Umaraliyeva eliza yigitaliyevna

Mantiqiy akslantirish va bifurkatsion daraxtlar (xaqiqiy) tasviri

Uzluksiz dinamika evalutsiyani uzluksiz tizimlar davriyligida aks ettiradi. Shuning uchun xam dastlabki qarashda uzluksiz dinamika va dinamik tartibsizlik to’g’risidagi ta’limotlar asosida differensial tenglamalarning chuqur nazariyalari yotadigandek tuyuladi. Lekin xaqiqatda bunday emas. Biroq boshqa matematik obektlar turli darajadagi tenglamalar va ifodalar borki, ular uzluksiz dinamika ko’plab fenometrlarini namoyish etadi. Ifodalar tadqiqot va kompyuter modellashtirishlarida juda sodda, chunki ularni o’rganishda kompyuter va o’quvchilarning radikal kam darajadagi meyoridan iborat. Ifodalar yuqoridan boshlab tadqiqotchilar “instrumentlar majmuasi” ga kira boshlaydi, shuning uchun xam ular maktab fizika kursida berilmagan. Biz shunga amin bo’ldikki, ifodalar haqiqatdan ham oddiy fizik masalalarni yechishda tabiiy ravishda yuzaga kelishi mumkin.

Har qanday fizika bo’yicha olimpiada misollari to’plamida rezistorlarning cheksiz zanjiri tizimidagi masalani topish mumkin. U quyidagicha beriladi: bir xil xalqalardan iborat bo`lgan rezistor zanjiri qarshiligi nimaga teng. (rasm 11.) savolni sal boshqacharoq qo’ysak: agar biz qarshilikni berilgan aniqlikdao’lchaydigan bo’lsak, zanjir cheksiz hisoblanishi uchun nechta xalqani o’zida jam etishi kerak? Bu savolga dinamik sistemalar zamonaviy nazaryasining bir qismi bo’lgan o’ziga xos turli darajadagi tenglama va ifodalar matematik operatorini jalbetgan xolda javob berish mumkin.

Rasm.11. Rezistorlarningulanish sxemasi

Hullas, sxemamizga murojat etib, zanjir o’ng oxiridan n va n+1 xossalar yakuniy sonini hisoblaymiz(rasm 12.a).

Barcha rezistorlar qarshiligi bir xil, ularni birga deb faraz qilamiz.Ikkinchi rasmdagi sxema, b-rasmda ko’rsatilganiga ekvivalent ekanini yaxshi ko’rish mumkin. Agar-n xadlar zanjirchasi qarshiligi bo’lsa, osongina quyidagiga ega bo’lamiz:

(1.9)

Aynan ifodalashning sodda namunasidir. Umumiy ko’rinishda ifodalash quyidagi nisbatga keltiriladi:

(1.10)

Ushbu ifodalash bir o’lchamli deyiladi.

Rasm.12. Berilgan zanjirga ekvivalent zanjirga o’tish.

Chunki unga bir o’zgaruvchi – kirgan diskret ifoda ko’rinishidan dinamik sistema sodda namunasi hisoblanadi. Bu atamaning mohiyati osongina ochiladi: dastlabki , mohiyati bo’yicha berilgan

(1.11)

keyingi o’zgaruvchilar - va x.k. Mohiyatini aniqlashga imkon beradi. Xaqiqatdan xam, …….,

Ifodalash xossalarini interaksion diogrammada aks etish qulay hisoblanadi. Uni tuzish uchun birinchi navbatda, tekisli funksiyiya () grafigi va bissekterisani ifodalash kerak. (rasm.13)

Rasm.13.Rezistorlar zanjiri uchun iteratsion diagramma

Endi boshlang’ich-qiymatga asoslanib grafikni topish mumkin. So’ng ushbu qiymat bissektirisasiga ko’chiriladi va jarayon takrorlanadi. Interasiya yo’nalishini aks ettiruvchi o’ziga xos narvoncha paydo bo’ladi. Grafikdan ko’rinib turibdiki bu ifodamiz chegaraviy qiymat: yoki boshqacha aytganda harakatsiz nuqta yani nuqtaga ega bo’ladi.

ekanligini topish qiyin emas. Bundan cheksiz zanjir qarshiligini aniqlash bo’yicha masala javobiga ega bo’lamiz:

(1.12)

Endi, sistemaning o’zgaruvchilar mohiyati chegaraviy qiymatga yaqin bo`lgan holatdagi harakatni ko’rib chiqamiz. Shuning uchun va deb olamiz, bu yerda kichik qo’shimchalarni anglatadi. Bu holda dan quydagiga ega bo’lamiz :

(1.13)

Shunday qilib ga ma’lum kichik qo’shimcha bo’lsa birinchi interatsiyadan so’ng uning doimiy soniga ko’paytiriladi, ikkinchisidan so’ng [], uchinchidan so’ng [] ga va x.k. Bu shuni anglatadiki o’zgaruvchi [] ko’rsatkichli geometrik progressiya qonuniga ko’ra harakatsiz nuqtaga yaqinlashmoqda. Shuni takidlaymizki interatsion diogrammada ko’rib o’tgan-larimiz bir chegarasida () urinmani apraksimatsiyalaganimizga mos keladi. Mos holda interaksion diogramma geometrik progressiyani beradi(rasm.14).

Rasm.14. Qo’zg’almasnuqta atrofidagi iteratsion diagramma ko’rinishi

[bo’lsa interatsiya uzoqlashmoqda.

Bu harakatsiz nuqtaning barqarorligi to’g’risida gapirishga imkon beradi. Birinchi holda harakatsiz nuqta barqaror, ikkinchisida beqaror deyiladi. Etirof etish kerakki, kattaligi ahamyatining qanchaligi uni maxsus nom multi-pikator deyishga asos bo’ladi, Xamda odatda ko’rinishida belgila-nadi. Ifodalashdan bizning misoldagi umumiy ko’rinishga qaytamiz:

Natijada biz µ=0,145400 ekanligini ko’ramiz. Bu interatsiyalar yaqinlasha-yotganidan dalolat beradi,ancha kichikligi tufayli ular juda tez yaqin-lashadi.Bunga munosabatni interasiyalab amin bo’lamiz.

Natijalar jadvalda berilgan:

Biz shunga ishonch xosil qildikki xalqalar sonining kattalashishi haqiqatdan ham harakatsiz nuqtaga olib keladi. Jadvaldan ko’rinib turibdiki atom 3 ta xalqadan iborat zanjirni yuqori aniqlikda cheksiz deb hisoblash mumkin, yani uch xalqani zanjir uchun harakatsiz nuqtadan qarshilik qiymatidan chetlanish taxminan 1% , 5 xalqali uchun 0,02% ni tashkil etadi. Ushbu ifodalashdan harakatsiz nuqta barqarorligi bizning yechimdagi natija zanjirdagi mumkin bo’lgan nuqsonlar “buzib qo’ymaydigan” degan yana bir savolni olib tashlaydi. Shunisi qiziqarliki ko’rilgan masala Fibonagchi sonlari va “oltin o’rda” bilan bog’liq bo’lib chiqadi.

Uzluksiz qarshilikka qaraganda tasvir murakkabroq namoyish bo’ladi. Kvadratik eksteremumli oddiy funksiya parobola hisoblanadi, unga munosib tasvir xaqiqiy tasvir xosil bo’ladi.

(1.13)

Rasm.15. da interatsion diogramma tasviri berilgan. Bundan ko’rinib turibdiki tasvir ikki qo’zg’almas nuqtaga ega bo’ladi. Ana shu nuqtani o’rganamiz. Buning uchun qo’zg’almas nuqtani qayerdaligini chiqaramiz:

Rasm.15. Interatsion diogrammaning mantiqiy tasviri.

bunoturg’unlik nuqtasi.Buni dinamikasini diogrammasi rasm.15 da ko’rsatilgan.Geometrik progressiya qonuniga ko’ra koordinata inersiya yaqinida ko’rish mumkin.Ko’rsatilgan fakt aniq mantiqiy o’rganishga xizmat qiladi.Xaqiqatdan ham populatsiya (masalan xovuzdagi baliq) geometrik progresiyaga ko’ra ko’payadi.Sodalashtirish uchun n-yil xovuzdagi baliqni beradi. Shunday qilib boshlang’ich ma’nosi baliqlar soni birinchi yil, ikkinchi yil xovuzga tushirilgan baliqlar soni va h.k.Keyingi ko’proq vaqtda baliqlar qanday bo’ladi?Avval baliqlar geometrik progresiya bo’yicha ko’payadi.Agar baliqlar haddan tashqari ko’p bo’lsa populatsiya o’sishdan to’xtaydi.Shuning uchun () grafik paslashgan qismi bo’ladi.

Intuatsiyada aytilishicha, xovuzdagi baliqlar avval ko’payadi, so’ngra normallashadi (Matematiklarning fikricha ketma-ketlik chegarasi deyishgan bo’lardi) buning grafigi fikrlarni tasdiqlaydi. (rasm.15) Interatsiyani o’xshash bir qo’zg’almas nuqtani debko’rishimiz mumkin:

(1.14)

Bu suv xavzasiga baliqlarning sig’ishi hisoblanadi.Qo’zgalmas nuqta barqaror. Uni multipikatorini topamiz:

(1.15)

Agar birdan ozgina katta bo’lsa nuqta barqaror, yoki xosil bo’ladi multipikator, demak umumlashgan populatsiya holati barqaror da qanday tartib yuzaga keladi. Interatsiya diogrammasidan foydalanibrasm.6.dagi holatni ko’zda tutamiz.Bu 2 shaklda bo’ladi. Ko’rsatilgan shart elementlari

Aniqoraliq aytish mumkn

Ikkala tenglamani umumlashtirib, birinchisini ayrisak quyidagini xosil qilamiz:

(1.16)

Rasm.16. 2 siklning diagrammadda hosil bo’lishi.

Viet teoremasiga asoslanib kvadrat tenglamaga keltiramiz:

(1.17)

Uni noma’lumlarini topsak shu xosil bo’ladi:

(1.18)

Bu formuladan ko’rinib turibdiki ikkinchi sikl xosil bo’ladi.holati mumkn emas.Agar ozuqa kam bo’lsa avlodning ko’payish tezlashadi, shundan so’ng statsionar soni aniqlanmaydi. Yildan yilga o’zgarib boradi ₁,₂, ₃ va x.k. Dinamik populatsiyada natija kerakli hisoblanadi.

Agar ni oshirib borsak:Analizlar ko’rsatishicha parametrlar ikki holat barqaror bo’ladi. Xaqiqatdan ham ikki holat elementi bo’yicha quyidagi nisbatni keltirish mumkin:

(1.19)

Shunday qilib ikki holat elementi tasviri ikki karra qo’zg’almas nuqta holatidir. Bu holatni barqarorligini aniqlashga yordam beradi.Avval yashash uchun zamin xosil qilingach analiz barqarorligini qo’zgalmas nuqta deb atashimiz mumkin.

Bunday difrensallarga murakkab funksiya qoidasini qo’llash mumkin:

Bu holda (1.20)

so’ngra

(1.21)

Shunday qilib oldida multipikator minus birlikda munosabatda bo’ladi. Bunda nuqta ikkiga ajraladi .₂ nuqtada xam shu xosil bo’ladi.Shunday qilib yangi harakatda 4 ta element, yoki 4 ta holat ro’yobga chiqadi.

Agar parametrik yuqorilatib kompyuterda modellashni o’rnatsak nima bo’ladi?Buning uchun interatsion diogrammaga programmasini yozish kerak bo’ladi.Rasm.17 da interatsion diogrammani bazi turlari berilgan.Parabola kvadrati tasvir uchun yaroqli turlar ko’rsatilgan. Biz bu yerda o’zga parabolik tasvirlar munosabatlar kategoriyalariga qulay holatlari qo’llaniladi.

Bir ko’ramizki to’rtinchi sikl va h.k. davr siklga taqsimlanadi: keyin … parametr ayrim kritik qiymatlarining ortishida murakkab takrorlanmas jarayon bo’lishi mumkin. Bu rejimlar dinamik Xaos deyiladi. Bu populatsiya dinamika yo’lida quyidagicha aniqlanadi? Faraz qilaylik biz baliqni, anhorga tashlab boqayapmiz.Keyinchalik katta o’lchamga ega bo’lish uchun.Agar ozuqa ko’p bo’lmasa populatsiya soni barqarorlashadi.Agar ozuqa miqdori oshirilsa baliqlar soning tebranishi yildan yilga ko’payishi mumkin. Bir yil baliq ko’p, bir yil kam. Agar ozuqa miqdori malum bir bosqichli qiymat orqali o’ssa, baliqlar soni yildan-yilga xaotik o’zgarib boradi. Umuman kutilmagan va natrival natija.

Diogrammalarimizga qaytsak parametr o’sishi bilan nafaqat xaos, balki yana nodavriy faoliyat soxalari o’rin almashadi 3, 6 va x.k davr murakkab skil paydo bo’lishini ko’rish mumkin.

Rasm17.Mantiqiy akslantirishning “oilaviy” rejimlarining bir nechaturlari.

Kvadrat ko’rinishdagi akslantirishda birinchi natija murakkab hatti-harakatdan tashkil topgan bo’lsa bu – bifuraktsion tarqalish deyiladi.(Bu haqida to’liq malumotni dinamik akslantirishlarda (Feygenbauma tarqalishi) beriladi.Bifuraktsion tarqalishda o’zgaruvchiga bog’liq ma’noni harakterlovchi parametrini belgilash sifatida kiritamiz.Bizning soxa analik tarqalishko’rinishida ko’rishga boshlanishini rasm imkon beradi.(18-rasm).

Rasm.18. Daraxt shoxining “ajralishi”

2-siklda qo’zg’almas mustaxkam nuqta paydo bo’ladi. Bu hodisada taxminan 2-siklni oxirgi ko’rinishlari daraxt shoxlariga o’xshash bo’ladi.Bunday jarayondagi tarqalishga – bifuraktsion ko’payish davri deb nom berilgan.Kampyuter yordamida barcha tarqalishlarni aniq ko’rsatish mumkin. (barcha parametrlarni ma’nosini hisobga olsak) Taxminan parametrning boshlang’ich ma’nosi haqida vazifa berish birmuncha qiyin.Shuning uchun interasion akslantirishni bajarsak bu rejimni aniq belgilab olish uchun nuqtani ekranda aniq ko’rinishini yaratishni ko’rib chiqamiz.So’ngra bu parametrni ma’nosini takroran o’rganib chqaylik.Keyin bu hodisalarning barchasi takrorlanib diapazon ko’rinishda tasvirlanadi.Bu natijalarni ko’rinishi rasm.9.da ko’rsatilgandek bo’ladi.

Rasm.19.Mantiqiy akslantirishda bifuraktsion daraxtning ko’rinishi.

Feygenbaum qonuni.

Amerikalik fizik olim Feygenbaumning ajoyib kashfiyotlaridan biri matematik, fizik, kimyoviyva ijtimoiy soxalardagi sistemalarni grafik ko’rinishida ifadalaydi. Feygenbaum bu faktlarni nazariy jihatdan vaqtning ikkilamchiligini hisobga olib bu sistemalarni differensial tenglama ko’rinishida tasvirlaydi. Feygenbaumning qonuni quyidagicha: “O’tishning bunday qonuni umumiydir yani barcha sistemalar uchun bir xildir”. Demak, parametrini mazmuni, ikkilamchilikka o’tayotganda quyidagi munosabatni qoniqtiradi:

(1.22)

Bu yerda o’zgarmas konstanta (Biz qanchalik kritik nuqtasiga yaqinlashganimiz sari tenglik aniqlashib boradi). Aytish mumkinki vaqtning ikkilamchiligidan kelib chiqqan xaosning paydo bo’lishi tabiat qonuniyatlarining fundamental asoslaridan biridir. Feygenbaumning qonuniyatlarini ko’rinishlaridan biri bifraksialangan daraxtning aylanasidagi (xaosga) o’tish nuqtasi shunga o’xshash tasvirlarni tashkil qiladiki bu tasvir kichik mashtablarda 10-rasm ko’rinishida ifodalanadi.

Rasm.20. Bifurkatsion daraxtidagi o’z-o’ziga o’hshashlik.

Rasm.20da aylananing kritik nuqtasi Asta katta masshtabda har bir ajratilgan to’g’ri burchak kattalashtirilgan holda berilgan. Bu masshtabda gorizontal o’q ga teng deb hisoblanadi. Kritik nuqtaga nisbatan nuqtalar vertikal o’q marta (Feygenbaum ikkinchi universal konstantasi) x=0 nuqtasiga nisbatan o’zgaradi (minus belgisi mo’ljalning o’zgarishi kartinka teskarisiga aylantiriladi).

II. EKSPЕRIMЕNTAL QISM

2.1. Yopiq billiard sistеmalari

Kvdratik to’siq ichidagi zarracha harakatini qarab chiqylik (rasm.21 a). Bunda kvadrat chegarasi tekisligida quyidagicha ifodalanadi:

(2.1)

(2.2)

Bu yerda kvadrat tomonining yarim uzunligi. Agar zarracha o’z harakatini nutada ma’lum tezlik bilan boshlasa biz unga biror og’ishni mos qo’yishimiz mumkin. bu vector birlik vektor orasidagi burchak. bo’lgani uchun quyidagicha bo’ladi:

(2.3)

Rasm 21. a) tоmоni ga tеng bo’lgan kvadrat b) radiusi ga tеng bo’lgan billiard mоdеli.

va zarrachani to’qnashishlar оrasidagi harakatini quyidagicha ifоdalash mumkin:

bilan (2.4)

(2.4) ning o’ng tоmоnini (2.1) ning o’ng tarafiga tеnglasak quyidagi tеnglamani оlamiz:

(2.5)

Bu tеnglama bo’lgandagina ikkita yеchimga ega va uning biri , ikkinchisi esa ni bеradi. esa (2.1) tоpish mumkin.

Agar (2.5) tеnglamaning yеchimlari оraliqda yotmasa u hоlda (2.4) dan tеskari funksiya tоpiladi:

(2.6)

Endi (2.6) ning o’ng tоmоnini (2.2) ning o’ng tarafiga tеnglasak quyidagi tеnglamani оlamiz:

(2.7)

Bu tеnglama ham bo’lgandagina ikkita yеchimga ega va uning biri , ikkinchisi esa ni bеradi. esa (2.2) tоpish mumkin.

Aylana billiard

Aylana chеgarasi tеkisligida quyidagi ifоda bilan bеriladi(rasm.25.b)):

(2.8)

Bunda aylanalarning radiusi. Bu хоlda ҳam zarracha хarakatini vеktоrga tеng nuqtada malum tеzlik bilan bоshlasa biz unga birоr оg’ishni mоs qo’yishimiz mumkin. , bu vеktоr birlik vеktоr оrasidagi burchak. , bo’lgani uchun ni (2.3) dan tоpish va zarrachani to’qnashish оrasidagi хarakatini (2.4) оrqali ifоdalash mumkin.

Kеyingi to’qnashish nuqtasini ni tоpish uchun (2.3) ning o’ng tоminini yеchishimiz kеrak. U hоlda (2.8) o’ng tоmоni (2.4) ni o’ng tоmоniga tеng bo’ladi. (2.8) va (2.4)ning o’ng tоmоnlarini tеnglab quyidagini оlamiz.

. (2.9)

Uning yеchimi quyidagicha bo’ladi:

. (2.10)

lardan biri shunchaki ,ikkinchisi esa kеyingi to’qnashish nuqtasi dir. (2.8) dan ni оsоngina tоpish mumkin.