Yoki y larni oʻz ichiga olmagan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar

5-MAVZU

YUQORI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR.

x YOKI y LARNI OʻZ ICHIGA OLMAGAN IKKINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR.

Taʼrif 1. Agar differensial tenglamada y(x) funksiyaning ikkinchi va undan yuqori tartibli hosilasi qatnashsa

(1)

u holda (1) ga yuqori tartibli, xususan n-tartibli differensial tenglama deyiladi.

n-tartibli differensial tenglamada – lar ixtiyoriy kombinatsiyada qatnashishi mumkin, ayrimlari qatnashmasligi ham mumkin, faqatgina n-tartibli hosila ni qatnashishi shart.

Yuqori tartibli differensial tenglamalardan eng ommabopi 2-tartibli differensial tenglamalardir:

- larning ayrimlari yoki hattoki hammasi qatnashmasligi ham mumkin, muhimi ni qatnashishi shart. Eng primitiv 2-tartibli differensial tenglama

Amaliy masalalarda taklif qilinayotgan yuqori tartibli differensial tenglamalar ikkita asosiy guruhga boʻlinadi:

1. 
   Tartibini pasaytirish mumkin boʻlgan differensial tenglamalar;
   
2. 
   Oʻzgarmas koeffitsiyentli yuqori tartibli differensial chiziqli differensial tenglamalar;
   

Tartibni pasaytirish mumkin boʻlgan differensial tenglamalar uchta asosiy tipga boʻlinadi:

1. 
   – koʻrinishdagi differensial tenglamalar;
   
2. 
   funksiya yaqqol koʻrinishda qatnashmagan differensial tenglamalar:
   

– hammasi bor, y yoʻq.

3. 
   Bogʻliq boʻlmagan oʻzgaruvchi x qatnashmagan differensial tenglamalar:
   

– hammasi bor, x yoʻq

1. 
   - differensial tenglamani yechish uchun oʻng tomonni takror
   

integrallash usulidan foydalaniladi. Integrallashni n marta amalga oshirishga toʻgʻri keladi. Agar differensial tenglamaning mos berilgan boshlangʻich shartlarida xususiy yechimi qidirilayotgan boʻlsa, har bir integrallashdan keyin mos boshlangʻich shartdan foydalanib, integrallash natijasida yuzaga keladigan C- konstantalarni topishga toʻgʻri keladi.

Misol 1.

Algoritmga koʻra ketme-ket uch marta integrallaymiz:

1. 
   Differensial tenglama darajasini 2-tartibgacha tushiramiz
   

dan foydalanamiz

2. 
   Differensial tenglama darajasini 1-tartibgacha tushiramiz:
   

3. 
   Oxirgi integralni olamiz:
   

Shunday qilib xususiy yechim

,

Eslatma: Differensial tenglamaning tartibi nechta boʻlsa, shuncha konstanta boʻladi.

2. 
   funksiya yaqqol koʻrinishda qatnashmagan differensial tenglamalar:
   

Bunday koʻrinishdagi differensial tenglamalarda y – qatnashmaydi, lekin yechish jarayonida paydo boʻladi.

Birinchi tartibli hosila ham qatnashmasligi mumkin:

Bunday tenglamalarning barchasida bogʻliq boʻlmagan x oʻzgaruvchi va y ning yuqori tartibli hosilasi qatnashadi. Bunday tenglamalar oʻzgaruvchi almashtirish natijasida differensial tenglamaning tartibi pasaytiriladi:

Misol 2.

1. 
   z=z(x)-x ning funksiyasi differensial tenglamaga qoʻyamiz
   
2. 
   – natijada chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaga kelamiz. Bunday tenglamalarni esa Bernulli yoki oʻzgarmasni variatsiyalash usuli bilan yechiladi
   
3. 
   Oʻzgarmasni variatsiyalash usuli boʻyicha yechamiz, buning uchun:
   

yordamchi tenglamani yechamiz

4. 
   c=u(x)
   

5. 
   
   
6. 
   
   

3. 
   Bogʻliq boʻlmagan oʻzgaruvchi x qatnashmagan differensial tenglamalar:
   

Bunday differensial tenglamalarni yechish uchun ham oʻzgaruvchi almashtirish bajarib, differensial tenglama tartibini pasaytiramiz, lekin bu holatda nozik bir holatga eʼtibor qaratish lozim:

belgilash kiritsakda, z – y ning qandaydir funksiyasi, y – esa x ning funksiyasi hisoblanadi. Shuning uchun ham murakkab funksiya hosilasi quyidagicha boʻladi:

boʻladi.



Misol.

1. 
   Belgilash kiritamiz: differensial tenglamaga qoʻyamiz
   
2. 
   Soddalashtirishlardan soʻng: oʻzgaruvchilari ajralgan differensial tenglamaga kelamiz va uni yechamiz
   

3. 
   Teskari oʻzgaruvchi almashtirish bajaramiz:
   

4. 
   
   

Shunday qilib differensial tenglamaning yechimini quyidagicha boʻladi: