Тейлор ва Маклерон формуласи

Тейлор ва Маклерон формуласи

(1)
функцияни (n - даражали кўпҳадни) қарайлик, бунда ва - ҳақиқий сонлар. Бу лар қуйидагича ҳам аниқланиши мумкин:
(1) тенгликда дейилса,

бўлади;
функцияни дифференциаллаб,

ва бу тенгликда деб

бўлишини топамиз.
функцияни икки марта дифференциаллаб

ва бу тенгликда деб топамиз:

Бу жараённи давом эттира бориб, да

бўлишини топамиз.
Натижада кўпҳад қуйидаги кўринишга келади:
(2)
Демак, кўпҳад ўзининг ҳамда ҳосилаларининг бирор нуқтасидаги қиймати билан тўлиқ аниқланар экан. (2) фор-мула кўпҳад учун Тейлор формуласи дейилади.
Ихтиёрий функциянинг Тейлор формуласи ва унинг қолдиқ ҳадлари. Фараз қилайлик, функция да берилган бўлиб, бўлсин. Бу функция нуқтанинг

атрофида ҳосилаларга эга бўлсин. Функция ҳосилаларидан фойдаланиб, ушбу

кўпҳадни тузамиз.
Агар функция даражали кўпҳад бўлса, равшанки,

бўлади.
Агар функция кўпҳад бўлмаса,

бўлиб, улар орасидаги фарқ юзага келади. Уни орқали белгилаймиз:
.
Натижада ушбу

яъни,
(3)
формулага келамиз. Бу (3) формула функциянинг Тейлор формуласи дейилади. (3) формуладаги эса Тейлор формуласининг қолдиқ ҳади дейилади.
Энди қолдиқ ҳад ни аниқлаймиз. нуқтанинг атрофидаги ни тайинлаб, ушбу

функцияни (ёки ) да қараймиз.
Бу функция сегментда узлуксиз бўлиб, да ҳосилага эга бўлади:

Демак,
.
Энди да узлуксиз, да чекли (нолга тенг бўлмаган) ҳосилага эга функцияни олиб, ва функцияларга да Коши теоремасини қўллаймиз. Натижада қуйидаги
(4)
тенгликка келамиз, бунда .
Равшанки,

Унда (4) тенгликдан
(5)
бўлишини топамиз.
а) Коши кўринишидаги қолдиқ ҳадли Тейлор формуласи.
Айтайлик, бўлсин. Унда

бўлиб, (5) тенглик қуйидаги

кўринишга келади. Бу ҳолда

формула ҳосил бўлиб, уни функциянинг Коши кўринишидаги қолдиқ ҳадли Тейлор формуласи дейилади.
б) Лагранж кўринишидаги қолдиқ ҳадли Тейлор формуласи.
Айтайлик, бўлсин. Унда

бўлиб, (5) тенглик қуйидаги

кўринишга келади. Бу ҳолда
(6)
формула ҳосил бўлиб, уни функциянинг Лагранж кўринишидаги қолдиқ ҳадли Тейлор формуласи дейилади.
в) Пеано кўринишидаги қолдиқ ҳадли Тейлор формуласи.
Юқоридаги (6) формуладан фойдаланиб топамиз:

функция нуқтада узлуксиз. Демак, да бўлиб,
.
Шуни эътиборга олиб, да

бўлишини топамиз.
Натижада ушбу

формула ҳосил бўлади. Бу формула функциянинг Пеано кўринишидаги қолдиқ ҳадли Тейлор формуласи дейилади.
Баъзи функцияларнинг Тейлор формулалари. функциянинг Пеано кўринишидаги қолдиқ ҳадли Тейлор формуласини оламиз:

Бу тенгликда деб, ушбу
(7)
формулага келамиз. (7) формула функциянинг Маклорен формуласи дейилади.
1) бўлсин. Бу функция учун бўлиб,

бўлади.
2) бўлсин. Бу функция учун

бўлиб,

бўлади.
Хусусан,


бўлади.
3) бўлсин. Бу функция учун

бўлиб,

бўлади.
Шунингдек,

бўлади.
4) бўлсин. Бу функция учун бўлиб,

бўлади.
5) бўлсин. Бу функция учун бўлиб,

бўлади.
Мисол. Ушбу

функциянинг Тейлор (Маклорен) формуласи ёзилсин.
◄ Бу функцияни қуйидагича

ёзиб, сўнг

бўлишидан фойдаланиб топамиз:
.►