Turli bazislardagi vektorlar, chiziqli operatorlar orasida bog`lanishlar. O`xshash matritsalar

Turli bazislardagi vektorlar, chiziqli operatorlar orasida bog`lanishlar. O`xshash matritsalar.

V vektor fazoning (1) bazisi va bu fazoda chiziqli operator berilgan bo`lsin.

x va vektorlarning (1) bazisga nisbatan koordinatalar ustunini va bilan belgilaymiz:

,

Bu matritsalar orasidagi bog`lanishni topamiz.

Teorema. V vektorlar fazoning -chiziqli operatori va matritsa operatorning (1) bazisdagi matritsasi bo`lsin, u holda vektorlar uchun quyidagi tenglik o`rinli bo`ladi.

Isboti.

bo`lsin,

u holda

……………………………………..

tengliklar o`rinli bo`ladi.

Agar

bo`lsa

;

Demak,

tenglik isbotlandi.

Teorema. V vektor fazoning chiziqli operator (1) bazisga nisbatan uning matritsasi berilgan bo`lsin. Agar vektor uchun

bo`lsa, u holda bo`ladi.

Isboti. matritsaning aniqlanishiga ko`ra,

(1)

ga vektorlarni ketma-ket qo`yib,


(2)

……………………………………………………..

1. 
   va (2) ga asosan, va B matritsalarning mos ustunlari ustma-ust tushadi. Demak,
   

Chiziqli operatorlar rangi bilan uning matritsasi rangi orasidagi bog`lanishni ko`ramiz.

Teorema. Chekli o`lchovli vektor fazo chiziqli operatorning rangi bu operator matritsasining rangiga teng.

Isboti. vektor fazoning tanlangan bazisi bo`lsin. vektorlarning bu bazisga nisbatan koordinatalar ustini bo`lsin. Ular operator matritsasi ning ustunlaridan iborat bo`ladi, ya`ni

(1)

Demak,

vektorlar sistemasining rangi, bu vektorlarning ustunlari sistemasi rangiga teng, shular uchun va (1) ga ko`ra,

(2)

V vektor fazoning vektori berilgan bo`lsin, va

bo`lsin chiziqli operator bo`lgani uchun

o`rinli.

Shuning uchun,

ya`ni operator obrazi vektorlar orqali tashkil topadi. Bu yerdan,

(3)

2. 
   va (3) ga ko`ra, operatorning rangi matritsa rangiga teng.
   

Turli bazislarga nisbatan berilgan vektorlarning ustun koordinatalari orasidagi bo`g`lanish.

V-n o`lchovli nolmas vektor fazo bo`lsin. Bu fazoning ikkita turli bazislari berilgan bo`lsin.

(1)

(2)

1. 
   bazis vektorlarini (1) bazis vektorlari orqali ifodalaymiz.
   

(*)

………………………………….

Ta`rif.

matritsaga birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o`tish matritsasi deyiladi. Bu yerda k-ustun vektorning bazisga nisbatan koordinatalar ustunidir.

Teorema. T-matritsa teskarilanuvchidir.

Isboti. chiziqli erkli vektorlar sistemasi bo`lgani uchun bu vektorlar koordinatalar ustunining ham chiziqli erkliligi kelib chiqadi, ya`ni T matritsaning ustun vektori chiziqli erklidir. Shuning uchun T matritsa teskarilanuvchi.

vektorning birinchi bazisga nisbatan koordinatalar ustunini ikkinchi bazisga nisbatan deb belgilaymiz. va orasida bog`lanish o`rnatamiz.

Teorema. va koordinatalar ustuni x vektorning (1) va (2) bazisga nisbatan matritsalar bo`lsa, va T-birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o`tish matritsasi bo`lsa, u holda

(1)

(2)

Isboti. va

(3)

(4)

bo`lsin, u holda

,

bo`ladi. lar o`rniga (*) tenglikdan foydalanib, (4) ni quyidagicha yozamiz.

Bundan

...............................................

bu yerdan

ya`ni

bu tenglikning ikkala tomonini ga ko`paytirib,

ga ega bo`lamiz.

-nol` bo`lmagan chekli o`lchovli vektor fazo bo`lsin. vektor fazoning

(1)

(2)

bazislari va birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o`tish matritsasi T berilgan bo`lsin.

Teorema. vektor fazoning chiziqli operatori bo`lsin. va matritsalar bu operatorning mos ravishda (1) va (2) bazisga nisbatan matritsalari bo`lsin. T matritsa esa birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o`tish matritsasi bo`lsin, u holda

bo`ladi.

Isboti. Yuqoridagi teoremaga ko`ra,

(3)

(4)

bu yerda va lar x vektorning mos ravishda birinchi va ikkinchi bazisdagi (matritsalari) koordinatalar ustuni ustuni (4) tenglikda x vektorni bilan almashtirib,

tenglikka asosan,

2. 
   ga ko`ra, . Bu tenglik uchun o`rinli. 1^*
   ga ko`ra,
   

Ta`rif. Agar teskarilanuvchi matritsa mavjud bo`lib,

tenglik o`rinli bo`lsa, u holda matritsalar o`xshash matritsalar deyiladi.

Teorema. to`plamda matritsalarning o`xshashlik munosabati ekvivalentlik munosabatidir.