Sh. Merajova


Mustaqil bajarish uchun mashqlar



Download 1.42 Mb.
Pdf ko'rish
bet5/13
Sana20.09.2019
Hajmi1.42 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

 

Mustaqil bajarish uchun mashqlar 

(1) yoki (2) formulalar yordamida quyidagi chegaraviy masalalarni 

yeching. 

a) (n=1) 

1.   



u

t

=4u

xx

+t+e

t

,   


u|

t=0

=2   

2.   


u

t

=u

xx

+3t

2

,  


 

 

u|



t=0

=sinx 

3.    


u

t

=u

xx

+e

-t

cosx,  

 

u|



t=0

=cos x 

 

22 


4.   

 u



t

=u

xx

+e

t

sinx,  

 

u|



t=0

=sin x 

5.    


u

t

=u

xx

+sint,    

 

u|



t=0

=

2

x



e

 



6.    

4u



t

=u

xx

,    


 

        u|



t=0

=

2

2



x

x

e

 



7.    

u

t

=u

xx

,    


 

        u|



t=0

=

2

x



xe

 



8.   

 4u



t

=u

xx

,   


 

        u|



t=0

=

2

sin



x

xe

 



b) (n=2) 

9.    

u

t

=∆u+e





 

 

 

u|

t=0

=cosx siny 

10. 

   

u

t

=∆u+sint sinx siny

 

;   

u|

t=0

=1 

11. 


  

u

t

=∆u+cos t

 

;   

 

u|

t=0

2

2



y

x

xye



 

12. 


  

8u



t

=∆u+1

 



 

 

 

u|

t=0

=e

-(x-y)

 

13. 



 2u

t

=∆u

 

;  

 

 

u|

t=0

=cosxy 

c) (n=3) 

14. 


u

t

=2∆u+tcos x

 



 

u|

t=0

=cosy sinz 

15. 


 u

t

=3∆u+e



;   

 

u|

t=0

= sin (x-y-z) 

16. 


 4u

t

=∆u+sin2z

 



 

u|

t=0

=

4

1



sin2z+

2

x



e



cosy 

17. 

 u



t

=∆u+cos(x-y+z)

 



u|

t=0

=e

-(x+y-z)

 

18. 



 u

t

=∆u

 

;   

 

u|

t=0

=cos(xy) sinz 

d)  Quyidagi Koshi masalalarini yeching 

 

 



u

t

=∆u,   

u|

t=0

=u

0

(x), 

n

R

x

 



bu yerda u

0

  quyidagicha aniqlanadi: 

19. 




n

k

k

x

u

1

0



cos

 

20. 



2

0

x



e

u



 

 

 



21. 

2

1



0

x

n

k

k

e

x

u







 



22. 

2

1



0

sin


x

n

k

k

e

x

u







  



23. 

2

1



0











n

k

k

x

e

u

 


 

23 


5. O

‘zgaruvchilarni ajratish (Furye) usuli 

5.1 Giperbolik turdagi tenglama  

Uchlari  x=0  va  x=l  nuqtalarda  mahkamlangan  tor  tebtanishi 

tenglamasi  masalasi  uchun Furye  yoki  o‘zgaruvchilarni  ajratish  usulini 

bayon qilamiz. Bu masala quyidagi tenglamaga keladi: 

2

2

2



2

2

x



u

a

t

u





  

 

 



   

 

 



 

 

 



(1) 

Boshlang‘ich shartlar: 

),

(

|



0

0

x



u

u

t



),

(

|



1

0

x



u

u

t

t



   

 

 



 

 

 



 

(2) 


Chegaraviy shartlar: 

,

0



|

0





x

u

0

|





l



x

u

   


 

 

 



 

 

 



 

 

(3) 



Dastlab,  (1)  tenglamaning  xususiy  yechimlarini  quyidagi 

korinishda qidiramiz: 

)

(

)



(

)

,



(

t

T

x

X

t

x

u

,   



 

 

 



 

 

 



(4) 

bu  funksiyalr  aynan  nolga  teng  emas  va  (3)  chegaraviy  shartlarni 

qanoatlantirsin. 

 

(4)  funksiyani  (1)  tenglama  qo‘yib  quyidagi  oddiy  differensial 



tenglamalarga kelamiz: 

0

)



(

)

(



'

'

2





t



T

a

t

T

,  



 

 

 



 

 

 



(5) 

0

)



(

)

(



'

'





x

X

x

X

,  



 

 

 



 

 

 



(6) 

bu yerda 



const



 

Chegaraviy shartlar quyidagicha bo‘ladi: 



0

)

(



    

,

0



)

0

(





l



X

X

 



 

 

 



 

 

(7) 



Natijada biz Shturm-Liuvill (6)-(7) masalasiga kelamiz. 

 

Bu masalaning xos sonlari: 



,...

2

,



1

    


2







k

l

k

k



 

 

 



 

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi: 



l

kx

l

x

X

k

sin



2

)

(





 

24 


k



 bo‘lganda (5) tenglama quyidagi umumiy yechimga ega: 



l

at

k

b

l

at

k

a

t

T

k

k

k



sin

cos


)

(



shuning uchun  



l

x

k

l

at

k

b

l

at

k

a

t

T

x

X

t

x

u

k

k

k

k

k



sin


sin

cos


)

(

)



(

)

,



(







 

funksiya  har  qanday 



k

a

  va 


k

b

  uchun  (1)  masalani  va  (3)  chegaraviy 

shartlarni qanoatlantiradi. 

 

(2)-(3) shartlarni qanoatlantiruvchi (1) masalaning yechimini qator 



ko‘rinishida qidiramiz: 











1

1



sin

sin


cos

)

(



)

(

)



,

(

k



k

k

k

k

k

l

x

k

l

at

k

b

l

at

k

a

t

T

x

X

t

x

u



   


 

(8) 


Agar  bu qator  tekis  yaqunlashuvchii bo‘lib,  uni  hadma-had  ikki  marta 

differensiallash mumkin bo‘lsa, u vaqtda qator yig‘indisi (1) tenglamani 

va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. 

 

k



a

  va 


k

b

  doimiy  koeffisiyentlarni  shunday  aniqlaymizki  (8)  qator 

yig‘indisi  (2)  boshlang‘ich  shartlarni  qanoatlantirsin,  quyidagi 

tengliklarga kelamiz: 





1

0



sin

)

(



k

k

l

x

k

a

x

u

  



 

 

 



 

(9) 


         

 

 





1

1



sin

)

(



k

k

l

x

k

b

l

a

k

x

u



   

                      (10) 

(9)  va  (10)  formulalar 

)

(



0

x

u

  va 


)

(

1



x

u

  funksiyalarning  (0,l)  intervalda 

sinuslar  bo‘yicha  Furye  yoyilmasini  beradi.  Bu  yoyilmalarning 

koeffisiyentlari quyidagi formulalar bilan topiladi: 



dx

l

x

k

in

s

x

u

l

a

l

k



0

0



)

(

2



 

dx

l

x

k

in

s

x

u

a

k

b

l

k



0



1

)

(



2

 

Masala: Quyidagi masalani Furye usulida yeching. 



u

tt

=u

xx

+u, (0

x=0

=0, u|

x=l

=t,  u|

t=0

=0, u

t

|

t=0

=

l

x

 

 

25 


Chegaraviy shartlar noldan farqli bo‘lgni  uchun, yechimni 

w

v

u



 

ko‘rinishda  qidaramiz,  bu  yerda 



)



(

)

(



)

(

1



2

1

t



t

l

x

t

w







t



t

t



)

(

  



,

0

)



(

2

1





U holda 

l

xt

t

x

w

)



,

(

, yechim esa 



l

xt

t

x

v

t

x

u



)

,

(



)

,

(



 (*) ko‘rinishda bo‘ladi. 

Yechimdagi 

)

,

t



x

v

 funksiya quyidagi masalani qanoatlantiradi: 



v

tt

=v

xx

+v+

l

xt

, (0

x=0

=0, v|

x=l

=0,  u|

t=0

=0, u

t

|

t=0

=0.         (11) 

Berilgan  tenglamaning 

1

2









l

n

n



  -  xos  sonlarini    va 

x

l

n

sin



  xos 

funksiyalarini    aniqlaymiz.  Shunga  asosan  yechimni  quyidagi 

ko‘rinishda qidiramiz:  

  





1

sin


)

(

)



,

(

n



n

x

l

n

t

g

t

x

v

.   



 

                      (12) 

Tenglamaning  ozod  hadi 

l

xt

t

x

f

)



,

(

  funksiyani  Furye  qatoriga 



yoyamiz:  



1



sin

)

(



)

,

(



n

n

x

l

n

t

f

t

x

f

.   



 

              (13) 

 

)

(t



f

n

  -  Furye  koeffisiyentlarini  quyidagi  formula  yordamida 

aniqlaymiz: 







d

l

n

l

t

l

d

l

n

t

f

l

t

f

l

l

n

sin


2

sin


)

,

(



2

)

(



0

0





.  Integralni  bo‘laklab 

integralymiz. Natijada   

 

n

t

t

f

n

n

2



1

)

(



1



.   


                  

 

 



      (14) 

 

(12)  va  (13)  funksiyalarni  (14)  ni  hisobga  olgan  holda  (11) 



masalaga  etib  qo‘yamiz,  natijada  noma’lum 

)

(t



g

n

  funksiya  uchun 

quyidagi Koshi masalasini olamiz: 

 


















.



0

)

(



   

,

0



)

(

'



,

2

1



)

(

1



)

(

'



'

1

2



t

g

t

g

n

t

t

g

l

n

t

g

n

n

n

n

n



    

 

 



 

      (15) 

(15)  masalani  yechishda,  dastlab,  tenglamaning  yechimini  quyidagi 

ko‘rinishda  qidiring: 

)

(

*



)

(

)



(

t

g

t

g

t

g

n

n

n



,  bu  yerda 

)

(t



g

n

  -  berilgan 

tenglamaga  mos  bir  jinsli  tenglamaning  umumiy  yechimi, 

)

(



*

t

g

n

  - 


 

26 


berilgan  tenglamaning  xususiy  yechimi  bo‘lib,  o‘ng  tomonga  qarab 

tanlanishi mumkin, bizning holimizda,  



b

at

t

g

n



)

(

*



 ko‘rinishda qidirish 

mumkin.  

(15)  masalani  yechib,  natijada  (11)  masalaning  yechimini 

aniqlaymiz: 

 

 


x

l

n

l

n

t

l

n

t

l

n

n

t

x

v

n

n





sin

1

1



sin

1

2



1

)

,



(

1

2



2

2

1





































.         

      (16) 

(16)  funksiyani  (*)  ga  etib  qo‘yib,  berilgan  masalaning  yechimini 

olamiz, ya’ni: 

 

x

l

n

l

n

t

l

n

t

l

n

n

l

xt

t

x

u

n

n





sin

1

1



sin

1

2



1

)

,



(

1

2



2

2

1





































 



Download 1.42 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
O’zbekiston respublikasi
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
o’rta maxsus
davlat pedagogika
axborot texnologiyalari
nomidagi toshkent
pedagogika instituti
texnologiyalari universiteti
navoiy nomidagi
samarqand davlat
guruh talabasi
toshkent axborot
nomidagi samarqand
ta’limi vazirligi
haqida tushuncha
toshkent davlat
Darsning maqsadi
xorazmiy nomidagi
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
Alisher navoiy
rivojlantirish vazirligi
Ўзбекистон республикаси
matematika fakulteti
pedagogika universiteti
таълим вазирлиги
sinflar uchun
Nizomiy nomidagi
tibbiyot akademiyasi
maxsus ta'lim
ta'lim vazirligi
o’rta ta’lim
махсус таълим
bilan ishlash
fanlar fakulteti
Referat mavzu
umumiy o’rta
haqida umumiy
Navoiy davlat
Buxoro davlat
fanining predmeti
fizika matematika
universiteti fizika
malakasini oshirish
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
jizzax davlat
davlat sharqshunoslik