Sirt yuzining ta‘rif. Sirt yuzi uchun formula Izometrik sirtlar

Sirt ustidagi soxaning yuzi. Izometrik va konform moslik

Reja:

1. 
   Sirt yuzining ta‘rif. Sirt yuzi uchun formula
   
2. 
   Izometrik sirtlar
   
3. 
   Konform sirtlar
   

Aytaylik F sillik sirt berilgan bo`lsin. Uni kichik g soxalarga ajratamiz. xar bir soxada biror Р nuqtani belgilab, ularning xar birini shu nuqtadagi urinma tekislikka proektsiyalaymiz. (g) orqali g soxa proektsiyasining yuzini belgilaymiz.

Ta‘rif. F sirtning yuzi deb, g soxalarning o`lchovi cheksiz kichraya borganda (g) yuzalarning yig’indisi intilgan limitga aytiladi. Ta‘rifdan F sirt yuzini s orqali belgilasak

bo`ladi.

F sirt r=r(u,v) vektor tenglama bilan berilganda yuzani xisoblash uchun formula topamiz. Buning uchun eng avvalo (g) yuzalarning ifodalanishini topamiz.

Koordinata sistemasini shunday kiritamizki, bunda Р nuqta koordinata boshi va bu nuqtadagi urinma tekislik ХУ tekisligidan iborat bo`lsin. aytaylik bu koordinatalarga nisbatan F sirt g soxada

x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)

ko`rinishdagi parametrik tenglamalar bilan aniqlansin.

g soxaning yetarlicha kichik o`lchamlaorida uni urinma tekislikka proektsiyalash bir qiymatli aniqlanadi. Shuning uchun u va v larni g soxa proektsiyasining egri chiziqli koordinatalari deb qarash mumkin, tekis soxaning yuzi egri chiziqli koordinatalarda quyidagi

Formula bilan xisoblanadi. Integral ostidagi ifodani quyidagicha yozib olamiz:

=|[r_ur_v]n_р|

bu yerda n_р - sirt ustidagi vektor funktsiyadan iborat bo`lib, tanlangan nuqtadagi birlik normal vektordan iborat.

Endi yuzalarning yig`indisi uchun quyidagi ifodani yoza olamiz:

bu yerda n* vektor-funktsiya bo`lib, xar bir soxadagi belgilangan nuqtadagi birlik vektordan iborat.

Oxirgi tenglikda limitga o`tib F sirt yuzasi uchun

ni yozamiz.

[r_u,r_v] va n vektorlar kollinear bo`lgani uchun oxirgi tenglikni

ko`rinishda yozamiz.

Agar [r_u,r_v]²= r_u²r_v²-(r_ur_v)²=EG-F2 ekanini eotiborga olsak, oxirgi tenglik

(*)

ko`rinishni oladi. (*) Formuladan shu narsa ko`rinadiki sirt yuzi xam 1-kvadratik forma bilan ifodalanar ekan.

Agar sirt z=f(x,y) tenglama bilan berilgan bo`lsa,

E=1+z_x², F=z_xz_y, G=1+z_y²

ga teng bo`lib, sirt yuzi formulasi

ko`rinishni oladi.

Sirt ustidagi egri chiziq yoyining uzunligi, sirt ustidagi chiziqlar orasidagi burchakni va soxaning yuzini aniqlash uchun sirt ustidagi egri chiziqli koordinatalar sistemasiga nisbatan Е,F va G qiymatlarini u,v orqali aniqlash kifoyadir. Е,F va G ni aniqlash uchun, sirtning shaklini bilish shart emas.

Sirt z=f(x,y) oshkor tenglama bilan berilgan xolda tegishli W soxaning yuzi uchun ushbu formula xosil qilinadi:

.