Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi


MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR



Download 0.82 Mb.
bet7/9
Sana25.06.2017
Hajmi0.82 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9
MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR

1. Ikkinchi tartibli determinant qanday hisoblanadi ?



cos sin

2. Ushbu determinant -sm cos determinantning qiymati nimaga teng ?

Uchinchi tartibli determinant qanday hisoblanadi ?

4. Ushbu 1 1 2

2 -1 1

3 1 4 determinantning qiymati nimaga teng ?



5. O'rniga qo'yishlar gruppasi Sn ;   ning tartibi nechaga teng ?

6. O'rniga qo'yishlarning inversiyasi deganda nimani tushunasiz ?

7. Tok (juft) o'rniga qo'yish deb nimaga aytiladi ?

8. Transpozisiya nima va u qanday xossaga ega ?

9. n ta elementdan to'zilgan juft o'rniga qo'yishlar To'plami multiplikativ gruppa bo'ladimi ?

10. n elementdan to'zilgan tok o'rniga qo'yishlar To'plami gruppa bo'ladimi ?



18- MA'RO'ZA

MAVZU: n - TARTIBLI DETERMINANTLAR VA ULARNING XOSSALARI

REJA:

1. n - tartibli determinantning ta'rifi.

2. Xossalari.

3. Misollar.

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3] .
1. n – tartibli a11 a12 ... a1n

A= a21 a22 ... a2n

- - - - - - - - -

an1 an2 ... ann

kvadrat matrisaning determinanti deb ushbu n! ta hadlar yig'indisidan tuzilgan



n!

 (-1) a1 k1 a2 k2 ... an kn (1)

ifodaga aytiladi. Bunda har bir hadda n ta ko'paytuvchi bo'lib, har bir satr va ustundan birtadan element qatnashadi.  esa

1 2 3 . . . n

k1 k2 k3 . . . kn

o'rniga qo'yishdagi inversiyalar sonini bildiradi. Demak , (1) dagi n! / 2 ta had musbat ishora bilan va qolgan n! / 2 ta had esa manfiy ishora bilan olinadi. Berilgan A matrisaning determinanti quyidagicha belgidanadi:



a11 a12 ... a1n n!

detA= D= a21 a22 ... a2n =  (-1) a1 k1 a2 k2 ... an kn . (2)

- - - - - - - - -

an1 an2 ... ann

Misol.. 1). a12 a23 a31 a52 a45 a54 ko'paytma 6-tartibli determinant yoyilmasida qatnashadimi?

Indekslar hosil qilgan o'rniga qo'yish 1 2 3 4 5 6

2 3 1 5 2 4 dan iborat. Bundan ko'rinadiki ikkinchi ustundan ikkita element olingan. Shuning uchun ham u 6- tartibli determinant tarkibida qatnashmaydi.

2). a12 a23 a31 had 3- tartibli determinantda qanday ishora bidan qatnashadi ?

 = 1 2 3

2 3 1 o'rniga qo'yishdagi inversiyalar sonini aniqlaylik: 1 uchun 2 ta, 2 uchun 0 ta, 3 uchun ham 0 ta jami 3 ta inversiya bor. Shuning uchun ham bu had uchinchi tartibli determinant tarkibiga minus ishora bilan kiradi.

Determinantning satrlarini ustunlar ustunlarini esa satrlar qilib yozishga uni transponirlash deyiladi.

2. Xossalari.

1. Determinantni transponirlasak uning qiymati o'zgarmaydi.

Isboti.

a11 a12 ... a1n n!

D= a21 a22 ... a2n =  (-1) a1 k1 a2 k2 ... an kn (1)

- - - - - - - - -

an1 an2 ... ann

a11 a21 ... an1 n!

D' = a12 a22 ... an2 =  (-1) ak1,1 ak2,2 ... a kn,n, . (2)

- - - - - - - - -

a1n a2n ... ann

1) va (2) ning o'ng tomonidagi yig'indi barcha n! ta o'rniga qo'yishlar bo'yicha olingani uchun o'ng tomonlari teng. Demak chap tomonlari ham teng bo'lishi kerak, ya'ni



D= D' .

2. Determinantda istalgan 2 ta satrining o'rnini almashtirsak, uning ishorasi o'zgaradi.



Isboti. Agarda D determinantda i- va j- satrlarning o'rinlarini almashtirsak D'determinant hosil bo'ladi.

Bu yerda 1 2 . . . i . . . j . . . n

k1 k2 . . .ki ... kj ... kn o'rniga qo'yishni 1 2 . . . i . . . j . . . n dan birta transpozisiya yordamida hosil ki lish mumkin. k1 k2 . . .kj ... ki ... kn Transpozisiya tok o'rniga qo'yish bo'lganligi sababli (1) va (2) dagi hadlarning barchasi teskari ishora



a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

- - - - - - - - - n!

D = ai1 ai 2 ... ain =  (-1) a1 k1 a2 k2 ... ai,,ki ... aj ,kj ...an ,kn (1)

- - - - - - - - - - -

aj1 aj2 ... ajn

- - - - - - - - - - -

an1 an2 ... ann

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

- - - - - - - - - n!

D' = aj1 aj 2 ... ajn =  (-1) a1 k1 a2 k2 ... aj,kj ... ai,ki ... an ,kn (2)

- - - - - - - - - - -

ai1 ai2 ... ain

- - - - - - - - - - -

an1 an2 ... ann

lan olinadi, ya'ni D' = -D.



Natija. 2 ta bir xil satr (ustun) ga ega bo'lgan determinantning kiy-mati nolga teng.

3. Determinantda biror satri (ustuni) nollardan iborat bo'lsa, unday determinantning qiymati nolga teng.

4. Agar determinantdagi biror satr (ustun) elementlari umumiy ko'paytuvchi m ga ega bo'lsa, uni determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.

Isboti.


a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

- - - - - - - - - n!

D = maj1 maj 2 ... majn =  (-1) a1,k1 a2,k2 ... (maj,,kj )... an,kn =

- - - - - - - - - - -

an1 an2 ... ann

a11 a12 ... a1n

n! a21 a22 ... a2n

= m  (-1) a1,k1 a2,k2 ... aj,,kj ... an,kn = m - - - - - - - - -

aj1 aj 2 ... ajn

- - - - - - - - - - -

an1 an2 ... ann .

1- natija. Determinantni biror s soniga ko'paytirish uchun uning bi-ror satri (ustuni) ni shu songa ko'paytirish kifoya.

2- natija. Determinantning biror satri (ustuni) ikkinchi bir satriga proporsional bo'lsa, uning qiymati 0 ga teng.

5. Agar n-tartibli determinantdagi biror satr (ustun) elementlari 2 ta elementning yig'indisi ko'rinishda ifodalangan bo'lsa, uni 2 ta n-tartibli determinant yig'indisi ko'rinishida yozish mumkin.



Isboti a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

- - - - - - - - - - - - - n!

D = ai1+bi1 ai2+bi2 ... ain+bin =  (-1) a1 k1 a2 k2 ...(ai,,ki+bi ,ki )... an ,kn =

- - - - - - - - - - - - - - - - n!

an1 an2 ... ann = (-1) a1 k1 a2 k2 ...ai,,ki ... an ,k +
a11 a12 ... a1n a11 a12 ... a1n

n! a21 a22 ... a2n a21 a22 ... a2n

+  (-1) a1 k1 a2 k2 ...bi ,ki ... an ,kn = - - - - - - - - - + - - - - - - - - -



aj1 aj 2 ... ajn bi1 bi2 ... bin

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

an1 an2 ... ann an1 an2 ... ann .

Natija. Determinantning birorta satri (ustuni) ni biror songa ko'paytirib ikkinchi bir satri (ustuni) ning mos elementlariga qo'shsak determinantning qiymati o'zgarmaydi.

5. Agar n-tartibli determinantdagi biror satr (ustun) elementlari qolgan satr (ustun) larining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo'lsa, uning qiymati nolga teng.

Isboti yuqoridagi xossalardan bevosita kelib chiqadi.

Misol. 1 2 3 4 1 2 3 1

-1 4 1-4 =4 -1 4 1 -1 = 0. Bunda oxirgi ustunidan 4 ni chikar -

2 1 5 8 2 1 5 2 dik. Natijada 1 va 4 ustunlari bir

0 2 1 0 0 2 1 0 xil bo'lib qoldi.


MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR
a). n- tartibli determinant deb nimaga aytiladi?

b). n- tartibli determinantning har bir hadi qanday qoida bo'yicha hosil qilinadi?

b). n- tartibli determinantdagi hadlarning ishorasi qanday aniqlanadi?

g). Determinantning qiymati qanday almashtirishlar bajarsa o'zgarmaydi?

d). qanday hollarda determinantning qiymati nolga teng bo'ladi?

19- MARO'ZA

MAVZU: MINORLAR VA ALGEBRAIK TO'LDIRUVCHILAR

REJA:

1. n-tartibli determinantning (k n) k-tartibli minori va qo'shimcha minor.

2. Algebraik to'ldiruvchi.

3. Determinantlarni k-tartibli minorlar bo'yicha yoyish. Laplas teoremasi.

4. Misollar.

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3] .

Tartibi 3 dan yuqri bo'lgan determinantlarni hisoblash uchun tayin bir formula mavjud emas. Ularni ko'pchilik hollarda tartibi pasaytirib hisoblanadi. Buning uchun esa bizga minor va algebraik to'ldiruvchi tushunchalari kerak bo'ladi.

Faraz qilaylik n -tartibli D determinant berilgan bo'lsin. Undagi k ta satr va k ta ustunini ajratib ularning kesishish joyidagi elementlaridan determinantdagi tartibda olib k-tartibli determinant tuzsak bu determinantga D determinantning k-tartibli minori deyiladi. Shu ajratilgan satr va ustunlarni o'chirib, qolgan joydagi elemetlardan determinantdagi tartibda olib n-k-tartibli determinant tuzsak o'nga k-tartibli minorga mos qo'shimcha minor deyiladi.



Masalan: Ushbu a11 a12 . .. a1k a1,k+1 ... a1n

a21 a22 ... a2k a2,k+1 ... a2n

D= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ak1 ak 2 ... akk ak,k+1 ... akn

ak+1,1 ak+!,2 ... ak+!,k ak+!,k+1 ... ak+1,n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

an1 an2 . .. ank an,k+1 ... an n

n-tartibli determinantdagi 1,2, ... ,k satrlari va 1,2, ... ustunlarini ajratib k-tartibli M minor va n-k-tartibli qo'shimcha M ' minor tuzsak u quyidagicha bo'ladi

a11 a12 ... a1k ak+1,k+1 ak+1,k+2 ... ak+1,n

M= a21 a22 ... a2k М' = ak+2,k+1 ak+2,k+2 ... ak+2,n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ak1 ak2 ... akk an,k+1 an,k+2 ... ann .
Agar k=1 bo'lsa, birta eleiyentga (masalan, ai j=M ga) ega bo'lamiz.Uning qo'shimcha minorini М'i j bilan belgilaymiz.

Qo'shimcha minor M’ ning o'chirilgan satrlari i1 , i2 ,..., ik va ustunlar j1 ,



j2 , ... , ,jk nomerlarining (-1) ning darajasidagi yig'indisiga ko'paytmasiga M minorga mos algebraik to'ldiruvchi deyiladi.

Agar biz M ga mos algebraik to'ldiruvchini A bilan belgilasak, u holda



i1 + i2 +...+ ik+ j1+ j2+ ... + ,jk

A=(-1) M’ bo'ladi.

Xususiy holda M= ai j bo'lsa, Ai j =(-1) i+j M’i j bo'ladi.



Misol.

a11 a12 a13 a14 a12 a14

D= a21 a22 a23 a24 M=

a31 a32 a33 a34 a32 a34

a41 a42 a43 a44
D determinantning M minoriga mos algebraik to'ldiruvchisi quyidagicha yozi-ladi:
a21 a23 a21 a23

A=(-1)1+3+2+4 =

a41 a43 a41 a43 .

Shu determinantdagi a43 elementning algebraik to'ldiruvchisi



a11 a12 a14 a11 a12 a14

A=(-1)4+3 a21 a22 a24 = - a21 a22 a24

a31 a32 a34 a31 a32 a34

dan iborat bo'ladi.

Endi ushbu teoremani isbotlaymiz.

1-teorema. D determinantdagi M minorning istalgan hadini o'nga mos algebraik to'ldiruvchining istalgan hadiga ko'paytirsak, D determinantning hadi hosil bo'ladi, ya'ni MA ning istalgan hadi D ning hadidan iboratdir.

Isboti. quyidagi ikki holni qaraymiz.

10- xol. M minor D determinantning yuqri chap burchagida, qo'shimcha minor esa kuyi o'ng burchagida joylashgan bo'lsin:



a11 a12 . .. a1r a1,r+1 ... a1n

a21 a22 ... a2r a2,r+1 ... a2n

D= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ar1 ar2 ... ar r ar,r+1 ... arn

ar+1,1 ar+!,2 ... ar+!,r ar+!,r+1 ... ar+1,n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

an1 an2 . .. anr an,r+1 ... an n
Bu holda M ning algebraik to'ldiruvchisi А=(-1)1+2+ ... +r+1+2+ ...+r M' = M'.

M ning istalgan hadi
(-1)p a1 a2 2 ...ar r (1)

ko'rinishga ega. Bunda



p=inv. 1 2 3 ... r

  ... r .



А= M' ning istalgan hadi esa

(-1)q ar+1, r+1 ar+2, r+2 ...an, n (2)

ko'rinishga ega. Bunda



q= inv. r+1 r+2 r+3 ... n

 r+1 r+2 r+3 ... n .

(1) va (2) ning ko'paytmasi

(-1)p +q a1 a2 2 ...ar ar+1, r+1 ar+2, r+2 ...an, n (3)

D ning hadi bo'ladi. Chunki unda n ta ko'paytuvchi bo'lib D ning har bir satri va ustunidan birtadan element olingan va



inv. 1 2 3 ... n = p+q, chunki , ,, ..., n lar r+1,r+2 ,r+3 ,...,n lar-

  ... n dan kichik bo'lgani uchun ular bilan inversiya tashkil kilmaydi.

20- xol. M minor D ning k ,k , ...,kr satrlari va l1, l2 ,..., lr ustunlarini ishgol qilsin va

k1< k2<....< kr , l1< l2<... r deb olamiz. Bu holni 1-xolga keltiramiz. Buning uchun k1- satrni o'zidan oldingi (k1-1)- ta satrdan oldinga o'tkazib 1-o'ringa, k2- satrni o'zidan oldingi (k2-2) satrdan oldinga o'tkazib 2-o'ringa va hokazo kr- catrni o'zidan oldingi

(kr - r) a satrdan oldinga o'tkazib r-o'rin-ga yozamiz. Ustunlar bilan ham xuddi shu ishni bajarsak, M minor D' ning yuqri chap burchagida joylashadi va determinantning xossalariga ko'ra

(k1 -1)+(k2-2)+ ... +(kr-r)+(l1-1)+(l2-2)+ ...+(lr-r)



D= (-1) D' =

k1 +k2+ ... +kr+l1+l2+ ...+lr

= (-1) D' (3)

1-xolga ko'ra M ning istalgan hadining М' ning ixtiyoriy hadiga ko'paytmasi D' ning hadini beradi. Endi M ning ixtiyoriy hadi



k1 +k2+ ... +kr+l1+l2+ ...+lr

(-1) М' =А ning istalgan hadiga ko'paytirsak, (3)ga ko'ra D ning hadini beradi.

2 -teorema (Laplas teoremasi). n-tartibli D determinantning r ta satr (ustun) laridan barcha r-tartibli minorlarni to'zib va ularni mos algebraik to'ldiruvchilarga ko'paytirib qo'shsak, yig'indi D determinantning qiymati ga teng bo'ladi.

Isboti.Shu r - tartibli minorlar M1, M2, ... , Mt va ularga mos algebraik to'ldiruvchilar А1, А2 , ... , Аt bo'lsin. U holda

M1 А1+ M2 А2+ ... + Mt Ае=D (4)

ekanligini isbotlaymiz. 1-teoremaga ko'ra Mi ning istalgan hadini Аi ning istalgan hadiga ko'paytirsak D ning hadi hosil bo'ladi. Mi Аi ва Mj Аj lar (i j) umumiy hadga ega emas, chunki Mi va Mj lar kamida birta ustun elementlari bilan farq qiladi.

Endi (4) ning chap tomonida n! ta had bor ekanligini ko'rsatsak teorema isbotlangan bo'ladi. Determinantning ta'rifiga ko'ra Mi minorda (r-tartibli determinant) r! ta Аi da esa (n-r) ! ta had bor. U holda Mi Аi da r!(n-r)! ta had bo'ladi. Demak, (4) ning chap tomonida r! (n-r)! t ta had bo'ladi. Endi t ni aniqlaylik: Cnr=n! / r! (n-r)! . Shuning uchun ham r! (n-r)! {n! / r! (n-r)!}= n! .

(4) ning chap tomonida n! ta had bor ekan.



Misol. 1). 1 2 -1 1

D= 3 0 1 2

1 1 0 1 determinantni birinchi 2ta satri bo'yicha yoyib

0 1 2 -1 hisoblang.




1 2 0 1 1 -1 1 1 1 1 1 0 2 -1

D= (-1)1+2+1+2 + (-1)1+2+1+3 + (-1)1+2+1+4 + .

3 0 2 -1 3 1 1 -1 3 2 1 2 0 1




1 1 2 1 1 0 -1 1 1 1

.(-1)1+2+2+3 + .(-1)1+2+2+4 + .(-1)1+2+3+4 =

0 -1 0 1 0 2 1 2 0 1


=-6(-2)+(1+3)(-1)(-1-1)+ (2-3) 2+2 (-1)+4 (-1) 2+(-2-1)1=12+8-2-2=16.

2). 1 2 3

D= 0 1 2 = 1 + 0 +4 - 3 - 0 + 2 = 4

1 -1 1


Endi D ni birinchi satr elementlari bo'yicha yoyib hisoblaylik.


D = 1 (-1)1+1 1 2 +2 (-1)1+2 0 2 +3 (-1)1+3 0 1 =1 (1+2)-2 (-2)+3 (-1)=3+4-3=4.

-1 1 1 1 1 -1



Katalog: attachments -> article
article -> Axloqning kеlib chiqishi, unda ixtiyor erkinligining ahamiyati va axloq tuzilmasi
article -> Podsho Rossiyasi tomonidan O‘rta Osiyoning bosib olinishi sabablari va bosqichlari
article -> Siyosiy mafkuralarning asosiy ko'rinishlari
article -> Mehnat sohasida ijtimoiy kafolatlar tizimi. Reja: Ijtimoiy himoya qilish tushunchasi va uning asosiy yo’nalishlari
article -> Siyosiy madaniyat va siyosiy mafkuralar Reja
article -> O’zbek Adabiyoti tarixi: Eng qadimgi adabiy yodgorliklar
article -> Ma’naviyatning tarkibiy qismlari, ularning o’zaro munosabatlari va rivojlanish xususiyatlari. Ma’naviyat, iqtisodiyot va ularning o’zaro bog’liqligi
article -> Davlatning tuzilishi
article -> Reja: Geografik o‘rni va chegeralari
article -> Yer resurslaridan foydalanish va ularni muhofaza qilish Reja: Tuproq, uning tabiat va odam hayotidagi ahamiyati. Dunyo yer resurslari va ulardan foydalanish

Download 0.82 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
O’zbekiston respublikasi
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
davlat pedagogika
o’rta maxsus
axborot texnologiyalari
nomidagi toshkent
pedagogika instituti
texnologiyalari universiteti
navoiy nomidagi
samarqand davlat
guruh talabasi
ta’limi vazirligi
nomidagi samarqand
toshkent davlat
toshkent axborot
haqida tushuncha
Darsning maqsadi
xorazmiy nomidagi
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
Alisher navoiy
Ўзбекистон республикаси
rivojlantirish vazirligi
matematika fakulteti
pedagogika universiteti
таълим вазирлиги
sinflar uchun
Nizomiy nomidagi
tibbiyot akademiyasi
maxsus ta'lim
ta'lim vazirligi
махсус таълим
bilan ishlash
o’rta ta’lim
fanlar fakulteti
Referat mavzu
Navoiy davlat
haqida umumiy
umumiy o’rta
Buxoro davlat
fanining predmeti
fizika matematika
malakasini oshirish
universiteti fizika
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
jizzax davlat
davlat sharqshunoslik