Termiz davlat universiteti fizika- matematika fakulteti matematik tahlil kafedrasi


MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR



Download 0.82 Mb.
bet6/9
Sana25.06.2017
Hajmi0.82 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR .

1). Matrisaning rangi deb nimaga aytiladi?

2). Chiziqli tenglamalar sistemasining rangi deb nimaga aytiladi ?

3). Matrisaning satrlar (ustunlar) bo'yicha rangi deb nimaga aytiladi?

4). Matrisadagi elementar almashtirishlar uning rangiga qanday ta'sir qiladi?


16- MA'RO'ZA

MAVZU: CHIZIqLI TENGLAMALAR SISTEMASINI NOMA'LUM-

LARINI KETMA-KET YUqOTISH USULI (GAUSS USULI) BILAN YECHISH

R YE J A:

1. Chiziqli tenglamalar sistemasida yagona yechimga ega bo'lgan xol.

2. Chiziqli tenglamalar sistemasi cheksiz ko'p yechimga ega bo'lgan xol.

3. Misollar.

4. Bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlari orasidagi bog'lanish.

ADABIYOTLAR [ 1 , 2 , 3 ].


Ushbu mxn -chiziqli tenglamalar sistemasi (ch.t.s.)

a11 x1 +a12 x2 + ....+ a1n xn = b1

a21 x1 +a22 x2 + ....+ a2n xn = b2

.................................................. (1)



am1 x1 +am2 x2 + ....+ amn xn = bm

berilgan bo'lsin.Uni Gauss usuli bilan yechish uchun uning Ixtiyoriy bir (masa- lan birinchi) tenglamasini yezib olamiz va qolgan tenglamalarning barchasidan birorta noma'lumni (masalan, x1 ni) yuqotamiz. U holda ushbu sistemaga ega bo'lamiz:



a11 x1 +a12 x2 + ....+ a1n xn = b1

a'22 x2 + ....+ a'2n xn = b'2

................................... (2)



a'm2 x2 + ....+ a'mn xn = b'm

Tushunarliki (2) sistema (1) ga ekvivalent. Endi (2) sistemadagi 1-tenglamani va qolgan tenglamalardan yana birortasini (masalan 2-tenglamani) yozib olamiz, qolgan barcha tenglamalardan x2 ni yuqotamiz. Shu jarayonni davom ettiramiz. Bunda agar 0=0 ko'rinishdagi tenglama hosil bo'lsa, uni tushirib qoldiramiz. Agarda, 0=b (b0) ko'rinishdagi tenglik hosil bo'lsa,u holda ja-rayenni to'xtatamiz va sistema yechimga ega bo'lmaydi. Shu jarayonni k marta takrorlagandan keyin quyidagi ikki holatdan biri yuz beradi:

1).Oxirgi tenglamada faqat 1 ta noma'lum qatnashib qoladi;

2).Oxirgi tenglamada 1 tadan ortiq noma'lum qatnashadi va ulardan birortasini ham endi yuqotish imkoniyati yuk.

1-holda oxirgi tenglamadan xn ni topib olamiz va uni oxirgidan oldingi tenglamaga qo'yib xn-1 ni topamiz. xn va xn-1 larni topilgan qiymatlarini undan oldingi tenglamaga qo'yib xn-2 ni topamiz va x.k. xn ,xn-1 , ... , x2 larning topilgan qiymatini sistemadagi birinchi tenglamaga qo'yib x1 ni topamiz.

Shunday qilib, bu holda berilgan sistema yagona x1 =1, x2 =2, ... ,xn =n yechimga ega.



Misol. 1).  x1 - x2 + х3 = 2 sistemani Gauss

2x1 + х2-2x3 =-2 usuli bilan

5x1 +2х2-7x3 =-12 yeching.

x1 - x2 + х3 = 2 x1 - x2 + х3 = 2 х3 =3 ,

3x2 -4х3 =- 6   3x2 -4х3 =- 6   3x2 =4х3 - 6=-6+12=6

2 -12х3=-22 -8х3=-24  x2 =2 , x1 = x2 - х3 +2=2+2-3=1.

Javobi: x1 = 1, x2 =2 , х3 =3.

Ikkinchi holda sistemaning oxirgi tenglamasida faqat birta noma'lumni chap tomonda (masalan, xk ni) qoldirib boshqa noma'lumlarni x k+1 ,..., xn larni erkli o'zgaruvchi sifatida kabo'l qilib hosil bo'lgan sistemani 1-holda gi singari yo'l bilan yechib х1,x2,...,xn larni topamiz va bu holda topilgan yechim хk+1,...,xn erkli o'zgaruvchi (parametr) larga bog'liq bo'ladi va ularga Ixtiyoriy qiymatlar berib sistemaning cheksiz ko'p yechimini topamiz.


Misol. 2).  x1 - x2 + х3 = 2 x1 -x2 + х3 = 2 x1 - x2 + х3 = 2

2x1 + х2- 2x3 = - 2   3x2 -4х3 =- 6   3x2 -4х3 =- 6



x1 +2x2 -3х3 = - 4  -3x2 +4х3 = 6 
3x2 =-6+4х3 , x2 = - 2 + (4/3)х3 , x1= 2+x2 - х3 =2-2+(4/3) х3 - х33 /3 .

Javobi: х1= х3 /3; х2=2+(4/3) х3 ; х3 R.

Bu almashtirishlarni tug'ri burchakli matrisalar yordamida ham bajarish mumkin.

1 -1 1 2 1 -1 1 2 1 -1 1 2

2 1 -2 -2  0 3 -4 -6  0 3 -4 -6

1 2 -3 -4 0 -3 4 6 0 0 0 0 .

4. Faraz etaylik



ai1x1 +ai2 x2 + ....+ ain xn = bi , i=1,2,3, ... , m . (1)

csistema bilan birga o'nga mos



ai1x1 +ai2 x2 + ....+ ain xn = 0 , i=1,2,3, ... , m . (2)

bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi ham berilgan bo'lsin.

1. (2) sistemaning ikkita (1, 2, . . . ,n) va (1, 2, . . . , n) yechimlarining yig'indisi va ayirmasi ham shu sistemaning yechimi bo'ladi.

Isboti. Haqiqatan ham, ai11 +ai2 2 + ....+ ain n = 0 va ai11 +ai2 2 +

+ . ..+ ain n = 0 bo'lsa , u holda ai1(1 1)+ai2 (2 2)+ ....+ ain (n n)=

= ai11 +ai2 2 + ....+ ain n (ai11 +ai2 2 + . ..+ ain n )= 0 0=0.

2. (2)-sistemaning ixtiyoriy yechimining R soniga ko'paytmasi yana shu sistemaning yechimi bo'ladi.



Isboti. (1, 2, . . . ,n) (2)-sistemaning yechimi bo'lsin, ya'ni ai11 +ai22+ + ....+ ain n = 0 , u holda ai1(1)+ai2 (2)+ ....+ ain(n) = ( ai11 +ai22 +

+ ....+ ain n)=   0=0.

Bu ikki xossadan kelib chiqadiki, (2) sistemaning yechimlar to'plami W arifmetik fazo bo'lar ekan (n o'lchovli arifmetik fazo mavzusiga qarang), ya'ni W, n o'lchovli arifmetik fazoning Qism fazosi ekan.

3. (1) ning ixtiyoriy (1, 2, . . . ,n) va (1, 2, . . . , n) yechimlarining ayirmasi (2) sistemaning yechimi bo'ladi.

Isboti. Haqiqatan ham ai11 +ai2 2 + ....+ ain n = bi va ai11 +ai2 2 +

+ . ..+ ain n = bi bo'lsa, u holda ai1(1 - 1)+ai2 (2 - 2)+ ....+ ain (n - n)=

= ai11 +ai2 2 + ....+ ain n - (ai11 +ai2 2 + . ..+ ain n )= bi - bi =0 bo'ladi.

4. (1) (1) ning ixtiyoriy yechimi (1, 2, . . . ,n) bilan (2) ning yechimi (1, 2, . . .



... , n) larning yig'indisi va ayrmasi ham (1) ning yechimi bo'ladi.

Isboti. ai11 +ai2 2 + ....+ ain n = bi va ai11 +ai2 2 + . ..+ ain n = 0 bo'lsa , u holda ai1(1 1)+ai2 (2 2)+ ....+ ain (n n)= ai11 +ai2 2 + ....+ +ain n (ai11 +ai2 2 + . ..+ ain n )= bi 0 = bi bo'ladi.

3 va 4 - xossalardan kelib chiqadiki, (1)- sistemaning yechimlarini hosil qilish uchun uning birta х0 =(1, 2, . . . ,n) yechimiga (2) - sistemaning yechimini qo'shish kifoya, ya'ni agar (1) nig yechimlari to'plamini H desak, H=х0+W. Demak, H to'plam W qism fazoni х0 vektorga siljitish natijasida hosil bo'ladi. Bunday holda (1) ning yechimlari to'plami chiziqli ko'pxillilik tashkil etadi deyiladi.



MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR .
1. CH.t.s.ni Gauss usuli bilan yechishni gapirib bering .

2. qanday holda ch.t.s. yechimga ega emas .

3. qanday holda chiziqli tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega ?

4. qanday holda ch.t.s. cheksiz ko'p yechimga ega ?

5. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemaning yechimlari fazosi deganda nimani tushunasiz ?

6. Chiziqli ko'pxillik nima ?




17-MA'RO'ZA

MAVZU: 2 VA 3- TARTIBLI DETERMINANTLAR. O'RNIGA QO'YISHLAR

GRUPPASI.
R YE J A:

1. Ikki noma'lumli chiziqli tenglamalar sistemasi va ikkinchi tartibli determinantlar.

2. 3 noma'lumli chiziqli tenglamalar sistemasi va 3-tartibli determinantlar.

3. O'rniga qo'yishlar gruppasi.

4. Juft va tok o'rniga qo'yishlar.

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3 ].

1. Faraz etaylik bizga




a11x1 +a12 x2 = b1 (1) a21 a22

a21x1 +a22 x2 = b2 -a11 - a12

chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo'lsin. (1) ni x1 va x2 ga nisbatan yechsak



b1 a22 - b2 a12 b2 a11 - b1 a21

x1=  , x2=  (2)

a11 a22 - a12 a21 a11 a22- a12 a21

lar hosil qilamiz. Bu yerda maxraj



a11 a12

d= a11 a22 -a12a21 = (3)

a21 a22

ko'rinishda belgilanib (3)ga ikkinchi tartibli determinant deyiladi. Demak, ikkinchi tartibli determinantni hisoblash uchun uning bosh diagonalidagi elementlari ko'paytmasidan ikkinchi diagonalidagi elementlari ko'paytmasini ayirish kerak ekan. (2) ning suratidagi ifodalarni ham ikkinchi tartibli determinant ko'rinishda yozish mumkin:



b1 a12 a11 b2

d1= b1 a22 - b2 a12= , d2= b2 a11 - b1 a21 =

b2 a22 a21 b2

Bo'lardan foydalanib (2) ni



x1= d1 / d , x2= d2 / d (4)

ko'rinishda yozish mumkin. (4) ga (1) sistemani yechish uchun Kramer formulasi deyiladi.

Misol.

3x1 +2x2 = 5

x1 - x2 = 0 sistemani Kramer formulalari yordamida yeching.

Bu yerda


d= 3 2 = -3-2=-5 ; d1= 5 2 =-5-0=-5; d2= 3 5 = -5 .

1 -1 0 -1 1 0

Demak, (4) ga ko'ra x1= -5 / -5 = 1 va x2= -5 / -5 =1.

Javobi: x1 = 1 va x2= 1.

2. Endi faraz qilaylik 3 ta noma'lumli

a11x1 +a12 x2 +a13 x3 = b1

a21x1 +a22 x2 +a23 x3 = b2 (5)

a31x1 +a32 x2 +a33 x3 = b3

chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo'lsin. (5)ni x1 ,x2 , x3 larga nisbatan yechamiz. Buning uchun uning birinchi tenglamasini a22 a33 - a23 a31 ga ikkinchisini a13 a32 - a12 a33 ga va uchinchisini a12 a23 - a13 a22 ga ko'paytirib kushamiz. U holda



b1 a22 a33 + b2 a13 a32 + b3 a12 a23 - b3 a13 a22 - b2 a12 a33 - b1 a23 a32

x1=  . (6)

a11 a22 a33 + a21 a13 a32+ a31 a12 a23 - a31 a13 a22 - a21 a12 a33 - a11 a23 a32

Buning maxrajini



d= a11 a22 a33 + a21 a13 a32+ a31 a12 a23 - a31 a13 a22 - a21 a12 a33 - a11 a23 a32 =

a11 a12 a13

= a21 a22 a23 (7)

a31 a32 a33

deb belgilab olsak , (7) ga 3- tartibli determinant dyoyilali. (7) ning chap tomonidan uni hisoblash qoidasi kelib chiqadi:



   + - + a11 a12 a13 -

   + ; a21 a22 a23

      a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

Osonlik bilan ko'rish mumkinki, agar (7) da 1-ustun elementlari a11 , a21 ,a31

ni mos ravishda b1 ,b2 ,b3 lar (ozod hadlar ustuni) bilan almashtirsak (6) ning surati hosil bo'ladi, ya'ni (7) dan
b1 a12 a13

d1= b2 a22 a23 = b1 a22 a33 + b2 a13 a3 2 +b3 a12 a23 - b3 a13 a22 - b2 a12 a33 -

b3 a32 a33 - b1 a23 a32 . (8)
(7) va (8) ga asosan (6) ni quyidagicha yoza olamiz: x1= d1 / d. Xuddi shuningdek, (5) ni x2 va x3 ga nisbatan yechsak x2= d2 / d , x3= d3 / d larni hosil qilamiz. Bu yerda
a11 b1 a13 a11 a12 b1

d2= a21 b2 a23 , d3 = a21 a22 b2

a31 b3 a33 a31 a32 b3 .

Misolar. 1).



2 3 1

d= 4 0 1 = 0+ 4 +3 - 0 -12 - 2=-7.

1 1 1

2).  x+ y+ z= 1

 x- y + z= 0



 x - y- z=-1 chiziqli tenglamalar sistemasini yeching.

1 1 1 1 1 1



d = 1 -1 1 = 1 -1 +1 +1 +1=4 ; d1 = 0 -1 1 = 1+0- 1-1+0+1=0

1 -1 -1 -1 -1 -1




1 1 1 1 1 1



d2= 1 0 1 = 0-1+1-0+1+1 = 2; d3 = 1 0 1 =1 -1 + 0 + 1+ 1 - 0 = 2.

1 -1 -1 1 -1 -1

Shuning uchun ham x=0/4=0, y=2/4=1/2; z=2/4=1/2.

Javobi: (0, 1/2, 1/2).



3. O'rniga qo'yishlar gruppasi. Faraz etaylik, bizga n ta elementga ega bo'lgan A to'plam berilgan bo'lsin. Bu to'plam elementlarini 1,2,...,n lar bilan nomerlab chikaylik. U holda A ni A={ 1,2,3,...,n} deb yozish mumkin.

1-ta'rif. A to'plamni o'ziga biyektiv (o'zaro bir qiymatli) akslantirishga o'rniga qo'shish deyiladi.

Tushunarliki qaralayotgan to'plamda n! ta o'rniga qo'yish mavjud. Bundan keyin biz s o'rniga qo'yishda 1, 2, 3, ... , n elementlarning mos ravishda i1 ,i2 , ... , in elementlarga utishini



s =  1 2 3 . . . n 

i1 i2 i3 . . . in

ko'rinishda belgilaymiz. Agar s = 1 2 3 . . . n va t= 1 2 3 . . . n

i1 i2 i3 . . . in   j1 j2 j3 . . . jn

o'rniga qo'yishlar berilgan bo'lib ik = jk (k= 1,2,..., n) tenglik bajarilsa s va t o'rniga qo'yishlarga teng deyiladi va s= t ko'rinishda yoziladi.

e=  1 2 3 . . . n 

1 2 3 . . . n ga ayniy o'rniga qo'yish deyiladi.



n ta elementdan to'zilgan A to'plamdagi barcha o'rniga qo'yishlar to'plamini Sn bilan belgilaymiz. Sn dagi ikkita s va t o'rniga qo'yishning ko'paytmasi deb avvalo s keyin esa t o'rniga qo'yishni bajarish natijasida hosil bo'lgan o'rniga qo'yishga aytiladi.

Masalan: s= 1 2 3 4 t = 1 2 3 4

4 1 3 2 2 1 4 3 bo'lsin.

U holda s t =  1 2 3 4    1 2 3 4 =  1 2 3 4 

 4 1 3 2   2 1 4 3  3 2 4 1  bo'ladi.

1 - teorema. Sn ;  - multiplikativ gruppa bo'ladi.

Isboti. Gruppa ta'rifmdagi shartlarning bajarilishini tekshiraylik.

1) s,t Sn s t Sn bajariladi;

2) s,t,l Sn s (t l)=(s t) l bo'ladi, chunki agar s= m t= n l= k

n , k , a bo'lsa, bu tenglik m n   k =  m n   k

n k a   n k a bo'lib, uning chap tomoni

m n  = m o'ng tomoni ham m k= m dan iborat.

n a a n a a

3) e= 1 2 3 . . . n

1 2 3 . . . n bo'lib s Sn uchun s l=s bajariladi.

4) s = 1 2 3 . . . n s -1 = i1 i2 i3 . . . in

i1 i2 i3 . . . in ga teskarisi 1 2 3 . . . n bo'ladi, chunki ss -1 = e.

Shunday qilib gruppa ta'rifidagi barcha shartlar bajariladi. Sn ; 

 gruppaga n-tartibli simmetrik gruppa deb yuritiladi.

Agar s = 1 2 3 . . . n

i1 i2 i3 . . . in o'rniga qo'yishda i1 < i2 < i3 < . . .< in bo'lsa, u inversiyaga ega emas deyiladi, aks holda inversiyaga ega deyiladi.

Masalan: s=  1 2 3 4 

 4 1 3 2  da inversiyalar soni 1 uchun 1 ta, 2 uchun 2 ta , 3 uchun 0 ta, 4 uchun 1 ta, jami 4 ta inversiya bor.

Berilgan o'rniga qo'yishdagi inversiyalar soni juft bo'lsa, o'nga juft o'rniga qo'yish, agarda inversiyalar soni tok bo'lsa , u holda tok o'rniga qo'yish deyiladi .

O'rniga qo'yishdagi istalgan 2 ta elementning o'rnini almashtirishga transpozisiya deyiladi.

Agar ik va il larning o'rni almashtirilsa, u (ik , il ) ko'rinishda belgilanadi.



2- teorema. Transpozisiya natijasida o'rniga qo'yishlarning jufttoqligi o'zgaradi.

Isboti. s= 1 2 3 . . . k . . . l . . . n t= 1 2 3 . . . k . . . l . . . n

i1 i2 i3 . . . ik . . . il . . . in  dan i1 i2 i3 . . . il . . . ik . . . in

transpozisiya natijasida hosil qilingan bo'lsin. U holda ik ni il dan oldinga o'tkazish uchun l-(к-1) ta inversiya bajarish kerak. Undan keyin il ni joyiga (ya'ni il-1 dan keyingi joyga ) qo'yish uchun l-(k-1)-1 ta inversiya, jami



l-k+1+l-k+1-1=2(l-k)+1 ta inversiya bajarish kerak.

3-teorema. n! ta o'rniga qo'yishlarning yarmi n! / 2 tasi juft va qolgan yarmi n!/2 tasi tok bo'ladi.

Isboti. Agar n! ta o'rniga qo'yishlardagi juftlari soni p, toklari soni q bilan belgilasak, p+q=n! bo'ladi. Endi agar barcha n! ta o'rniga qo'shishlarda transpozisiya bajarsak, u holda juftlar toklarga,toklari esa juftlarga o'tadi, ya'ni p=q, demak, p=n!/2 va q=n!/2.

4-teorema. Juft o'rniga qo'shishlar to'plami S*n ko'paytirishga nisbatan gruppa hosil qiladi.

Buning isboti qat'iy keltirishni talabalarga xavola qilamiz < S*n; . > da birlik element ayniy qo'shish bo'ladi. t ga teskarisi t-1 S*n bo'ladi.



Natija. Tok o'rniga qo'shishlar to'plami ko'paytirishga nisbatan gruppa bo'lmaydi.

Bunda birlik element mavjud emas.

Misol.   1 2 3   1 2 3  1 2 3   1 2 3   1 2 3  1 2 3  

S3 =   1 2 3,  2 3 1 ,  3 1 2,  3 2 1 ,  2 1 3 ,1 3 2  

 


ni qaraylik . S3 ={ f0 , f1 , f2 , f3 , f4 , f5 } deb belgilab olsak, quyidagi jadvalga ega bo'lamiz. Bu jadvalda birlik element e= f0 , f1 ga teskarisi f2 ; f2 ga teskarisi f1 ; f3 ga teskarisi f3 ; f4 ga teskarisi f4 ; f5 ga teskarisi f5 . Shuningdek gruppaning barcha shartlari bajariladi, ya'ni S3 ;   - multiplikativ gruppa bo'ladi.

f0 f1 f2 f3 f4 f5

f0 f0 f1 f2 f3 f4 f5

f1 f1 f2 f0 f4 f5 f3

f2 f2 f0 f1 f5 f3 f4

f3 f3 f5 f4 f0 f2 f1

f4 f4 f3 f5 f1 f0 f4

f5 f5 f4 f3 f2 f1 f0


Katalog: attachments -> article
article -> Axloqning kеlib chiqishi, unda ixtiyor erkinligining ahamiyati va axloq tuzilmasi
article -> Podsho Rossiyasi tomonidan O‘rta Osiyoning bosib olinishi sabablari va bosqichlari
article -> Siyosiy mafkuralarning asosiy ko'rinishlari
article -> Mehnat sohasida ijtimoiy kafolatlar tizimi. Reja: Ijtimoiy himoya qilish tushunchasi va uning asosiy yo’nalishlari
article -> Siyosiy madaniyat va siyosiy mafkuralar Reja
article -> O’zbek Adabiyoti tarixi: Eng qadimgi adabiy yodgorliklar
article -> Ma’naviyatning tarkibiy qismlari, ularning o’zaro munosabatlari va rivojlanish xususiyatlari. Ma’naviyat, iqtisodiyot va ularning o’zaro bog’liqligi
article -> Davlatning tuzilishi
article -> Reja: Geografik o‘rni va chegeralari
article -> Yer resurslaridan foydalanish va ularni muhofaza qilish Reja: Tuproq, uning tabiat va odam hayotidagi ahamiyati. Dunyo yer resurslari va ulardan foydalanish

Download 0.82 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
O’zbekiston respublikasi
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
davlat pedagogika
o’rta maxsus
axborot texnologiyalari
nomidagi toshkent
pedagogika instituti
texnologiyalari universiteti
navoiy nomidagi
samarqand davlat
guruh talabasi
ta’limi vazirligi
nomidagi samarqand
toshkent davlat
toshkent axborot
haqida tushuncha
Darsning maqsadi
xorazmiy nomidagi
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
Alisher navoiy
Ўзбекистон республикаси
rivojlantirish vazirligi
matematika fakulteti
pedagogika universiteti
таълим вазирлиги
sinflar uchun
Nizomiy nomidagi
tibbiyot akademiyasi
maxsus ta'lim
ta'lim vazirligi
махсус таълим
bilan ishlash
o’rta ta’lim
fanlar fakulteti
Referat mavzu
Navoiy davlat
haqida umumiy
umumiy o’rta
Buxoro davlat
fanining predmeti
fizika matematika
malakasini oshirish
universiteti fizika
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
jizzax davlat
davlat sharqshunoslik