Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi


MAVZUNI MUSTAXKAMDASH UCHUN SAVOLLAR



Download 0.82 Mb.
bet8/9
Sana25.06.2017
Hajmi0.82 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9
MAVZUNI MUSTAXKAMDASH UCHUN SAVOLLAR .

a). k- tartibli minor deb nimaga aytiladi ?

b). qo'shimcha minor deb nimaga aytiladi ?

v). Algebraik to'ldiruvchi deb nimaga aytiladi ?



g). а 11 а12 а12

D= а21 а22 а23

а31 а32 а33

determinantdagi а32 elementga mos algebraik to'ldiruvchini toping .




20 - MA'RO'ZA

MAVZU: DETERMINANTLARNI SATR YOKI USTUN ELEMENTLARI

BO'YICHA YOYISH.
REJA:

1. Determinantlarni satr elementlari bo'yicha yoyish formulasi. Misollar.

2. Determinantlarni satr elementlari bo'yicha yoyish. Misollar.

3. Kramer formulalari.

4. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining nolmas yechimga ega bo'lish sharti.

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3].

1. Agar Laplas teoremasida r=1 deb olib i- satrni ajratsak (4*) formula quyidagi ko'rinishga keladi.

1- natija. D= ai1Ai1+ ai2Ai2+ ... +ai n Ai n . (1)

(1) ga D determinantni i-satr elementlari bo'yicha yoyish formulasi deyiladi.

Agarda Laplas teoremasida r=1 deb olib birta j- ustunini ajratib olsak ushbu natijaga ega bo'lamiz.

2- natija. D= a1j A1j+ a2j A2j + ... + a nj Anj . (2)

(2) ga D ni j- ustun elementlari bo'yicha yoyish formulasi deyiladi.



Misol. 1). 1 2 3 0 ni avval 1- satr elementlari bo'yicha yoyib, keyin

D= 1 -1 2 -1 esa 1- ustun elementlari bo'yicha yoyib hisoblang.

1 1 0 1

0 2 0 1


Avvalo D ni 1-satr elementlari bo'yicha yoyib hisoblaylik:

-1 2 1 1 2 -1 1 -1 -1 1 -1 2

D=1(-1)1+1 1 0 1 + 2 (-1)1+2 1 0 1 + 3  1 1 1 + 0 (-1)1+4 1 1 0 =

2 0 1 0 0 1 0 2 1 0 2 0

= 0 + 0 + 4 - 0 -2 +0 -2( 0 + 0 + 0 + 0 - 2 - 0) + 3 ( 1 - 2 - 0 - 0 + 1 - 2)+ 0=

=2 + 4 - 6 = 0 .

Endi D ni 1- ustun elementlari bo'yicha yoyib hisoblaymiz:


-1 2 -1 2 3 0 2 3 0

D=1(-1)1+1 1 0 1 + 1 (-1)2+1 1 0 1 +1 (-1)3+1 -1 2 -1 + 0 =( 0 + 0 + 4 - 0 -

2 0 1 2 0 1 0 2 1

- 2 - 0 ) - ( 0 + 0 + 6 - 0 - 3 - 0) + ( 4 + 0 - 6 - 0 + 3 - 0) = 2 - 3 + 1 = 0.

Agarda D ning i- satridagi faqat birta element, masalan ai1 0 , bo'lib

qolgan elementlar nolga teng bo'lsa, u holda D ning qiymati shu element bilan o'nga mos algebraik to'ldiruvchi Ai1 ning ko'paytmasiga teng bo'ladi.


Misol. 1). 1 2 -1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 = 1 -1 2 1 -1 2 1

3 2 1 -1 3 -4 4 -1 = -4 4 -1 = - 20 + 4 + 0 - 0 + 40 + 1 = 25.

2 4 -3 5 2 0 -1 5 0 -1 5




2). a11 0 0 ... 0 a22 0 ... 0 а33 ... 0



a21 a22 0 ... 0 a32 а33 ... 0

D = a31 a32 а33 ... 0 = а11 - - - - - - - - = а11 а22 - - - - - - = ... =

- - - - - - - - - - - an2 an3 ... ann аn3 ... аnn

an1 an2 an3 ... ann
= а11 а22 а33 ... аnn .
3). 0 0 . . . 0 a1n

0 0 . . . a2,n-1 a2n 0 0 . . . a2,n-1

. . . . . . . . . . . . . . . = a1n (-1)1+n . . . . . . . . . . . . . =

an1 an2 . . . an,n-1 ann an1 an2 . . . an,n-1




0 . . . a3,n-2

= a1n a2,n-1(-1)1+n+n-1+1 - - - - - - - - - = . . .= a1n a2,n-1 . . . an1(-1)(n+1)+n+ . . .+ 1 =



0 . . . an,n-2
=(-1)(1+n+1)(n+!) / 2 a1n a2,n-1 . . . an1 = (-1)(n+1)(n+2) / 2 a1n a2,n-1 . . . an1 .
3-natija. Agar n- tartibli D determinantdagi i- satrning (ustunning) elementlarini boshqa bir j- satrining (ustunining) algebraik to'ldiruvchilariga mos ravishda ko'paytirib qo'shsak yig'indi 0 ga teng bo'ladi, ya'ni

ai1Aj1+ ai2Aj2+ ... +ai n Aj n = 0 , ( i j) (3)

a1i A1j+ a2i A2j + ... + a n i Anj =0, ( i j). (4)

Isboti. 1- natijaga ko'ra D=a1j A1j+ a2j A2j + ... + anj Anj . Agar bu formulaning chap tomonidagi a1j , a2j , ... , a nj elementlarni mos ravishda a1i , a2i , ... , a ni lar bilan almashtirsak (ya'ni D da j-ustun elementlarining o'rniga ham i-ustun elementlarini yozsak) D da ikkita bir xil ustun paydo bo'ladi. Determinantlarning xossasiga ko'ra bunday determinantning qiymati nolga teng. Shunday qilib (4) tenglik isbotlandi. (3) ham xuddi sho'nga o'xshash isbotlanadi.

3. Faraz etaylik n ta nomalumli n ta chiziqli tenglamadan to'zilgan sistema



a11 x1 + a12 x2 + ... + a1j xj + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2j xj + ... + a2n xn = b2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (5)

an1 x1 + an2 x2 + ... + anj xj + ... + ann xn = bn
berilgan bo'lsin. Bu sistemadagi 1-tenglamani A1j ga, ikkinchisini А2 j ga, ... , n- tenglamani Anj ga ko'paytirib, tenglamalarni hadlab qo'shamiz. U holda
(a11 A1 j + a21 A2 j + ... + an1 An j ) x1 +( a12 A1 j + a22 A2 j + ... + an1 An j) х2+...+

+( a1j A1 j + a2j A2 j + ... + anj Anj)хj+...+( a1n A1 j + a2n A2 j + ... + ann Ann)хn=

=b1A1j+b2A2j+...+bnAnj .
tenglamaga ega bo'lamiz . Bundan esa (4)ga asosan

1j А1j +a2j A+... + anj Anj ) хj=b1A1j+b2A2j+...+bn Anj (6)

ni hosil qilamiz. (6) ning chap tomonidagi хj noma'lum oldidagi koeffisiyent 2-natijaga ko'ra D ga teng. O'ng tomonidagi ifoda esa D dagi j-ustun elementlarining o'rniga (5) dagi ozod hadlar ustunini qo'yib hosil qilingan Dj determinantga teng . Demak , Dхj =Dj еки хj=Dj / D , j=1,2,3,...,n ; ya'ni



х1=D1 / D, х2=D2 / D , ... , хn =Dn / D (7) formulalarga Kramer formulalari deyiladi. (7) ning (5)-chiziqli tenglamalar sistemasini qanoatlantirishini bevosita uning istalgan tenglamasiga qo'yib tekshirib ko'rish mumkin.

(7) da D0 bo'lishi kerak, agar D=0 bo'lsa, (5) yechish uchun Kramer formu-lasidan foydalanib bo'lmaydi . ( Bu holda (5) ning rangi r < n topiladi va (5)da n-r ta noma'lumlarni o'ng tomonga o'tkazib keyin qo'llasa bo'ladi).


Misol. 2x1 - 3x2 + x3 = -1

x1 + 4x2 - x3 = 3

3x1 - x2 + x3 = 4 chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer formulalaridan foydalanib yeching.

Avvalo D, D1, D2 , D3 larni hisoblaylik.



2 -3 1

D= 1 4 2 =8 - 1 + 18 - 12 + 3 - 4 = 12  0

3 -1 1

-1 -3 1

D1= 3 -4 -2 =- 4 - 3 + 24 - 16 + 9 +2 = -23 + 35 = 12

4 -1 -1

2 -1 1

D2 = 1 3 -2 = 6 + 4 + 6 - 9 + 1 + 16 = 24

3 4 1

2 -3 -1

D3 = 1 4 3 = 32+ 1 - 27 + 12 + 12 + 6 = 63 - 27 =36.

3 -1 4

Bu topilgan qiymatlarni (7) formulalarga olib borib qo'ysak



х1=D1 / D =12 / 12 =1 , х2=D2 / D =24 / 12 = 2 , х3 =D3 / D =36 / 12 =3

berilgan sistemaning yechimlariga ega bo'lamiz.

Endi ushbu teoremani isbotlaymiz:

Teorema. n ta noma'lumli n ta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo'lishi uchun uning noma'lumlari oldidagi koeffisiyentlardan to'zilgan matrisaning determinanti nolga teng ( D = det A=0 ) bo'lishi zarur va yetarlidir.

Isboti.a).Faraz etaylik

ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn = 0 , ( i=1,2 , ...,n) (8)

sistema noldan farqli 12  n yechimga ega bo'lsin. U holda



ai1 1 + ai2 2 + ... + ain n = 0 , ( i=1,2 , ...,n) . (9)

Bu oxirgi sistemani quyidagicha yoza olamiz:

(a11 1 + a12 2 + ... + a1n n ; a21 1 + a22 2 + ... + a2n n ; ;an1 1 + an2 2 + ... + ann n) = ( 0, 0, ... , 0)

yoki

1(a11 ,a21 , ... an1)+2( a12 , a22 , ... ,an2) + + n( a1n , a2n , ... , ann )= 0 . (10)
(10) dan ko'rinadiki D ning ustunlari chiziqli bog'langan va demak D=0.

б). D=0 bo'lsa, u holda determinantlarning xossalariga ko'ra uning ustunlari chiziqli bog'langan. Demak, hech bo'lmasa birortasi noldan farqli bo'lgan 12  n sonlari mavjud bo'lib (10) bajariladi. (10) dan esa (9) kelib chiqadi, ya'ni (8)-sistema noldan farqli yechimga ega.


Misol. 2x1 +x2 - 4 x3 = 0

x1 - x2 - 5x3 = 0

3x1 +4 x2 - x3 = 0 chiziqli tenglamalar sistemasini qaraylik..

Bunda 2 1 -4

d= 1 -1 -5 = 2 - 16 - 15 - 12 + 1 + 40 = 43 - 43 = 0

3 4 -1

bo'lgagligi uchun sistema noldan farqli yechimga ega. Uni Gauss usuli bilan yechamiz :



x1 - x2 - 5x3 = 0 x1 - x2 - 5x3 = 0 x1 - x2 - 5x3 = 0

3 x2 + 6x3 = 0 x2 + 2x3 = 0 x2 + 2x3 = 0

7x2 + 14x3 = 0 x2 + 2x3 = 0
x2 = -2x3 , x1 = 5x3 + x2 = 5x3 - 2x3 = 3x3 .

Javobi: x1 = 3x3 , x2 = -2x3 , x3 R .
MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR
1. n - tartibli D determinantni i - satr elementlari bo'yicha yoyish formulasini yozing.

2. n - tartibli D determinantni j - ustun elementlari bo'yicha yoyish formulasini yozing.

3. Agar n - tartibli determinantdagi biror satr elementlarini boshqa bir satrining algebraik to'ldiruvchilariga mos ravishda ko'paytirib hosil bo'lgan ko'paytmalarni qo'shsak yig'indi nimaga teng bo'ladi?

4. Agar n-tartibli determinantdagi biror satr elementlarini ularga mos algebraik to'ldiruvchilarga ko'paytirib hosil bo'lgan ko'paytmalarni kushsak yig'indi nimaga teng bo'ladi?

5. Kramer formulasini yozing.

6. Agar Kramer formulasi xj = Dj / D da D = 0 bo'lib qolsa qanday holat yuz beradi?

7. xj = Dj / D Kramer formulasidagi Dj va D lar qanday bog'langan ?
21- MA'RO'ZA

MAVZU: MATRISANING RANGINI UNING MINORLARIDAN FOYDALANIB HISOBLASH
REJA:
1. Matrisaning rangi va uning noldan farqli minorlarining tartibi

orasidagi bog'lanish.

2. Matrisalar ko'paytmasining determinanti.

3. Misollar. (Determinantlarni hisoblash).

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3]
1. Faraz etaylik bizga mxn - tartibli A=(ai j) matrisa berilgan bo'lsin. Biz bundan avval matrisaning rangini elementar almashtirishlardan foydalanib hisoblash mumkin ekanligini kurgan edik. Endi ushbu teoremani is-botlaymiz.

1-teorema. A=(ai j) matrisaning rangi uning noldan farqli minoralarining eng yuqri tartiblisining tartibiga teng.

Isboti. A matrisada noldan farqli eng yuqri r-artibli minor M uning yuqri chap burchagida joylashgan bo'lsin:

a11 a12 ... a1r a1,r+1 ... a1n

a21 a22 ... a2r a2, r+1 ... a2n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ar1 ar2 ... ar r ar, r+1 . .. arn

ar+1,1 ar+1,2 ... ar+1,r ar+1,r+1 ... ar+1,n

- - - - - - - - - - - - - - - - -

am1 am2 ... am r am, r+1 ... am,n
Aks holda A ning satr va ustunlarining o'rinlarini o'zaro almashtirib shu xolga olib kelish mumkin. Bu bilan uning rangi o'zgarmaydi.

A ning s- satri (s=r =1, 2, 3 , ... , m) birinchi r ta satrlar orqali chiziqli ifodalanadi.Ushbu (r+1)- tartibli determinant i ni qaraymiz:

a11 a12 ... a1r

i = a21 a22 ... a2r



- - - - - - - - - - - -

ar1 ar2 ... ar r .

Bu yerda i= 1, 2, . . . , n; s = r+1, r+2, . . . , m. Barcha i= 1, 2, . . . , n lar uchun

i = 0,

chunki i r da i da ikkita bir xil ustun mavjud bo'ladi. r+1 i da esa i



A ning (r+1) - tartibli minorini ifodalaydi, shuning uchun ham i =0 .

i ni oxirgi ustun elementlari bo'yicha yoysak


a1i A1i + a2i A2i + ... + ari Ari + as i As i = 0 , (1)
Bunda A =(-1)r+1+r+1 M =M=0 bo'lgani uchun (1) ni as i ga nisbatan yechsak

as i =1 i a1 i + 2 i a2 i + . . . + r i ar i , (i= 1, 2, . . . , n; s = r+1, r+2, . . . , m) ga ega bo'lamiz. Bundan ko'rinadiki A ning s-catri birinchi r ta satrlari orqali chiziqli ifodalanadi. Demak, A matrisaning rangi (satrlar bo'yicha rangi) r ga teng.

Natija. Determinantning nolga teng bo'lishi uchun uning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'langan bo'lishi zarur va yetarlidir.


Misol . 1 1 1 -1

-1 -1 1 1

A= 1 -1 -1 1

1 1 -1 1

0 1 0 1 matrisaning rangini hisoblang.

Avvalo shuni ta'kidlash kerakki, matrisaning rangini minorlardan foydalanib hisoblashda faqat birbirining ichiga joylashgan minorlarini tekshirish kifoya.

Bizning misolimizda М1 =1 0

1 1 1 1

M2= -1 -1 = -1 + 1 =0, M'2 = -1 1 = 1 + 1 = 2  0
1 1 1

M3 = -1 -1 1 = 1 + 1 + 1 + 1 - 1 + 1= 4  0

1 -1 -1




1 1 1 -1 1 1 1 -1

-1 -1 1 1 0 0 1 0 1 1 -1

M4 = -1 -1 -1 1 = 2 0 0 0 =(-1)2+3 2 0 0 = - (- 4) =4 .

1 1 -1 1 2 2 0 0 2 2 0
Demak, r(A) = 4.
2. Matrisalar ko'paytmasining determinanti

2- teorema. A va B n-tartibli kvadrat matrisalar ko'paytmasining determinanti shu matrisalar determinantlarining ko'paytmasiga teng.

Isboti. Agar A=E- birlik matrisa bo'lsa E B = 1 B = E B .

ya'ni bu holda teorema o'rinli.

2-teoremani isbotlashdan oldin ushbu lemmani isbotlaymiz.

Lemma. Agar A’’ matrisa A’ matrisadan birta elementar satr almashtirish yordamida hosil qilingan bo'lsa, u holda

A’ В = A’ В (2)

dan A’’ В = A’’ В (3)

kelib chiqadi.



Isboti. Faraz etaylik A’’ matrisa A’ matrisadan quyidagi elementar almashtirishlarning biri orqali hosil qilingan bo'lsin:

a) catrlarining o'rinlarini almashtirish;

b) ixtiyoriy satrini noldan farqli k coniga ko'paytirish;

c) biror satrini ixtiyoriy songa ko'paytirib ikkinchi bir satriga qo'shish.

Matrisalarni ko'paytirish qoidasiga asosan A’’ В matrisa A’ В matrisadan mos elementar almashtirish natijasida hosil bo'ladi.



a) bajarilgan bo'lsa, A’’ = - A’ va

A’’В =-A’B; (4)



b) bajarilgan bo'lsa,

A’’ = k A’ , A’’ В =k A’ B ; (5)



v) bajarilgan bo'lsa, u holda

A’’ = A’ , A’’ В = A’-B (6)

(4) , (5) va (6) dan (2) ga asosan (3) kelib chiqadi. Haqiqatan ham,
(4) va (2) dan A’’ В = - A’ B = - A’ В = A’’ В ;

(5) va (2) dan esa A’’ В = k A’ B = k A’ В = A’’ В ;

(4) ва (2) dan A’’ В = A’-B = A’ В = A’ В .

Shu bilan lemma to'la isbot bo'ldi.

Agar A matrisa a), б), с) elementar almashtirishlar yordamida E birlik matrisadan hosil qilingan bo'lsa, lemmaga asosan E В = E В dan

A В = A В kelib chiqadi. Bunda A 0, ya'ni A- xosmas matrisa.

A = 0 bo'lsa, u holda AB matrisaning satrlari ham chiziqli bog'langan bo'ladi, ya'ni

A В = 0 va A В = A В tenglik bajariladi.


3. Determinantlarni hisoblash.
1- misol. Ushbu D determinantda x qatnashgan hadning koeffisiyentini hisoblang:

1 2 0 x Determinantni oxirgi ustun elementlari bo'yicha yoysak

D = 0 1 1 y faqat 1-satr , 4- ustunini uchirganda x qatnashadi. Shu-

1 -1 0 z ning uchun ham x qatnashgan hadning koeffisiyenti ku-

1 1 1 t yidagiga teng bo'ladi: 0 1 1

1 -1 0 = 1+1-1 =1 .

1 1 1

2 - misol . Ushbu Vandermond determinantining qiymati ni hisoblang:



1 a1 a12 a13 . . . a1n-1

1 a2 a22 a23 . . . a2n-1

Vn = .....................................

1 an an2 an3 . . . ann-1 .

Buning uchun Vn ning har bir ustunini (-a1) ko'paytirib o'zidan oldingisiga kushamiz. U holda






1 0 0 . . . 0

1 a2 - a1 a2 (a2 - a1) . . . a2n-2 ( a2 - a1)

Vn= 1 a3 - a1 a3 (a3 - a1) . . . a3n-2 ( a3 - a1) =(a2 - a1) (a3 - a1)...(an - a1) 

........................................................................

1 an - a1 an (an - a1) . . . ann-2 ( an - a1)



1 a2 a22 a23 . . . a2n-2

1 a2 a32 a33 . . . a3n-2



..................................... =(a2 - a1) (a3 - a1)...(an - a1)  Vn-1 = . . . =

1 an an2 an3 . . . ann-2
=(a2 - a1) (a3 - a1)...(an - a1) (a3 - a2) (a4 - a2)...(an - a2) ...(an - an-1 )=

n

= (ai-aj).

i> j

3-misol. Ushbu determinantni uchburchak ko'rinishga keltirib hisoblang:

a-x a a . . . a

a a-x a . . . a

D = a a a-x . .. a

..........................

a a a . . . a-x .

Oxirgi ustunini (-1) ga ko'paytirib barcha ustunlariga kushib chiqamiz:



-x 0 0 . . . a

0 -x 0 . . . a

D = 0 0 -x . . . a

...................... ....

x x x . . . a-x .

Endi barcha satrlarini oxirgi satriga kushamiz:





-x 0 . . . a

0 -x . . . a

D = ...................... =(-x)n-1 (na- x).

0 0 . . . na-x

4- misol.Berilgan D determinantni chiziqli ko'paytuvchilarini ajratish usuli bilan hisoblang:

1 x1 x2 . . . xn

1 x x2 . . . xn

D= 1 x1 x . . . xn (1)

..........................

1 x1 x2 . . . x .
D ning yoyilmasi n-darajali ko'phad bo'lib u x=x1, x2 , . . . , xn da nolga aylanadi.

Shuning uchun ham



D= c (x - x1) (x - x2) ... (x - xn) (2)

deb olsak bo'ladi. Endi noma'lum koeffisiyent s ni aniqlaymiz. (1) ning boshhadi xn-1, demak с=1.

Shunday qilib

D = ( x - x1 ) ( x - x2 ) ... ( x - xn ).
5-misol . ( Rekurent formulalardan foydalanish).
ao -1 o o ... o o

a1 x -1 o ... o o

Dn+1 = a2 o x -1 ... o o

- - - - - - - - - - - - - - - -

an-1 o o o ... x -1

an o o o ... o x ni hisoblang.

Dn+! ni oxirgi satr elementlari bo'yicha yoyamiz:




-1 o o ... o o

x -1 o ... o o

Dn+1 = (-1)n+2 an o x -1 ... o o + x Dn = an (-1)n+2+n +x Dn =

- - - - - - - - - - - - -

o o o ... x -1
= an + x( an-1+x Dn-1 )= an + an-1x + x2 Dn-1 .

Bu yerda

a0 -1

D2 = a1 x = a0 x+ a1 , D1 =a0 .

Shuning uchun ham



Dn+1= a0 xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x + an .

Katalog: attachments -> article
article -> Axloqning kеlib chiqishi, unda ixtiyor erkinligining ahamiyati va axloq tuzilmasi
article -> Podsho Rossiyasi tomonidan O‘rta Osiyoning bosib olinishi sabablari va bosqichlari
article -> Siyosiy mafkuralarning asosiy ko'rinishlari
article -> Mehnat sohasida ijtimoiy kafolatlar tizimi. Reja: Ijtimoiy himoya qilish tushunchasi va uning asosiy yo’nalishlari
article -> Siyosiy madaniyat va siyosiy mafkuralar Reja
article -> O’zbek Adabiyoti tarixi: Eng qadimgi adabiy yodgorliklar
article -> Ma’naviyatning tarkibiy qismlari, ularning o’zaro munosabatlari va rivojlanish xususiyatlari. Ma’naviyat, iqtisodiyot va ularning o’zaro bog’liqligi
article -> Davlatning tuzilishi
article -> Reja: Geografik o‘rni va chegeralari
article -> Yer resurslaridan foydalanish va ularni muhofaza qilish Reja: Tuproq, uning tabiat va odam hayotidagi ahamiyati. Dunyo yer resurslari va ulardan foydalanish

Download 0.82 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
O’zbekiston respublikasi
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
davlat pedagogika
o’rta maxsus
axborot texnologiyalari
nomidagi toshkent
pedagogika instituti
texnologiyalari universiteti
navoiy nomidagi
samarqand davlat
guruh talabasi
ta’limi vazirligi
nomidagi samarqand
toshkent davlat
toshkent axborot
haqida tushuncha
Darsning maqsadi
xorazmiy nomidagi
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
Alisher navoiy
Ўзбекистон республикаси
rivojlantirish vazirligi
matematika fakulteti
pedagogika universiteti
таълим вазирлиги
sinflar uchun
Nizomiy nomidagi
tibbiyot akademiyasi
maxsus ta'lim
ta'lim vazirligi
махсус таълим
bilan ishlash
o’rta ta’lim
fanlar fakulteti
Referat mavzu
Navoiy davlat
haqida umumiy
umumiy o’rta
Buxoro davlat
fanining predmeti
fizika matematika
malakasini oshirish
universiteti fizika
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
jizzax davlat
davlat sharqshunoslik