Xarakteristik funksiyalar va uning xossalari

Xarakteristik funksiyalar va uning xossalari

Taqsimot funksiya bilan bir qatorda u haqidagi hamma ma’lumotni o‘z ichiga oluvchi xarakteristik funksiyalardan ham foydalaniladi. Xarakteristik funksiya yordamida bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlarning yig‘indisining taqsimotini topish, sonli xarakteristikalarni hisoblash bir muncha osonlashadi.

• 
  X tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi bo‘lib, uni yoki orqali belgilaymiz. Shunday qilib, ta’rifga ko‘ra:
  

. (1)
Agar X tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qiluvchi diskret tasodifiy miqdor bo‘lsa, u holda uning xarakteristik funksiyasi

(2)
formula orqali, agar zichlik funksiyasi bo‘lgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘lsa, u holda uning xarakteristik funksiyasi
(3)
formula orqali aniqlanadi.

Xarakteristik funksiyaning xossalari:

1. Barcha uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:

.

2. Agar bo‘lsa, bu yerda a va b o‘zgarmas sonlar, u holda

.

3. Agar X va Y tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lsa, u holda X+Y yig‘indining xarakteristik funksiyasi X va Y tasodifiy miqdorlarning xarakteristik funksiyalari ko‘paytmasiga teng:

.

4. Agar X tasodifiy miqdorning k-tartibli boshlang‘ich momenti mavjud bo‘lsa, u holda unga mos xarakteristik funksiyaning k-tartibli hosilasi mavjud bo‘lib, uning t=0 dagi qiymati

.

Isboti. 1. , chunki

. .

2. .

3. . Bu xossa n ta bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar yig‘indisi uchun ham o‘rinlidir.

4. Hisoblashdan ko‘rinadiki, . Demak t=0 bo‘lsa, . ■

4-xossadan .
; ;

(4)

.
1-misol. Agar bo‘lsa, u holda X tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi, matematik kutilmasi va dispersiyasini toping.

X tasodifiy miqdor 0,1,2,…,n qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qiladi. (2) va Nyuton binomi formulalaridan foydalansak, , ya’ni X tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi ifoda bilan aniqlanishiga ishonch hosil qilamiz. (4) formulaga ko‘ra: va shu kabi .

2-misol. Agar bo‘lsa, u holda X ning xarakteristik funksiyasi, matematik kutilmasi va dispersiyasini toping.
(3) formulaga asosan:




. Shunday qilib, agar bo‘lsa, u holda . Endi X tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz. ,
.