Теория вероятностей

Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
Интуитивное представление о случайной величине
Случайная величина – это числовая функция, значения которой заранее (до наблюдения) нельзя точно определить, то есть функция, зависящая от случайного исхода и принимающая свои значения с некоторыми вероятностями.
Примеры случайных величин:
а) число пассажиров в автобусе (конечное число значений);
б) число вызовов на телефонной станции за время Т (счетное число значений);
в) время безотказной работы прибора за время Т (несчетное число значений).
Обозначают случайные величины прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z,…, а их значения соответствующими строчными буквами x, y, z,….
Определение случайной величины
Пусть задано некоторое вероятностное пространство .
Определение. Функция называется случайной величиной, если для любого множество

является событием, то есть .
Смысл приведенного определения случайной величины состоит в требовании того, чтобы у подмножества была определена его вероятность при любом .
Определение. Говорят, что функция является
-измеримой, если множество для любого .
Таким образом, случайная величина есть -измеримая функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу число .
Из определения случайной величины и свойств -алгебры вытекает, что событиями являются также следующие подмножества, связанные со случайной величиной :
;
;
;
,
и любые другие, получающиеся из них с помощью выполнения конечного или счетного числа операций. Другими словами, приведенное определение случайной величины эквивалентно тому, что попадание случайной величины в любое борелевское множество на числовой прямой является событием: для любого .
Заметим, что, если в -алгебре содержатся все подмножества (как, например, в случае конечного или счетного ), то случайной величиной является любая числовая функция . В общем случае это не так.