Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi

MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR

1. Ikkinchi tartibli determinant qanday hisoblanadi ?

cos sin

2. Ushbu determinant -sm cos determinantning qiymati nimaga teng ?

Uchinchi tartibli determinant qanday hisoblanadi ?

4. Ushbu 1 1 2

2 -1 1

3 1 4 determinantning qiymati nimaga teng ?

5. O'rniga qo'yishlar gruppasi S_n ;   ning tartibi nechaga teng ?

6. O'rniga qo'yishlarning inversiyasi deganda nimani tushunasiz ?

7. Tok (juft) o'rniga qo'yish deb nimaga aytiladi ?

8. Transpozisiya nima va u qanday xossaga ega ?

9. n ta elementdan to'zilgan juft o'rniga qo'yishlar To'plami multiplikativ gruppa bo'ladimi ?

10. n elementdan to'zilgan tok o'rniga qo'yishlar To'plami gruppa bo'ladimi ?

18- MA'RO'ZA

MAVZU: n - TARTIBLI DETERMINANTLAR VA ULARNING XOSSALARI

REJA:

1. n - tartibli determinantning ta'rifi.

2. Xossalari.

3. Misollar.

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3] .
1. n – tartibli a₁₁ a₁₂ ... a_1n

A= a₂₁ a₂₂ ... a_2n

- - - - - - - - -

a_n1 a_n2 ... a_nn

kvadrat matrisaning determinanti deb ushbu n! ta hadlar yig'indisidan tuzilgan

_n!

 (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ... a_{n kn} (1)

ifodaga aytiladi. Bunda har bir hadda n ta ko'paytuvchi bo'lib, har bir satr va ustundan birtadan element qatnashadi.  esa

 1 2 3 . . . n 

 k₁ k₂ k₃ . . . k_n 

o'rniga qo'yishdagi inversiyalar sonini bildiradi. Demak , (1) dagi n! / 2 ta had musbat ishora bilan va qolgan n! / 2 ta had esa manfiy ishora bilan olinadi. Berilgan A matrisaning determinanti quyidagicha belgidanadi:

a₁₁ a₁₂ ... a_{1n n!}

detA= D= a₂₁ a₂₂ ... a_2n =  (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ... a_{n kn} . (2)

- - - - - - - - -

a_n1 a_n2 ... a_nn

Misol.. 1). a₁₂ a₂₃ a₃₁ a₅₂ a₄₅ a₅₄ ko'paytma 6-tartibli determinant yoyilmasida qatnashadimi?

Indekslar hosil qilgan o'rniga qo'yish 1 2 3 4 5 6

 2 3 1 5 2 4 dan iborat. Bundan ko'rinadiki ikkinchi ustundan ikkita element olingan. Shuning uchun ham u 6- tartibli determinant tarkibida qatnashmaydi.

2). a₁₂ a₂₃ a₃₁ had 3- tartibli determinantda qanday ishora bidan qatnashadi ?

 = 1 2 3

 2 3 1 o'rniga qo'yishdagi inversiyalar sonini aniqlaylik: 1 uchun 2 ta, 2 uchun 0 ta, 3 uchun ham 0 ta jami 3 ta inversiya bor. Shuning uchun ham bu had uchinchi tartibli determinant tarkibiga minus ishora bilan kiradi.

Determinantning satrlarini ustunlar ustunlarini esa satrlar qilib yozishga uni transponirlash deyiladi.

2. Xossalari.

1. Determinantni transponirlasak uning qiymati o'zgarmaydi.

Isboti.

a₁₁ a₁₂ ... a_{1n n!}

D= a₂₁ a₂₂ ... a_2n =  (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ... a_{n kn} (1)

- - - - - - - - -

a_n1 a_n2 ... a_nn

a₁₁ a₂₁ ... a_{n1 n!}

D' = a₁₂ a₂₂ ... a_n2 =  (-1)^ a_k1,1 a_k2,2 ... a _kn,n, . (2)

- - - - - - - - -

a_1n a_2n ... a_nn

1) va (2) ning o'ng tomonidagi yig'indi barcha n! ta o'rniga qo'yishlar bo'yicha olingani uchun o'ng tomonlari teng. Demak chap tomonlari ham teng bo'lishi kerak, ya'ni

D= D' .

2. Determinantda istalgan 2 ta satrining o'rnini almashtirsak, uning ishorasi o'zgaradi.

Isboti. Agarda D determinantda i- va j- satrlarning o'rinlarini almashtirsak D'determinant hosil bo'ladi.

Bu yerda  1 2 . . . i . . . j . . . n 

 k₁ k₂ . . .k_i ... k_j ... k_n  o'rniga qo'yishni  1 2 . . . i . . . j . . . n  dan birta transpozisiya yordamida hosil ki lish mumkin.  k₁ k₂ . . .k_j ... k_i ... k_n  Transpozisiya tok o'rniga qo'yish bo'lganligi sababli (1) va (2) dagi hadlarning barchasi teskari ishora



a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

- - - - - - - - - _n!

D = a_i1 a_{i 2} ... a_in =  (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ... a_i,,ki ... a_{j ,kj} ...a_{n ,kn} (1)

_{- - - - - - - - - - -}

a_j1 a_j2 ... a<sub>jn

- - - - - - - - - - -</sub>

a_n1 a_n2 ... a_nn

a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

- - - - - - - - - _n!

D' = a_j1 a_{j 2} ... a_jn =  (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ... a_j,kj ... a_i,ki ... a_{n ,kn} (2)

_{- - - - - - - - - - -}

a_i1 a_i2 ... a<sub>in

- - - - - - - - - - -</sub>

a_n1 a_n2 ... a_nn

lan olinadi, ya'ni D' = -D.

Natija. 2 ta bir xil satr (ustun) ga ega bo'lgan determinantning kiy-mati nolga teng.

3. Determinantda biror satri (ustuni) nollardan iborat bo'lsa, unday determinantning qiymati nolga teng.

4. Agar determinantdagi biror satr (ustun) elementlari umumiy ko'paytuvchi m ga ega bo'lsa, uni determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.

Isboti.


a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

- - - - - - - - - _n!

D = ma_j1 ma_{j 2} ... ma_jn =  (-1)^ a_1,k1 a_2,k2 ... (ma_j,,kj )... a_n,kn =

_{- - - - - - - - - - -}

a_n1 a_n2 ... a_nn

a₁₁ a₁₂ ... a<sub>1n

n!</sub> a₂₁ a₂₂ ... a_2n

= m  (-1)^ a_1,k1 a_2,k2 ... a_j,,kj ... a_n,kn = m - - - - - - - - -

a_j1 a_{j 2} ... a<sub>jn

- - - - - - - - - - -</sub>

a_n1 a_n2 ... a_{nn .}

1- natija. Determinantni biror s soniga ko'paytirish uchun uning bi-ror satri (ustuni) ni shu songa ko'paytirish kifoya.

2- natija. Determinantning biror satri (ustuni) ikkinchi bir satriga proporsional bo'lsa, uning qiymati 0 ga teng.

5. Agar n-tartibli determinantdagi biror satr (ustun) elementlari 2 ta elementning yig'indisi ko'rinishda ifodalangan bo'lsa, uni 2 ta n-tartibli determinant yig'indisi ko'rinishida yozish mumkin.

Isboti a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

- - - - - - - - - - - - - _n!

D = a_i1+b_i1 a_i2+b_i2 ... a_in+b_in =  (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ...(a_i,,ki+b_{i ,ki} )... a_{n ,kn} =

_{- - - - - - - - - - - - - - - - n!}

a_n1 a_n2 ... a_nn = (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ...a_i,,ki ... a_{n ,k} +
a₁₁ a₁₂ ... a_1n a₁₁ a₁₂ ... a<sub>1n

n!</sub> a₂₁ a₂₂ ... a_2n a₂₁ a₂₂ ... a_2n

+  (-1)^ a_{1 k1} a_{2 k2} ...b_{i ,ki} ... a_{n ,kn} = - - - - - - - - - + - - - - - - - - -

a_j1 a_{j 2} ... a_jn b_i1 b_i2 ... b<sub>in

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</sub>

a_n1 a_n2 ... a_nn a_n1 a_n2 ... a_{nn .}

Natija. Determinantning birorta satri (ustuni) ni biror songa ko'paytirib ikkinchi bir satri (ustuni) ning mos elementlariga qo'shsak determinantning qiymati o'zgarmaydi.

5. Agar n-tartibli determinantdagi biror satr (ustun) elementlari qolgan satr (ustun) larining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo'lsa, uning qiymati nolga teng.

Isboti yuqoridagi xossalardan bevosita kelib chiqadi.

Misol. 1 2 3 4 1 2 3 1

-1 4 1-4 =4 -1 4 1 -1 = 0. Bunda oxirgi ustunidan 4 ni chikar -

2 1 5 8 2 1 5 2 dik. Natijada 1 va 4 ustunlari bir

0 2 1 0 0 2 1 0 xil bo'lib qoldi.

MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR
a). n- tartibli determinant deb nimaga aytiladi?

b). n- tartibli determinantning har bir hadi qanday qoida bo'yicha hosil qilinadi?

b). n- tartibli determinantdagi hadlarning ishorasi qanday aniqlanadi?

g). Determinantning qiymati qanday almashtirishlar bajarsa o'zgarmaydi?

d). qanday hollarda determinantning qiymati nolga teng bo'ladi?

19- MARO'ZA

MAVZU: MINORLAR VA ALGEBRAIK TO'LDIRUVCHILAR

REJA:

1. n-tartibli determinantning (k n) k-tartibli minori va qo'shimcha minor.

2. Algebraik to'ldiruvchi.

3. Determinantlarni k-tartibli minorlar bo'yicha yoyish. Laplas teoremasi.

4. Misollar.

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3] .

Tartibi 3 dan yuqri bo'lgan determinantlarni hisoblash uchun tayin bir formula mavjud emas. Ularni ko'pchilik hollarda tartibi pasaytirib hisoblanadi. Buning uchun esa bizga minor va algebraik to'ldiruvchi tushunchalari kerak bo'ladi.

Faraz qilaylik n -tartibli D determinant berilgan bo'lsin. Undagi k ta satr va k ta ustunini ajratib ularning kesishish joyidagi elementlaridan determinantdagi tartibda olib k-tartibli determinant tuzsak bu determinantga D determinantning k-tartibli minori deyiladi. Shu ajratilgan satr va ustunlarni o'chirib, qolgan joydagi elemetlardan determinantdagi tartibda olib n-k-tartibli determinant tuzsak o'nga k-tartibli minorga mos qo'shimcha minor deyiladi.

Masalan: Ushbu a₁₁ a₁₂ . .. a_1k a_1,k+1 ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2k a_2,k+1 ... a_2n

D= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a_k1 a_{k 2} ... a_kk a_k,k+1 ... a_kn

a_k+1,1 a_k+!,2 ... a_k+!,k a_k+!,k+1 ... a<sub>k+1,n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</sub>

a_n1 a_n2 . .. a_nk a_n,k+1 ... a_{n n}

n-tartibli determinantdagi 1,2, ... ,k satrlari va 1,2, ... ustunlarini ajratib k-tartibli M minor va n-k-tartibli qo'shimcha M ' minor tuzsak u quyidagicha bo'ladi

a₁₁ a₁₂ ... a_1k a_k+1,k+1 a_k+1,k+2 ... a_k+1,n

M= a₂₁ a₂₂ ... a_2k М' = a_k+2,k+1 a_k+2,k+2 ... a_k+2,n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a_k1 a_k2 ... a_kk a_n,k+1 a_n,k+2 ... a_{nn .}
Agar k=1 bo'lsa, birta eleiyentga (masalan, a_{i j}=M ga) ega bo'lamiz.Uning qo'shimcha minorini М'_{i j} bilan belgilaymiz.

Qo'shimcha minor M’ ning o'chirilgan satrlari i₁ , i₂ ,..., i_k va ustunlar j₁ ,

j₂ , ... , ,j_k nomerlarining (-1) ning darajasidagi yig'indisiga ko'paytmasiga M minorga mos algebraik to'ldiruvchi deyiladi.

Agar biz M ga mos algebraik to'ldiruvchini A bilan belgilasak, u holda

i₁ + i₂ +...+ i_k+ j₁+ j₂+ ... + ,j_k

A=(-1) M’ bo'ladi.

Xususiy holda M= a_{i j} bo'lsa, A_{i j} =(-1) ^i+j M’_{i j} bo'ladi.

Misol.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ a₁₂ a₁₄

D= a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ M=

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄ a₃₂ a₃₄

a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄
D determinantning M minoriga mos algebraik to'ldiruvchisi quyidagicha yozi-ladi:
a₂₁ a₂₃ a₂₁ a₂₃

A=(-1)^1+3+2+4 =

a₄₁ a₄₃ a₄₁ a₄₃ .

Shu determinantdagi a₄₃ elementning algebraik to'ldiruvchisi

a₁₁ a₁₂ a₁₄ a₁₁ a₁₂ a₁₄

A=(-1)⁴⁺³ a₂₁ a₂₂ a₂₄ = - a₂₁ a₂₂ a₂₄

a₃₁ a₃₂ a₃₄ a₃₁ a₃₂ a₃₄

dan iborat bo'ladi.

Endi ushbu teoremani isbotlaymiz.

1-teorema. D determinantdagi M minorning istalgan hadini o'nga mos algebraik to'ldiruvchining istalgan hadiga ko'paytirsak, D determinantning hadi hosil bo'ladi, ya'ni MA ning istalgan hadi D ning hadidan iboratdir.

Isboti. quyidagi ikki holni qaraymiz.

1⁰- xol. M minor D determinantning yuqri chap burchagida, qo'shimcha minor esa kuyi o'ng burchagida joylashgan bo'lsin:

a₁₁ a₁₂ . .. a_1r a_1,r+1 ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2r a_2,r+1 ... a_2n

D= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a_r1 a_r2 ... a_{r r} a_r,r+1 ... a_rn

a_r+1,1 a_r+!,2 ... a_r+!,r a_r+!,r+1 ... a<sub>r+1,n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -</sub>

a_n1 a_n2 . .. a_nr a_n,r+1 ... a_{n n}
Bu holda M ning algebraik to'ldiruvchisi А=(-1)^{1+2+ ... +r+1+2+ ...+r} M' = M'.

M ning istalgan hadi
(-1)^p a_1 a_{2 2} ...a_{r r} (1)

ko'rinishga ega. Bunda

p=inv.  1 2 3 ... r 

 _ _ _ ... _r  .

А= M' ning istalgan hadi esa

(-1)^q a_{r+1, r+1} a_{r+2, r+2} ...a_{n, n} (2)

ko'rinishga ega. Bunda

q= inv.  r+1 r+2 r+3 ... n 

 _r+1 _r+2 _r+3 ... _n  .

(1) va (2) ning ko'paytmasi

(-1)^{p +q} a_1 a_{2 2} ...a_r a_{r+1, r+1} a_{r+2, r+2} ...a_{n, n} (3)

D ning hadi bo'ladi. Chunki unda n ta ko'paytuvchi bo'lib D ning har bir satri va ustunidan birtadan element olingan va

inv.  1 2 3 ... n  = p+q, chunki _ ,_ ,_, ..., _n lar _r+1,_r+2 ,_r+3 ,...,_n lar-

 _ _ _ ... _n  dan kichik bo'lgani uchun ular bilan inversiya tashkil kilmaydi.

2⁰- xol. M minor D ning k_ ,k_ , ...,k_r satrlari va l₁, l₂ ,..., l_r ustunlarini ishgol qilsin va

k₁< k₂<....< k_r , l₁< l₂<... _r deb olamiz. Bu holni 1-xolga keltiramiz. Buning uchun k₁- satrni o'zidan oldingi (k₁-1)- ta satrdan oldinga o'tkazib 1-o'ringa, k₂- satrni o'zidan oldingi (k₂-2) satrdan oldinga o'tkazib 2-o'ringa va hokazo k_r- catrni o'zidan oldingi

(k_r - r) a satrdan oldinga o'tkazib r-o'rin-ga yozamiz. Ustunlar bilan ham xuddi shu ishni bajarsak, M minor D' ning yuqri chap burchagida joylashadi va determinantning xossalariga ko'ra

(k₁ -1)+(k₂-2)+ ... +(k_r-r)+(l₁-1)+(l₂-2)+ ...+(l_r-r)

D= (-1) D' =

k₁ +k₂+ ... +k_r+l₁+l₂+ ...+l_r

= (-1) D' (3)

1-xolga ko'ra M ning istalgan hadining М' ning ixtiyoriy hadiga ko'paytmasi D' ning hadini beradi. Endi M ning ixtiyoriy hadi

k₁ +k₂+ ... +k_r+l₁+l₂+ ...+l_r

(-1) М' =А ning istalgan hadiga ko'paytirsak, (3)ga ko'ra D ning hadini beradi.

2 -teorema (Laplas teoremasi). n-tartibli D determinantning r ta satr (ustun) laridan barcha r-tartibli minorlarni to'zib va ularni mos algebraik to'ldiruvchilarga ko'paytirib qo'shsak, yig'indi D determinantning qiymati ga teng bo'ladi.

Isboti.Shu r - tartibli minorlar M₁, M₂, ... , M_t va ularga mos algebraik to'ldiruvchilar А₁, А₂ , ... , А_t bo'lsin. U holda

M₁ А₁+ M₂ А₂+ ... + M_t А_е=D (4)

ekanligini isbotlaymiz. 1-teoremaga ko'ra M_i ning istalgan hadini А_i ning istalgan hadiga ko'paytirsak D ning hadi hosil bo'ladi. M_i А_i ва M_j А_j lar (i j) umumiy hadga ega emas, chunki M_i va M_j lar kamida birta ustun elementlari bilan farq qiladi.

Endi (4) ning chap tomonida n! ta had bor ekanligini ko'rsatsak teorema isbotlangan bo'ladi. Determinantning ta'rifiga ko'ra M_i minorda (r-tartibli determinant) r! ta А_i da esa (n-r) ! ta had bor. U holda M_i А_i da r!(n-r)! ta had bo'ladi. Demak, (4) ning chap tomonida r! (n-r)! t ta had bo'ladi. Endi t ni aniqlaylik: C_n^r=n! / r! (n-r)! . Shuning uchun ham r! (n-r)! {n! / r! (n-r)!}= n! .

(4) ning chap tomonida n! ta had bor ekan.

Misol. 1). 1 2 -1 1

D= 3 0 1 2

1 1 0 1 determinantni birinchi 2ta satri bo'yicha yoyib

0 1 2 -1 hisoblang.

1 2 0 1 1 -1 1 1 1 1 1 0 2 -1

D= (-1)^1+2+1+2 + (-1)^1+2+1+3 + (-1)^1+2+1+4 + .

3 0 2 -1 3 1 1 -1 3 2 1 2 0 1

1 1 2 1 1 0 -1 1 1 1

.(-1)^1+2+2+3 + .(-1)^1+2+2+4 + .(-1)^1+2+3+4 =

0 -1 0 1 0 2 1 2 0 1

=-6(-2)+(1+3)(-1)(-1-1)+ (2-3) 2+2 (-1)+4 (-1) 2+(-2-1)1=12+8-2-2=16.

2). 1 2 3

D= 0 1 2 = 1 + 0 +4 - 3 - 0 + 2 = 4

1 -1 1

Endi D ni birinchi satr elementlari bo'yicha yoyib hisoblaylik.

D = 1 (-1)¹⁺¹ 1 2 +2 (-1)¹⁺² 0 2 +3 (-1)¹⁺³ 0 1 =1 (1+2)-2 (-2)+3 (-1)=3+4-3=4.

-1 1 1 1 1 -1