Tekislikning umumiy



Download 2.29 Mb.
bet1/2
Sana29.08.2021
Hajmi2.29 Mb.
  1   2

Fazoda analitik gеomеtriya. Tеkislik va uning tеnglamalari

R е j a :


  1. Bеrilgan nuqtadan o¢tuvchi tеkisliklar tеnglamasi.

  2. Bеrilgan uchta nuqtadan o¢tuvchi tеkislik tеnglamasi.

  3. Ikki tеkislik orasidagi burchak.

  4. Tеkisliklarning pеrpеndikulyarlik va parallеllik sharti.

  5. Uchta tеkislikning kеsishish nuqtasi.

  6. Nuktadan tеkislikkacha bo¢lgan masofa.


Fazoda tekislik tenglamalari



Tekislikning umumiy tenglamasi. Aytaylik, fazoda ixtiyoriy Oxyz dekart


koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin, unda

x, y, z

o’zgaruvchili istalgan birinchi


tartibli tenglama berilgan sistemaga nisbatan tekislikni ifodalaydi. Bunday tenglamaning ko’rinishi quyidagicha bo’lsin:

Ax + By + Cz + D = 0

(1)


Bu yerda A,B,C va D lar ixtiyoriy o’zgarmaslar bo’lib, A,B,C lar bir paytda nolga teng bo’lmaydi. (1)- tenglamani qanoatlantiradigan hech bo’lmaganda

bitta

M 0 (x0 , y0 , z0 )

nuqtani belgilab olamiz, ya`ni

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
(2)


tenglik o’rinli bo’lsin. Agar (1)- dan (2)- ni ayirsak, tekislikning (1)-ga teng kuchli

A(x - x0 )+ B(y - y0 )+ C(z - z0 ) = 0

(3)

ko’rinishidagi tenglamasini hosil qilamiz. Endi (3)- tenglama

M 0 (x0 , y0 , z0 )

nuqtadan o’tuvchi,

nr = {A, B,C}

vektorga perpendikulyar tekislikni ifodalashini

ko’rsatamiz. nr vektor nol vektor emas, chunki A,B,C lar bir paytda

nolga teng bo’lolmaydi.

Agar haqiqattan ham,

M (x, y , z)

nuqta tekshirilayotgan tekislikda yotsa,


uning koordinatalari (4.28)- tenglamani qanoatlantirishi kerak. Demak, bu

r r

paytda shu tekislikda yotgan

r = M0M = {x - x0 , y - y0 , z - z0 }

yo’nalgan kesma

(radius-vektor) va

nr = {A, B,C}

o’zaro perpendikulyar (ortogonal) bo’lishi,


ularning skalyar ko’paytmasi esa


0

0
rr r r

(nr ) = (n × M

M )= A(x - x

)+ B(y - y0

)+ C(z - z0

)= 0

(4)


bo’lishi kerak, aks holda qaralayotgan vektorlar o’zaro perpendikulyar

bo’lolmaydi. nr vektor faqat tekislikdagina yotgan istalgan bir yo’nalgan kesmaga perpendikulyar bo’lishi mumkin. Shunday qilib, (3) va demak, (1)- tenlama fazoda tekislikni ifodalab, unga tekislikning umumiy tenglamasi



deyiladi.

nr = {A, B,C} vektorga esa tekislikning normal vektori deyiladi.


Tekislikning umumiy tenglamasini tekshirish. Tekislikning umumiy ko’rinishidagi (1)-tenglamasida A, B, C va D lar noldan farqli bo’lsa, unda (1)- ga to’la tenglama deyiladi. Agar A, B, C, D lardan birortasi nolga teng bo’lsa, to’la bo’lmagan tenglama deyiladi. Quyida to’la bo’lmagan tenglamaning ba`zi xususiy hollari bilan tanishib o’tamiz.

1) D = 0;

tenglama

Ax + By + Cz = 0

ko’rinishini olib, kordinatalar boshidan


o’tuvchi tekislikni ifodalaydi.


2) A = 0;

tenglama

By + Cz + D = 0

ko’rinishini olib, Ox o’qiga parallel

tekislikni ifodalaydi. Chunki bunday tekislikning

Ox o’qiga perpendikulyardir.

nr = {0, B,C}

normal vektor

3) В = 0

tenglama

Ax + Cz + D = 0

ko’rinishini olib, Oy o’qiga parallel

tekislikni ifodalaydi. Chunki bunday tekislikning o’qiga perpendikulyardir.

nr = {А,0,C}

normal vektori Oy

4) С = 0 ;

tenglama

Ax + By + D = 0

ko’rinishini olib, Oz o’qiga parallel

tekislikni ifodalaydi. Chunki bunday tekislikning

Oz o’qiga perpendikulyardir.

nr = {А, B,0}

normal vektori

5) B = 0, C = 0

tenglama

Ax + D = 0

yoki

x = - D

A

ko’rinishini oladi. Agar


a = - D

A

deb olsak,

x = a

tenglama Oyz koordinata tekisligiga parallel va Ox

o’qidan a ga teng kesma ajratuvchi tekislikni ifodalaydi.


6) A = 0, B = 0;

tenglama

Cz + D = 0

yoki

z = - D

C

ko’rinishni oladi. Agar

c = - D

C
deb olsak,
z = c
tenglama Oxy koordinata tekisligiga parallel va Oz

o’qidan c ga teng kesma ajratuvchi tekislikni ifodalaydi.


7) A = 0, C = 0;

tenglama

By + D = 0

yoki

y = - D

B

ko’rinishini oladi.


Agar

b = - D

B

deb olsak,

y = b

tenglama Охz kordinata tekisligiga parallel va Oy

o’qidan b ga teng kesma ajratuvchi tekislikni ifodalaydi.


8) В = 0, С = 0, D = 0

tenglama

Ax = 0

ko’rinishini olib, Oyz koordinata


tekisligini ifodalaydi.


9) A = 0, С = 0, D = 0

tenglama

By = 0

ko’rinishini olib, Oxz koordinata


tekisligini ifodalaydi.


10)

A = 0, B = 0, D = 0

tenglama

Cz = 0

ko’rinishini olib, Oxy koordinata


tekisligini ifolaydi.

Tekislikning kesmalar bo’yicha tenglamasi. Tekislikning (1)- ko’rinishidagi umumiy tenglamasini yozib olamiz:

Ax + By + Cz + D = 0

Tenglamada D koeffitsientni tenglikning o’ng tomoniga o’tkazib, hamma hadlarni (-D) ga bo’lib chiqamiz:



yoki

А x + B

  • D - D

y + C

    • D

z = 1

(5)


x +

      • D -

A

y + z = 1

D - D

B C

(6)

(6)- tenglamada

a = - D , b = - D

c = - D

belgilashlarni kiritamiz, a,b,c

A

lar tekislikning mos ravishda

B

Ox, Oy , Oz

C

o’qlardan ajratgan kesmalarini


ko’rsatadi (1-chizma). Unda (6)- tenglama

x + y + z = 1

(7)

a b c

ko’rinishini olib, tekislikning kesmalar bo’yicha tenglamasi deyiladi.


y

x

1-chizma.




Masala. Tekislikning umumiy tenglamasi kesmalar bo’yicha tenglamasiga keltiring.

2x - y - 4z + 20 = 0

ni uning



Yechish. Tenglamaning ozod hadi 20 ni tenglikning o’ng tomoniga o’tkazib,

hamma hadlarini -20 ga bo’lamiz:



yoki tekislikning

2x - y - 4z = -20,

2 x -

- 20

1


- 20

y - 4

- 20

z = 1



x y z

x y z

20 - - 20 - - 20 = 1

-

yoki

+ + = 1



- 10 20 5

2 1 4

ko’rinishidagi kesmalar bo’yicha tenglamasini hosil qilamiz. Demak, berilgan

tekislik Ox o’qidan kesmalar ajratar ekan.

a = -10 , Oy o’qidan

b = 20

va Oz o’qidan

c = 5

ga teng

Tekislikning normal tenglamasi. Bizga koordinatalar boshidan tekislikkacha bo’lgan masofa p, ya`ni O nuqtaning tekislikka o’tkazilgan OT perpendikulyarning uzunligi hamda O nuqtadan tekislikka yo’nalgan birlik

r


normal vektor n0

berilgan bo’lsin (2-chizma).

2-chizma.


Shu berilgan kattaliklar yordamida tekislikning tenglamasini topish

masalasini qo’yamiz. M ko’rilayotgan tekislikning biror nuqtasi bo’lsin. OM

= rr



deb, bu vektorning

nro

vektor yo’nalishidagi proyektsiyasini olsak, u



n o
ПРr ОМ = р

(8)


bo’ladi, chunki shartga ko’ra asosan

= р . Ikki vektorning skalyar ko’paytmasigi



r
ПРr ОМ = (ОМ × nro )

n o



yoki

ПРr ОМ (rr nro )
r


no
= × (9)


ni hosil qilamiz. Buni (4.33)- tenglikka qo’ysak,

(rrnro )- p = 0
(10)


bo’ladi. Tekislikning vektor shaklidagi normallashgan tenglamasi deyiladi.

rr esa tekislikdagi ixtiyoriy M nuqtaning radius-vektori bo’lib, o’zgaruvchi kattalikdir.

(10)-tenglikni Dekart koordinatalar orqali yozish maqsadida

nro

vektorni

yo’naltiruvchi kosinuslar orqali rr ni

x, y, z

koordinatalar orqali yozsak, ya`ni

unda


bo’ladi.

nr 0 {cosa , cos b , cosg }, rr{x, y, z}
(rr × nro ) = x cosa + y cosb + z cosg


(11)

Natijada (10)-ni (11)-yordamida quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

xcosa + y cosb + z cosg

- p = 0


(12)


(12)-tekislikning koordinatalar shaklidagi normal tenglamasidir.

Download 2.29 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
maxsus ta’lim
O’zbekiston respublikasi
zbekiston respublikasi
axborot texnologiyalari
o’rta maxsus
nomidagi toshkent
guruh talabasi
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
xorazmiy nomidagi
toshkent axborot
pedagogika instituti
rivojlantirish vazirligi
haqida tushuncha
toshkent davlat
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
matematika fakulteti
ta’limi vazirligi
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
samarqand davlat
vazirligi muhammad
pedagogika universiteti
bilan ishlash
fanining predmeti
Darsning maqsadi
navoiy nomidagi
o’rta ta’lim
Ishdan maqsad
haqida umumiy
nomidagi samarqand
fizika matematika
sinflar uchun
fanlar fakulteti
maxsus ta'lim
Nizomiy nomidagi
ta'lim vazirligi
moliya instituti
universiteti fizika
Ўзбекистон республикаси
umumiy o’rta
Referat mavzu
respublikasi axborot
Toshkent axborot
таълим вазирлиги
Alisher navoiy
махсус таълим
Buxoro davlat