Сингулярным ядром Пуассона (или сингулярным аналогом ядра Пуассона)

Отметим, что формула (3.2.12) в определенном смысле обобщает известную формулу Пуассона задачи Дирихле для уравнения Лапласа (см., напр., [108, с. 269], поэтому формула (3.2.12) называется сингулярной формулой Пуассона (или сингулярным аналогом формулы Пуассона), а выражение

• 
  сингулярным ядром Пуассона (или сингулярным аналогом ядра Пуассона).
  3.2.3. Выполнение условий обобщенной задачи Хольмгрена.
  Покажем, что функция, определенная формулой (3.2.12), действительно является решением обобщенной задачи Холмгрена . С этой целью решение (3.2.12) запишем в виде
  

Где

Вычислим предел как при , так и при . интеграл . В силу теоремы 1.2 .4 (см. формулу (1.2.13)), получим

Здесь и далее для упрощения записи приняты обозначения:

где и -выражения, огределенные в 1.2 .
Применение формулы (2.3.4) к каждой гипергсометрической функции Гаусса, входящей в представление (3.2.18), приводит к равенству

где


Вычислим значение функции при . После применения формулы Гаусса (1.1.28) будем иметь

Воспользовавшись теперь теоремой 1.2.1 (см. формулу (1.2.1)), окончательно получим

Вычислим предел при . Положив

в правой части равенства (3.2.17), перейдем в к пределу при . Применяя равенство (3.2.19) и учитывая выражение (2.2.24) для , найдем, что

где

Учитывая известное равенство [88, с.637]

вследствие (3.2.20) получаем, что

Аналогичными вычислениями доказываются равенства

Таким образом, функция, определенная формулой (3.2.12), удовлетворяет условиям (3.1.3). Аналогично показывается удовлетворение условий (3.1.4) и .
Формула (3.2.12), а с ней и все доказательство, требует, чтобы . Однако сингулярная формула Пуассона верна и для .
Таким образом, доказана
Tеорема 3.2.1. Решение обобщенной задачи Хольмерена для уравнения (3.0.1) при в области с условиями (3.1.3)-(3.1.5) определяется сингулярной формулой Пуассона (3.2.12).
Выводы по третьей главе

• 
  Доказаны теоремы единственности и найдены явные формулы решений задач Хольмгрена и Дирихле, обобщенной задачи Хольмгрена для эллиптического уравнения с сингулярными коэффициентами в -ой части многомерного шара;
  
• 
  Построены функции Грина, которые выписиваются через гипергеометрическую функцию Лауричеллы ;
  
• 
  Решения рассмотренных задач построены в явных формах, удобных для дальнейших исследований;
  
• 
  Проверено, что полученные решения действительно удовлетворяют условиям поставленных задач;
  
• 
  В явных получены решения задач Хольмгрена и Дирихле, обобщенной задачи Хольмгрена для уравнения Лапласа в -ой части многомерного шара.
  
• 
  Построены функции Грина задачи Хольмгрена и Дирихле, обобщенной задачи Хольмгрена для уравнения Лапласа в -ой