarga aniq qiymatlar berib, umumiy integraldan hosil qilingan integral xususiy integral deyiladi.
Umumiy integral (11.2) ni n marta x bo’yicha differensiallab, hosil bo’lgan n ta tenglamadan va (11.2) tenglamadan n ta ixtiyoriy o’zgarmasni yo’qotsak, berilgan (11.1) differensial tenglamaga ega bo’lamiz. Differensial tenglamaning tartibi deb noma’lum funksiyaning bu tenglamaga kiruvchi hosilalarning eng yuqori tartibiga aytiladi.
4. Ushbu tenglama umumiy ko’rinishdagi birinchi tartibli differensial tenglama deb ataladi. Agar uni ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, bu quyidagicha yoziladi,
(11.3)
Hosilaga nisbatan yozilgan bu shakldan differensiallar ishtirok etgan
yoki (11.4)
shaklga yozish mumkin.
5. umumiy yechim qiymati uchun olingan yechim xususiy yechim deyiladi.
tenglamaning boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi.
6. ko’rinishdagi tenglama o’zgaruvchilari ajralgan tenglama deyiladi.
7. (11.5)
ko’rinishdagi tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama deyiladi. (11.5) tenglamani ko’paytmaga bo’lib
(11.6)
tenglamani hosil qilamiz. (11.13) tenglamaning umumiy integrali

dan iborat bo’ladi.
A guruh
Quyidagi funksiyalar berilgan differensial tenglamalarning umumiy integrallari bo’ladimi?
11.1. а) ;
в)
11.2. а) ; в)
11.3. 11.4.
Berilgan a kattalikning qanday qiymatlarida funksiya differensial tenglamani yechimi bo’ladi?
11.5. 11.6.
Quyidagi berilgan egri chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzing.
11.7. 11.8. 11.9. 11.11.
11.11.O’rniga qo’yish yo’li bilan funksiya tenglamaning yechimi ekanligi tekshirilsin. Ushbu 1) ; 2) ; 3) nuqtalardan o’tuvchi integral chiziqlar yasalsin.
11.12. O’rniga qo’yish yo’li bilan 1) va 2) differensial tenglamalar mos ravishda 1) va 2) umumiy integrallarga ega ekanliklari tekshirilsin.
11.13. bo’lganda parabolalar yasalsin va shu parabolalar oilasining differensial tenglamasi tuzilsin.
11.14. 1) aylanalar, 2) parabolalar oilasining tasviri yasalsin va ularning differensial tenglamalari tuzilsin.
O’zgaruvchilari ajraladigan 1-tartibli differensial tenglamalarning umumiy yechimini toping.
11.15. 11.16.
B guruh
11.17. 11.18.
11.19. 11.20.
11.21. 11.22. ׀
11.23. а) в) 11.24.
Quyidagi differensial tenglamalarda :
1) umumiy integral topilsin; 2) bir necha integral chiziqlar chizilsin; 3) boshlang’ich shart bo’yicha xususiy integral topilsin.
11.25. 11.26.
11.27. 11.28.
Quyidagi tenglamalarning umumiy integrallari topilsin.
11.29. 11.30.
11.31. 11.32.
C guruh
Quyidagi tenglamalarning umumiy integrallari va berilgan boshlang’ich shartlar bo’yicha xususiy integrallari topilsin:
11.33. bo’lganda .
11.34. bo’lganda .
11.35. bo’lganda .
11.36. 1) ; 2) tenglamalardan har birining 1)
2) 3) 4) nuqtalardan o’tuvchi integral chiziqlar yasalsin.
Differensial tenglamalarni yeching.
11.37.а) b)
11.38. 11.39.
11.40. 11.41.
Berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi differensial tenglamani yeching.
11.42. 11.43. 11.44. 11.45.
Berilgan differensial tenglamalarning umumiy yechimini toping.
11.46.а) в) 11.47.
11.48. 11.49. 11.50.