To'plamlar va ular ustida amallar. To'Plamlar algebrasi. Reja

TO'PLAMLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR. TO'PLAMLAR ALGEBRASI.
REJA:
1. To'plam tushunchasi va o'nga misollar.

2. Qism to'plamlar va ularga misollar.

3. To'plamlar ustida bajariladigan amallar.

4. To'plamlar ustida bajariladigan amallarning xossalari.

5. Bo'sh va universal to'plamlar. To'ldiruvchi to'plam.

6. To'plamlar ustida bajariladigan amallarni Eyler-Venn

diagrammalari yordamida ifodalash.

1. To'plam matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo'lib, u matematika faniga nemis matematigi Georg Kantor (1845-1918) kiritilgan. To'plam tushunchasi eng sodda tushunchalardan biri bo'lgani uchun o'nga ta'rif berilmaydi. Odatda ob'yektlarni (predetlarni) birgalikda olib qaraganimizda to'plam tushunchasiga kelamiz. Lekin bu yuzaki qarash bo'lib ayrim olingan birta elementning o'zini ham to'plam deb qarash mumkin.

To'plamlarni biz lotin alfavitining bosh harflari A, B, C, D, ... bilan, to'plamni tashkil etuvchi ob'yektlarni (ya'ni to'plamning elementlarini) esa lotin alfavitining kichik harflari a, b, c, d,... lar bilan belgilaymiz. a lar bilan belgilaymiz. A to'plamga tegishli ekanligini a A ko'rinishda b elementning A to'plamga tegishli emas ekanligini esa b A ko'rinishda belgilaymiz. A to'plam a, b, c, d, e elementlardan tashkil topgan bo'lsa, u A={ a, b, c, d, e} ko'rinishda belgilanadi.

Agar qaralayotgan to'plamdagi elementlar soni chekli bo'lsa, bu to'plamga chekli to'plam, aks holda, ya'ni to'plamdagi elementlar soni cheksiz ko'p bo'lsa, bu to'plamga cheksiz to'plam deyiladi.

Masalan: A={ a, b, c, 1, 2},

B- O'zbyokistondagi talabalar to'plami,

C - Yer yuzidagi sut emizuvchi hayvonlar to'plami.

Bu A,B,C to'plamlar chekli to'plamlardir.

N={ 1, 2, 3, 4, ... , n, ...}- to'plamlar chekli to'plamlardir.

Z={ 0, 1, 2, 3, ... ,  n, ...} - butun sonlar to'plami,

Z_m = { 0,  m, 2m, ... } - m ga karrali butun sonlar to'plami.

Bu N, Z ,Z_m - to'plamlar cheksiz to'plamlarga misol bo'ladi.

2. Agar А va В to'plamlar berilgan bo'lib, А to'plamning har bir elementi В to'plamga tegishli bo'lsa, А to'plamni В to'plamning qism to'plami deyiladi va А В ko'rinishda belgilanadi. Agarda А В bo'lib В da А ga kirmagan element mavjud bo'lsa, А ga В ning xos qismi deyiladi.

Masalan. A={ a , b , c , d , e } va B={a, b, c, d, e, f, l, 1, 2} bo'lsa, А В. Shuningdek N Z.

Agar А to'plamning har bir elementi В to'plamda va aksincha В to'plamning har bir elementi А to'plamda mavjud bo'lsa, u holda bunday to'plamlarga o'zaro teng to'plamlar deyiladi va А=В ko'rinishda belgilanadi.

Demak, А=В bo'lishi А В va B A munosabatlarga teng kuchlidir. To'plamlarning tegishli bo'lishlilik munosabati quyidagi xossalarga ega:

1). А А (refleksivlik xossasi);

2). А В va B A dan А=В kelib chiqadi (antisimmetriklik xossasi);

3). А В va B C dan А C kelib chiqadi (tranzitivliklik xossasi).

Bu xossalar bevosita ta'rifdan kelib chiqadi.

3. Endi berilgan А va В to'plamlardan yangi to'plamlarni hosil qilish amallarni ko'rib chiqamiz.

А va В to'plamlarning barcha elementlaridan to'zilgan С to'plamga А va В to'plamlarning birlashmasi deyiladi va А В ko'rinishda belgilanadi. Demak, С=A B. Masalan: A={a, b, c, 1, 2} va В={ b, d, 2} bo'lsa, A B = ={a, b, c, d, 1, 2} bo'ladi. Bunda А va В to'plamlarning ikkalasida ham mavjud bo'lgan elementlar birlashmada bir marta olinadi.