Toshkent arxitektura qurilish instituti matematika va tabiiy fanlar kafedrasi



Download 343,09 Kb.
Pdf ko'rish
Sana27.02.2020
Hajmi343,09 Kb.
#40992
Bog'liq
determinantlar


 

 

OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI 



 

 

TOSHKENT ARXITEKTURA QURILISH INSTITUTI 



 

 

MATEMATIKA VA TABIIY FANLAR KAFEDRASI 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

REFERAT 

 

 

 

 

 

 

MAVZU. DETERMINANTLAR 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TOSHKENT 2016 

 

 

MAVZU. DETERMINANTLAR 



Reja: 

1.

 

Ikkinchi va uchunchi tartibli determinantlar 

2.

 



- tartibli determinant tushunchasi 

3. Determinantlarni xossalari va ularni hisoblash 



 

Determinant  tushunchasidan  dastlab  chiziqli  tenglamalar  sistemasini 

yechishda  foydalanilgan  bo‘lib,  keyinchalik    determinantlar  matematikaning  bir 

qancha  masalalarini  yechishga,  jumladan  xos  sonlarni  topishga,  differensial 

tenglamalarni yechishga, vektor hisobiga, keng tatbiq etildi 

1

 



2.1. Ikkinchi va uchunchi tartibli determinantlar 

Ikkinchi tartibli determinant  

21

12



22

11

22



21

12

11



det

a

a

a

a

a

a

a

a

A



                         (1.2.1) 

kabi belgilanadi va aniqlanadi. 

22

21



12

11

,



,

,

a



a

a

a

 sonlarga determinantning elementlari deyiladi. Bunda      

12

11

,a



a

 

1-satr, 



22

21

a



a

 

2 -satr, 



21

11

,a



a

 

1-ustun  va 



22

12

a



a

 

2 -ustun  elementlari  hisoblanadi, 



ya’ni 

ij

 determinantning  -satr  va  - ustunda joylashgan elementini ifodalaydi. 

 

22



11

a



a

  elementlar  joylashgan  diagonalga  determinantning  bosh  diagonali, 

12

21

a



a

  elementlar  joylashgan  diagonalga  determinantning  yordamchi  diagonali 

deyiladi. 

        Shunday  qilib,  ikkinchi  tartibli  determinant  bosh  diagonal  elementlari 

ko‘paytmasidan yordamchi diagonal elementlari ko‘paytmasini ayrilganiga teng: 

 

2.1-misol.

 

Berilgan 



determinantlarni 

hisoblang. 

       1.  

;

23



8

15

4



)

2

(



5

3

5



4

2

3









 

                                                 

1

 

E.Kreyszig. Advancet engineering Matematics. Copyright. 2011, pp. 255-265



 

 

22



21

12

11



22

21

12



11

22

21



12

11

a



a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



 

 

 

       2.  



.

cos


sin

1

sin



sin

sin


sin

2

2















ctg

tg

ctg

tg

 

Matritsaning  muhim  tavsiflaridan  biri  determinant  hisoblanadi.  Determinant 



faqat kvadrat matritsalar uchun kiritiladi. 

 

  kvadrat  matrisaning  determinanti 

A

det


  bilan  belgilanadi.  Masalan, 









22



21

12

11



a

a

a

a

A

  matritsaning  determinanti 

22

21

12



11

det


a

a

a

a

A

  kabi  aniqlanadi. 



Bunda  matritsani  uning  determinanti  bilan  adashtirmaslik  kerak:  mattitsa  –  bu 

sonlar massivi; determinant – bu bitta son.



 

Uchinchi tartibli determinant  



32



21

13

31



23

12

33



22

11

33



32

31

23



22

21

13



12

11

a



a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 

32



23

11

33



21

12

31



22

13

a



a

a

a

a

a

a

a

a



                            (1.2.2) 

kabi belgilanadi va aniqlanadi. 

         Uchinchi  tartibli  determinant  uchun  satr,  ustun,  bosh  diagonal,  yordamchi 

diagonal tushunchalari ikkinchi tartibli determinantdagi kabi  kiritiladi. 

         Uchinchi  tartibli  determinantlarni  hisoblashda  (1.2.2)  tenglikning  o‘ng 

tomonidagi birhadlarni topishning yodda saqlash uchun oson bo‘lgan qoidalaridan 

foydalaniladi. 

        «Uchburchak qoidasi» 

ushbu  sxema bilan tasvirlanadi 

2



 



 

 

        Bunda 



diagonallardagi  yoki  asoslari  diagonallarga  parallel  bo‘lgan  uchburchaklar 

uchlaridagi  elementlar  uchta  elementning  ko‘paytmasini  hosil  qiladi.  Agar 

uchburchaklarning asoslari bosh diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning 

                                                 

2

 

Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp.162-169 



 

 



33

32

31



23

22

21



13

12

11



a

a

a

a

a

a

a

a

a

 



 

33

32



31

23

22



21

13

12



11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 


 

 



 



 



23

22



21

13

12



11

33

32



31

23

22



21

13

12



11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 

1) 



2) 

 



 



 



32

31



33

32

31



12

21

23



22

21

12



11

13

12



11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 

ko‘paytmasi  ishorasini  saqlaydi.  Agar  uchburchaklarning  asoslari  yordamchi 



diagonalga parallel bo‘lsa, u holda  elementlarning ko‘paytmasi teskari ishora bilan 

olinadi. 

«Sarryus qoidalari»

 quyidagi sxemalar bilan ifodalanadi 

3



          1-qoidada  avval  determinant  tagiga  uning  birinchi  ikkita  satri  yoziladi,  



2-qoidada esa determinantning o‘ng tomoniga uning birinchi ikkita ustuni yoziladi.           

Bunda  diagonallardagi  yoki  diagonallarga  parallel  bo‘lgan  to‘g‘ri  chiziqlardagi  

elementlar  uchta  ko‘paytuvchini  hosil  qiladi.  Agar  to‘g‘ri  chiziqlar  bosh 

diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning ko‘paytmasi ishorasini saqlaydi.  

Agar  to‘g‘ri  chiziqlar  yordamchi  diagonalga  parallel  bo‘lsa,  u  holda   

elementlarning ko‘paytmasi teskari ishora bilan olinadi. 

 

       2.2-misol.  1. 



2

3

1



1

2

3



3

1

2



det





A

  determinantlarni  uchburchak  qoidasi  bilan 

hisoblang. 



Yechish. 

 

                                                 



3

 

E.Kreyszig. Advancet engineering Matematics. Copyright. 2011, pp. 257-259  



 

2

3



1

1

2



3

3

1



2



 

,



20

27

1



8





 

2

3



1

1

2



3

3

1



2



 

,



6

6

6



6



 



.

14

6



20

det




A

 


 

 

2. 



1

4

2



2

1

3



3

5

1



det





B

 determinantni Sarryusning 1-qoidasi bilan hisoblang. 

 

 

 



 

 

 



3.

 

2



1

3

3



0

2

1



4

3

det





C

 determinantni Sarryusning  2-qoidasi bilan hisoblang. 

 

 

 



 

2.2. 

n

- tartibli determinant tushunchasi 

      

  

n



- tartibli determinant

  

nn



n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

...


...

...


...

...


...

...


det

2

1



2

22

21



1

12

11



 

kabi belgilanadi va ma’lum qoida asosida hisoblanadi.  



n

- tartibli determinant 



 har bir satr va har bir ustundan faqat bittadan olingan 

  ta  elementning  ko‘paytmasidan  tuzilgan  !

  ta  qo‘shiluvchilar  yig‘indisidan 

iborat  bo‘ladi,  bunda  ko‘paytmalar  bir-biridan  elementlarining  tarkibi  bilan  farq 

qiladi va har bir ko‘paytma oldiga inversiya tushunchasi asosida plyus yoki minus 

ishora qo‘yiladi. 



-tartibli  determinantni  bu  qoida  asosida  ifodalash  etarlicha  noqulaylikka 

ega. Shu sababli yuqori tartibli determinantlarni hisoblashda bir nechta ekvivalent 

 



 

 



.

84

15



8

6

20



36

1

2



1

3

3



5

1

1



4

2

2



1

3

3



5

1

2











 





.

31



16

9

0



2

36

0



1

3

2



1

3

0



2

3

0



2

4

3



1

4

3



3









 



 





 



 


 

 

qoidalardan foydalaniladi. Bunday qoidalardan biri yuqori tartibli determinantlarni 



quyi  tartibli      determinantlar      asosida    hisoblash    usuli  hisoblanadi.    Bu  usulda  

determinant  biror  satr  (yoki  ustun)  bo‘yicha  yoyiladi.  Bunda    quyi  (ikkinchi  va 

uchunchi) tartibli determinantlar yuqorida keltirilgan ta’riflar asosida topiladi. 

-tartibli  determinantlarni  yoyishda  minor  va  algebraik  to‘ldiruvchi 

tushunchalaridan foydalaniladi. 



-tartibli  determinant 

ij

 

elementining 

minori 

  deb,    shu  element 

joylashgan     satr     va     ustunni     o‘chirishdan    hosil    bo‘lgan   

)

1



(



n

- tartibli  

determinantga  aytiladi va 



ij

 bilan belgilanadi

Determinant 



ij

 

elementining 

ij

A

algebraik to‘ldiruvchisi

 deb,   

ij

j

i

ij

M

A



)

1



(

 

songa aytiladi. 



Masalan

2



2

3

1



0

2

2



3

1



determinantning 

2

21





a

 elementining  minori va 

algebraik to‘ldiruvchisi quyidagicha topiladi: 

 

 



 

 

2.3. Determinantning xossalari 

        Determinantning xossalarini uchinchi tartibli determinant uchun keltiramiz.  

Bu xossalar ixtiyoriy  - tartibli determinant uchun ham o‘rinli bo‘ladi. 



        1-xossa.

 

Transponirlash (barcha   satrlarni  mos   ustunlar  bilan  almashtirish)  

natijasida determinantning qiymati o‘zgarmaydi, ya’ni   

.

det



det

33

23



13

32

22



12

31

21



11

33

32



31

23

22



21

13

12



11

T

A

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A



 

.



10

)

1



(

,

10



2

2

2



3

2

2



3

1

0



2

2

3



1

21

1



2

21

21











M

A

M

 

 

 

Isboti.

  Xossani  isbotlash  uchun  tenglikning  chap  va  o‘ng  tomonidagi 

determinantlarning  qiymatlarini  uchburchak  qoidasi  orqali  yozib  olish  va  olingan 

ifodalarning tengligiga ishonch hosil qilish kifoya. 

1-xossa  satr  va  ustunlarning  teng  huquqligini  belgilab  beradi.  Boshqacha 

aytganda satrlar uchun isbotlangan xossalar ustunlar uchun ham o‘rinli bo‘ladi va 

aksincha. Shu   sababli    keyingi    xossalarni   ham satrlar   va ham ustunlar uchun  

ifodalab, ularning isbotini faqat satrlar yoki faqat ustunlar uchun ko‘rsatamiz.  

       

2-xossa.

  Determinant   ikkita   satrining  (ustunining)   o‘rinlari  almashtirilsa,  

uning qiymati qarama-qarshi ishoraga  o‘zgaradi.  Masalan, 

.

33

32



31

13

12



11

23

22



21

33

32



31

23

22



21

13

12



11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



 

Bu xossa ham 1-xossa kabi isbotlanadi. 



3-xossa 

Agar determinant ikkita bir xil satrga (ustunga) ega bo‘lsa, u nolga 

teng bo‘ladi. 

        


Isboti.

  Haqiqatdan  ham  determinantda  ikkita  bir  xil  satrning  o‘rinlari 

almashtirilsa,  uning      qiymati      o‘zgarmaydi.      Ikkinchi    tomondan      2-xossaga  

ko‘ra    determinant  qiymatining  ishorasi  o‘zgaradi.  Demak 



A

A

det


det



,  yoki 

0

det



2



A

. Bundan 

.

0



det



A

 

        

4-xossa.

    Determinantning  biror  satri  (ustuni)  elementlari 

  songa 



ko‘paytirilsa, determinant shu songa ko‘payadi va aksincha determinant biror satr 

(ustun)    elementlarining     umumiy    ko‘paytuvchisini    determinant    belgisidan  

tashqatiga chiqarish mumkin. Masalan, 

33

32



31

23

22



21

13

12



11

33

32



31

23

22



21

13

12



11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a





         



Isboti.

  Tenglikning  chap  tomondagi  determinant  hisoblanganida  oltita 

qo‘shiluvchining hammasida 

 ko‘paytuvchi qatnashadi.  



 

 

        Bu 



ko‘paytuvchini  qavsdan  tashqariga  chiqarib,  qavslar  ichidagi 

qo‘shiluvchilardan  determinant  tuzilsa,  tenglikning  o‘ng  tomondagi  ifoda  hosil 

bo‘ladi.  

        5-xossa.

    Agar  determinant  biror  satrining  (ustunining)  barcha  elementlari 

nolga teng bo‘lsa, u nolga teng bo‘ladi.  

Xossaning 

isboti 

 4-xossadan  

0





 da kelib chiqadi. 

       6-xossa.

  Agar determinantning ikki satri (ustuni) proporsional bo‘lsa, u nolga 

teng bo‘ladi. Masalan, 

.

0

33



32

31

13



12

11

13



12

11



a

a

a

a

a

a

a

a

a



 

Isboti.

  4-xossaga  ko‘ra  determinant  ikkinchi  satrining 

  ko‘paytuvchisini  



determinant      belgisidan    chiqarish    mumkin.  Natijada    ikkita    bir    xil    satrli 

determinant qoladi va u 3-xossaga ko‘ra nolga teng bo‘ladi



        7-xossa

  Agar determinant biror  satrining (ustunining) har bir elementi ikki 

qo‘shiluvchining  yig‘indisidan  iborat  bo‘lsa,  bu  determinant  ikki  determinant 

yig‘indisiga  teng  bo‘lib,  ulardan  birinchisining  tegishli  satri  (ustuni)  elementlari 

birinchi  qo‘shiluvchilardan,  ikkinchisining  tegishli  satri  (ustuni)  elementlari 

ikkinchi qo‘shiluvchilardan tashkil topadi. 

         

Isboti.

  Determinant  birinchi  satrining  har  bir  elementi  ikkita  qo‘shiluvchi 

yig‘indisidan iborat bo‘lsin.  U holda 























31

23



12

12

33



22

11

11



33

32

31



23

22

21



13

13

12



12

11

11



)

(

)



(

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 







32

21



13

13

)



(

a

a

a

a















32

23



11

11

33



21

12

12



31

22

13



13

)

(



)

(

)



(

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 







32

21

13



31

23

12



33

22

11



a

a

a

a

a

a

a

a

a





32

23



11

33

21



12

31

22



13

a

a

a

a

a

a

a

a

a







31



23

12

33



22

11

(



a

a

a

a

a

a

 

32



21

13

a



a

a





.

)

33



32

31

23



22

21

13



12

11

33



32

31

23



22

21

13



12

11

32



23

11

33



21

12

31



22

13

a



a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a























 

 

 

8-xossa.



  Agar  determinantning  biror  satri  (ustuni)  elementlariga  boshqa 

satrining  (ustunining)  mos  elementlarini  biror  songa  ko‘paytirib  qo‘shilsa, 

determinantning qiymati o‘zgarmaydi.  

        

Isboti.

 

A

det

 determinantning ikkinchi satri elementlariga 

 ga ko‘paytirilgan 



birinchi satrning mos elementlari qo‘shilgan bo‘lsin: 



33



32

31

13



23

12

22



11

21

13



12

11

a



a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



 

33



32

31

13



12

11

13



12

11

33



32

31

23



22

21

13



12

11

a



a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



 



Qo‘shiluvchilardan birinchisi 

A

det


ga va ikkinchisi esa 3-xossaga ko‘ra nolga 

teng. Demak,  yig‘indi 



A

det


ga teng.  

9-xossa.

  Determinantning  qiymati  uning  biror  satri  (ustuni)  elementlari bilan 

shu elementlarga mos algebraik to‘ldiruvchilar ko‘paytmalarining  yig‘indisiga  

teng bo‘ladi. Masalan, 

13

13



12

12

11



11

det


A

a

A

a

A

a

A



 yoki  


32

31

22



21

13

33



31

23

21



12

33

32



23

22

11



33

32

31



23

22

21



13

12

11



a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



 

       



Isboti.

 Tenglikning o‘ng  tomonida almashtirishlar bajaramiz: 







)

(

)



(

)

(



22

31

32



21

13

23



31

33

21



12

23

32



33

22

11



a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 





31

22



13

32

21



13

31

23



12

13

22



11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

.

33



32

31

23



22

21

13



12

11

32



23

11

33



21

12

a



a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



 

  

10-xossa.



 Determinant   biror   satri  (ustuni)  elementlari   bilan   boshqa  satri  

(ustuni) mos  elementlari  algebraik  to‘ldiruvchilari  ko‘paytmalarining   yig‘indisi  

nolga teng bo‘ladi. Masalan,  

.

0



13

23

12



22

11

21





A

a

A

a

A

a

  

      



Isboti.

 Determinantni 9-xossani qo‘llab, topamiz: 

.

33

32



31

23

22



21

13

12



11

13

13



12

12

11



11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

a

A

a

A

a



 


 

 

13



12

11

,



,

a

a

a

 mos ravishda 

23

22

21



,

,

a



a

a

 bilan bilan almashtirilsa, 3-xossaga ko‘ra  

determinant nolga teng bo‘ladi. 

        


1-izoh.

 Determinantning  xossalari asosida quyidagi teorema isbotlangan. 



1-teorema.

  Bir  xil  tartibli 



  va    kvadrat  matritsalar  ko‘paytmasining 

determinanti bu matritsalar determinantlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni  

.

det


det

)

det(



B

A

B

A





 

 

2.4. 

n

-tartibli determinantlarni hisoblash 



 

         - tartibli determinantni  xossalar  yordamida  soddalashtirib, keyin  tartibini 

pasaytirish  yoki  uchburchak  ko‘rinishga  keltirish  usullaridan  biri  bilan  hisoblash 

mumkin. 


Tartibini pasaytirish usuli 

n

-tartibli  determinant  9-xossaga  asosan  biror  satr  yoki  ustun  bo‘yicha 

yoyiysa,    yoyilmada   

)

1



(



n

-tartibli  algebraik    to‘ldiruvchilar    hosil  bo‘ladi,  

ya’ni  -tartibli  determinantni  hisoblash    tartibi    bittaga    past    bo‘lgan  

determinantlarni hisoblashga keltiriladi.  

       Umuman olganda  quyidagi teoremalar o‘rinli bo‘ladi. 



2-teorema.

 

 satrining  nomeri  qanday  bo‘lishidan  qat’iy  nazar    -tartibli 

determinant   uchun   bu  determinantni   -satr  bo‘yicha  yoyilmasi  deb  ataluvchi  

n

i

A

a

A

a

A

a

A

in

in

i

i

i

i

,

1



,

...


det

2

2



1

1





                         (1.2.3) 

formula o‘rinli. 

3-teorema.

    ustunining  nomeri  qanday  bo‘lishidan  qat’iy  nazar    -tartibli 

determinant  uchun  bu  determinantni   -ustun  bo‘yicha  yoyilmasi  deb ataluvchi  

n

j

A

a

A

a

A

a

A

nj

nj

j

j

j

j

,

1



,

...


det

2

2



1

1





                      (1.2.4) 

formula o‘rinli. 

Determinantni  biror  satr  yoki  ustun  bo‘yicha  yoyishga



 

Laplas  yoyilmalari 

usuli 

deyiladi 

4



                                                 



4

 

Kenneth L. Kuttler-Elementary Linear Algebra [Lecture notes] (2015). pp.89-95 



 

 

Laplas yoyilmalari usulida determinantning qaysi bir satrida (ustunida) nollar 



ko‘p bo‘lsa, u holda yoyishni   shu   satr (ustun) bo‘yicha  bajarish   qulay   bo‘ladi.  

Bundan    tashqari  8-xossani  qo‘llab,  determinantning  biror  satrida  (ustunida)  bitta 

elementdan 

boshqa 


elementlarni 

nollarga 

keltirish 

mumkin. 


Bunda 

determinantning qiymati shu satrdagi (ustundagi) noldan farqli element bilan uning 

algebraik  to‘ldiruvchisining  ko‘paytmasidan  iborat  bo‘ladi.  Shunday  qilib,          

-tartibli determinant bitta  

)

1



(



n

-tartibli determinantga keltirib, hisoblanadi. 

    2.3-misol. 

2

0



1

1

4



3

0

2



3

1

2



4

4

0



1

2

det







A

 

determinantni tartibini pasaytirish usuli bilan hisoblang.  



Yechish

.    Bunda:  1)  Ikkita  elementi  nolga  teng  bo‘lgan  uchinchi  ustunni 

tanlaymiz    va  uning  ikkinchi    satrida  joylashgan  elementidan  boshqa  barcha 

elementlarini  nolga      aylantiramiz.  Buning  uchun      ikkinchi      satr      elementlarini     

3 ga   ko‘paytirib,  uchunchi     satrning      mos     elementlariga      qo‘shamiz    va     

hosil      bo‘lgan    determinantni    uchinchi   ustun elementlari bo‘yicha yoyamiz; 

          2)  Hosil qilingan uchinchi tartibli determinantda birinchi ustunning uchinchi 

satri  elementidan  yuqorida  joylashgan  elementlarini  nolga  aylantiramiz.  Buning 

uchun avval uchinchi satrni 

)

2

(



ga ko‘paytirib, birinchi satrga qo‘shamiz, keyin  

uchinchi  satrni 

)

10



(

ga  ko‘paytirib,  ikkinchi  satrga  qo‘shamiz,  hosil  bo‘lgan 



determinantni   birinchi   ustun   elementlari  bo‘yicha   yoyamiz  va  hosil  bo‘lgan  

ikkinchi tartibli determinantni hisoblaymiz: 

                                                                                                                                                             

 


 

 

;



2

1

1



5

6

10



4

1

2



)

1

(



)

1

(



2

0

1



1

5

0



6

10

3



1

2

4



4

0

1



2

2

0



1

1

4



3

0

2



3

1

2



4

4

0



1

2

det



3

2















A

       


.

43

32



75

25

4



8

3

2



1

1

25



4

0

8



3

0

det











A

 

Uchburchak ko‘rinishga keltirish usuli 

Bu  usulda    determinant  xossalar  yordamida  soddalashtiriladi  va  uchburchak 

ko‘rinishga  keltiriladi,  ya’ni  diagonalidan  pastda  (yuqorida)    joylashgan  barcha 

elementlari nolga aylantiriladi.  

Bunda  


U

A

k

det


)

1

(



det



 

bo‘ladi  [3],  bu  yerda 



k

satrlarda  va  ustunlarda  bajarilgan  barcha  o‘rin 

almashtirishlar   soni;  



U

det

berilgan determinantning   uchburchak   ko‘rininshi 



va uning qiymati quyidagi xossa asosida hisoblanadi: 

       


Xossa. 

Uchburchak  ko‘rinishidagi  determinant  bosh  diagonalda    joylashgan 

elementlarining ko‘paytmasiga teng 

5

.          



    2.4-misol. 

2

0



1

0

1



2

0

1



0

1

0



3

0

0



1

2

det





A

 

determinantni    ushburshak    ko‘rinishga    keltirib,   hisoblang. 



          Yechish. 

Determinant ustida quyidagi soddalashtirishlarni bajaramiz: 

        - birinchi ustunni o‘zidan o‘ngda joylashgan ustunlar bilan ketma-ket 

3



k

ta  


o‘rin almashtirib, to‘rtinchi ustunga o‘tkazamiz; 

                                                 

5

 

Kenneth L. Kuttler-Elementary Linear Algebra [Lecture notes] (2015). pp. 89-95 



 

 

 

        -  birinchi  ustunning  birinchi  satridan  pastda  joylashgan  elementlarini  nolga 



aylantiramiz; 

- ikkinchi ustunning  ikkinchi  satridan  pastda  joylashgan elementlarini nolga  

aylantiramiz; 

-  uchinchi    ustunning      to‘rtinchi    satrida  joylashgan    elementini  nolga  

aylantiramiz; 

       - 

1

)

1



(

)

1



(

3







k

 ko‘paytuvchi     bilan      hosil     bo‘lgan     uchburchak     

ko‘rinishgagi  determinantning  bosh  diagonalda  joylashgan    elementlarini 

ko‘paytiramiz. 









2

2

0



0

1

1



2

0

3



0

1

0



2

0

0



1

)

1



(

0

2



0

1

1



1

2

0



3

0

1



0

2

0



0

1

)



1

(

2



0

1

0



1

2

0



1

0

1



0

3

0



0

1

2



det

3

A

 

.

8



8

1

1



1

)

1



(

8

0



0

0

5



1

0

0



3

0

1



0

2

0



0

1

)



1

(

2



2

0

0



5

1

0



0

3

0



1

0

2



0

0

1



)

1

(













 



 

    

    2.1.  

A

 matritsa 



n

n

 o‘lchamli bo‘lsin. 



)

det( A

 da 


ni determinant belgisidan tashqariga  

chiqarish uchun formula keltirib chiqaring. 

   2.2. 



A

 kvadrat matritsa va 

I

A

A

T

bo‘lsin. 



1

det




A

 bo‘lishini ko‘rsating. 

   2.3. 











1

0



0

1

A



 va 











d



c

b

a

B

 bo‘lsin. 



B

A

B

A

det


det

)

det(





 faqat 

0





d

a

  

bo‘lganida bajarilishini ko‘rsating. 



   2.4.  









2



1

0

5



A

 va 









2



3

1

7



B

 bo‘lsin. 



B

A

B

A

det


det

)

det(





 bo‘lishiga ishonch hosil  

qiling. 


   2.5. 









1



2

1

3



A

 bo‘lsin. 

1000


det A

 ni toping. 



2.  Mashqlar  

 

 

   2.6. 



A

 va 

B

 matritsalar 

3

3





 o‘lchamli, 

1

det





A

va 

2

det





B

 bo‘lsin. Toping:   

   1) 

;

det AB



            2) 

;

5



det A

          3) 

;

det


A

A

T

            4) 

.

det


3

B

  

   2.7. 



A

 va 

B

 matritsalar 

4

4





 o‘lchamli, 

4

det





A

va 


3

det




B

 bo‘lsin. Toping:   

   1) 


;

det AB

            2) 

;

det



5

          3) 

;

2



det A

              4) 

.

det IA   



      Ikkinchi tartibli determinantlarni hisoblang: 

   2.8. 

x

x

y

x

y



.                                      2.9. 

b

a

b

b

a



1

1



.

 

 2.10. 





2

2



2

2

cos



sin

cos


sin

.                          2.11. 





cos


sin

1

1





ctg



tg

        Uchinchi tartibli determinantlarni uchburchak va Sarryus qoidalari bilan hisoblang: 



2.12. 

.

1



3

2

3



0

4

1



1

5





                                 2.13. 

.

3

2



1

1

1



3

4

0



2





        

        Uchinchi  tartibli  determinantlarni  biror  satr  yoki  ustun  elementlari  bo‘yicha  yoyib 

hisoblang: 



2.14. 

.

0



0

1

1



b

b

b

b

b



                                   2.15. 

.

1

1



1

1

x



x

x

x

x



 

2.16. 

.

sin



sin

0

sin



0

sin


0

sin


sin







                    2.17. 

.

0



0

0







tg



ctg

tg

tg

ctg

tg

 

         Uchinchi tartibli determinantlarni xossalaridan foydalanib hisoblang: 



2.18. 

.

1



1

1

bc



a

ca

b

ab

c

                                    2.19. 

.

1

1



1

2

2



2

2

2



2

z

a

y

a

x

a

az

ay

ax



 

2.20. 

.

b

a

b

b

b

b

a

b

b

b

b

a



                     2.21. 

.

2

x



x

x

z

x

z

x

x

y

x

y

x

x



 



2.22. 

.

)



1

(

1



)

1

(



1

)

1



(

1

2



2

2

2



2

2

c



c

c

b

b

b

a

a

a





                      2.23. 

.

1

1



1

cos


1

1

sin



1

sin


1

1

cos



1







 

         To‘rtinchi tartibli determinantlarni hisoblang: 



 

 

2.24. 

1

4

2



0

2

0



3

2

2



5

1

3



2

2

1



1







.                         2.25.  

5

7



4

4

2



0

0

3



8

0

0



2

2

3



1

1

.            



2.26. 

4

5



4

2

3



2

3

4



4

1

2



5





d



c

b

a

.                            2.27.  

7

4



5

6

8



5

8

5



10

5

8



9

2

2



2

3



.     



 

 

Adabiyotlar 



1.  Yo.U.Soatov. Oliy matematika 1-tom., T, “O’qituvchi” 1992 

2.  Yo.U.Soatov. Oliy matematika 2-tom., T, “O’qituvchi” 1992 

3.  Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp.162-

169. 


4.  Kenneth  L.  Kuttler-Elementary  Linear  Algebra  [Lecture  notes]  (2015).  pp. 

96-99. 


5.  Sh.R.Xurramov ”Matematika” Toshkent- 2016. 

 

Download 343,09 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish