Samarqand davlat universiteti

Aim.uz

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI

OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ALISHER NAVOIY NOMIDAGI

SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI


Qo’lyozma huquqida

UDK 539.3

XODJAYOROVA DILXAYOT ABDIAXATOVNA

Deformatsiyalanuvchi muhitdagi silindrik qobiqning buralma tebranishlarini sonli tadqiq etish
5A440202-Deformatsiyalanuvchi qattiq jism mexanikasi

mutaxasisligi bo’yicha magistr akademik darajasini olish uchun

MAGISTRLIK DISSERTATSIYASI

Ish ko’rib chiqildi va himoyaga

ruxsat berildi.

”Mexanika” kafedrasi mudiri prof. X. Xudoynazarov_________ Mexanika-matematika fakulteti dekani prof. Soleev A.S._________________ ”___”_____________________2012 y. M.O.’

Ilmiy rahbar : dots. Sh. Berdiyev___________

Samarqand 2012

	MUNDARIJA
	KIRISH............................................................................................	3
I-BOB.	DOIRAVIY ELASTIK STERJENNING BURALMA TEBRANISH TENGLAMALARI.
§1.1	Doiraviy silindrik elastik sterjenning nostasionar tebranishlari tadqiqotlari..................................................................
§1.2	Doiraviy silindrik elastik sterjenning buralma tebranishlari umumiy tenglamalari.................................................
§1.3	Doiraviy silindrik qobiqning buralma tebranishlari uchun umumiy tenglamalarida aylanish inersiyasi va ko’ndalang siljish deformarsiyalari ta’sirini hisobga olish
§1.4	Doiraviy silindrik elastik sterjenning buralma tebranishlari klassik va aniqlashtirilgan tenglamalari.....................
II-BOB	DOIRAVIY SILINDRIK ELASTIK QOBIQNING BURALMA TEBRANISHLARINI KLASSIK TENGLAMA ASOSIDA SONLI TADQIQ ETISH.
§2.1	Differentsial tenglamalarni yechishning chekli ayirmalar usuli....
§2.2	Xususiy hosilali differentsial tenglamalarni taqribiy yechish….
III-BOB	DOIRAVIY SILINDRIK ELASTIK QOBIQNING BURALMA TEBRANISHLARINI SONLI TADQID ETISH.
§3.1	Doiraviy silindrik qobiqning buralma tebranishlarida aylanish inersiyasi ta’sirini hisobga olish......................................................
§3.2	Doiraviy silindrik qobiqning buralma tebranishlarida ko’ndalang siljish deformatsiyasi ta’sirini hisobga olish...................................
	XULOSA……………..…………………………………………...
	FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI…………….

Kirish

So’nggi yillarda fan va texnikaning rivojlanishi turli xil yangi turdagi konstruksiya, har xil apparatlar va qurilmalarni yangi texnologiyalar asosida yaratishga olib kelmoqda. Hozirgi zamon texnikasining juda tez sur’atlar bilan rivojlanishi deformatsiyalanuvchi jismlar mexanikasi oldiga yangidan-yangi, amaliy masalalarni yechishni qo’ymoqda. Shu paytgacha materiallar yuqori bosimli va yuqori haroratli o’ta murakkab sharoitlarda ishlatilmoqda, yangi-yangi materiallar har xil yuqori haroratlarga chidamli qotishmalar, o’ta mustahkam va yaroqli modulli tolalar amaliyotda qo’llanilmoqda.

Bunday o’zgarishlar jismning elastik modeli bilan bir qatorda, deformatsiyalanuvchi qattiq jismning boshqa, mukammalroq modellarini ham yaratishga, muhandislik qurilmalari hisobida ishlab chiqilganiga ancha bo’lgan. Lekin shu vaqtgacha foydalanilmagan usullardan, xususan plastiklik, qayishqoq-elastiklik, polzuchest nazariyalari usullaridan foydalanishga olib kelmoqda.

Keyingi bir necha o’n yillar davomida deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar mexanikasining “yemirilish mexanikasi”, “kompozit materiallar mexanikasi”, “Nanomexanika” va shu kabi qator yangi yo’nalishlar paydo bo’lishiga ham ana shu yangi talablar sabab bo’ladi. Ushbu yo’nalishlar rivoji eng avvalo elastik jism modeliga tayanadi.

Dissertatsiya ishining tadqiqot predmeti muhandislik qurilmalari elementlari sterjenlar, plastina va qobiqlarda, ularga berilgan tashqi ta’sir natijasida vujudga keladigan tebranishlarni o’rganish. Tebranishlar nostatsionar xarakterga ega bo’lgan hollarda bunday elementlarda paydo bo’ladigan nostatsionar to’lqinlar tarqalish jarayonlarini, ularning o’zlariga xos xususiyatlarini hisobga olgan holda o’zgarish va tadqiq qilishdan iborat. Nostatsionar tebranishlarni o’rganishda ularning xususiy chastotalarini topish, xususiy amplitudalarini aniqlash va tebranish shakllarini topish masalalarini qo’yish, ularni hal qilish va ilmiy xulosalar chiqarish.

Erkin tebranishlarning topilgan fizik-mexanik xarakteristikalaridan nostatsionar tebranishlar biror vaqt davomida ta’sir etuvchi tashqi dinamik ta’sir natijasida uyg’otilgan hollar uchun tadbiq etish, ulardan foydalana bilish ham dissertatsiya ishining predmetini tashkil etadi.

Dissertatsiya ishining tadqiqot ob’ekti yuqorida aytilganlardan kelib chiqqan holda, ko’ndalang kesimi doiraviy bo’lgan, chekli uzunlikdagi elastik materialdan yasalgan qatlamlardir. Bunda qobiqlarning buralma tebranishlarida vujudga keladigan kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatini qatlam materialining elastiklik xususiyatini hisobga olgan holda aniqlash mumkin. Bundan tashqari qatlamni urab turuvchi ob’ekt sifatida tashqi deformatsiyalanuvchi muhit ta’sirini ham qarash mumkin.

Mavzuning dolzarbligi doiraviy elastik qobiqlar juda ko’p va xilma-xil muhandislik qurilmalarining tarkibiy qismlarini tashkil etadilar. Bundan tashqari bunday qobiq va qatlamlar ko’plab mashina va mexanizmlarning elementlari hamdir. Shunday holda bu qobiq va qatlamlar turli xil dinamik tashqi ta’sirlar ostida ishlaydilar va ularning kesimlarida turli xil yuklanishlar vujudga keladi. Sterjenlardagi bunday yuklanishlarni aniqlash masalasi deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar mexanikasining dolzarb masalalaridan biri hisoblanadi. Bunday yuklar ta’siri ostidagi qatlamlar ko’ndalang kesimlaridagi kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatlarini aniqlash muhim hisoblanadi. Ammo, qatlam nuqtalaridagi tashqi dinamik ta’sirlar natijasida vujudga keladigan kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatlarini aniqlash analitik usullar bilan topish hamma vaqt ham mumkin bo’lavermaydi. Bunday holda masalani yechish uchun sonli usullardan foydalanishga to’g’ri keladi. Shu sababli dissertatsiya ishida ko’rilgan masala dolzarb masalalar qatoriga kiradi deb hisoblash mumkin.

Hozirgi kunda deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar mexanikasi masalalarini yechishda qo’llanilib kelinayotgan sonli usullardan chekli elementlar, chegaraviy elementlar, chekli ayirmalar usullarini keltirishimiz mumkin. Biz quyida dissertatsiya doirasida chekli ayirmalar usulidan foydalanamiz. Bundan tashqari masalalarni yechish uchun ularning matematik modelini yaratishda asosiy rol o’ynovchi tebranish tenglamalarini [1, 2] ishning natijalaridan foydalanib keltirib chiqaramiz. Mana shularni hisobga olgan holda dissertatsiya ishining maqsad va vazifalari belgilanadi.

Ishning maqsad va vazifalari magistrlik dissertatsiya ishining asosiy maqsadi ko’ndalang kesimi doiraviy bo’lgan elastik silindrik qobiqlarning nostatsionar buralma tebranishlarini tadqiq qilish, aylanish inersiyasi va ko’ndalang siljish deformatsiyasi ta’sirlarini hisobga olish qilib belgilangan. Bunda tadqiqotni klassik va aniqlashtirilgan [9] tebranish tenglamalari asosida olib borish hamda masalalarni sonli usullar yordamida yechish talab etiladi. Ana shulardan kelib chiqqan holda dissertatsiya ishining asosiy vazifalari qilib quyidagilar belgilangan:

1. 
   Elastiklik nazariyasi asosiy munosabatlarini o’rganish;
   
2. 
   Ko’ndalang kesimi doiraviy elastik qobiqning buralma tebranishlari umumiy tenglamalarini keltirib chiqarish hamda undan xususiy hollarda klassik va aniqlashtirilgan tenglamalarni keltirish;
   
3. 
   Differensial tenglamalarni yechishning sonli usullarini, xususan, chekli ayirmalar va progonka usullarini o’rganish hamda amaliy masalalar yechishga tadbiq etish;
   
4. 
   Amaliy masalalar yechish;
   
5. 
   Olingan natijalar asosida ilmiy xulosalar chiqarish.
   

Muammoning ishlab chiqilish darajasi. Doiraviy elastik sterjen va qobiqlarda buralma to’lqinlar tarqalishini tadqiq etish masalasi bilan juda ko’p olimlar ilmiy izlanishlar olib borishgan. Ammo, fan va texnikaning hozirgi zamon taraqqiyot darajasi moddalarning yangidan-yangi xususiyatlarini, jumladan ularning reologik, anizotropik temperaturaviy va h.k. xususiyatlarini hisobga olgan holda tadqiqotlar o’tkazishni talab etmoqda. Bundan tashqari sterjenlardagi buralma to’lqinlar tarqalishi masalasi aniqlashtirilgan tenglamalar asosida juda kam ilmiy ishlarda tadqiq etilgan.

Tadqiqotning ilmiy yangiligi. Doiraviy elastik silindrik qobiqlarning buralma tebranishlari haqidagi masalalar analitik yechimlar asosida tadqiq etilgan. Aslida dinamik jarayondagi xotira effektini ko’proq va aniqroq ravishda singulyar yadrolar hisobga oladilar. Singulyar yadro bilan esa masalani analitik yechish ancha qiyinlashadi yoki ko’pgina hollarda uni yechib bo’lmaydi.

Shu sababli sterjen va qobiqlarning buralma tebranishlari haqidagi masalalarni sonli tadqiq etish masalasi hozirgi vaqtlarda katta ilmiy va amaliy ahamiyatga ega bo’lmoqda. Dissertatsiya ishida qaralgan va yechilishi uchun sonli usullar tadbiq etilgan masalalarning ilmiy ahamiyati birinchidan, elastiklik xususiyatini hisobga olinganligi va ikkinchidan, masalani yechish uchun chekli ayirmalar usulining qo’llanilishi ularning shu turdagi masalalarni yechishda asos bo’lishini ko’rsatadi. Dissertatsiya ishining ilmiy ahamiyati ham shundan iborat.

Tadqiqotning amaliy ahamiyati. Hozirgi zamon texnikasi, qurilish, yer osti va yer usti inshoatlari, aviatsiya, kemasozlik va boshqa juda ko’plab sohalarda ko’ndalang kesimi doiraviy bo’lgan qobiqlar muhandislik qurilmalarining asosiy elementlaridan biri sifatida ishlatiladi. Qo’llanilish jarayonida bunday qatlamlar intensiv va impulsiv dinamik yuklar ta’siri ostida bo’ladilar hamda juda ko’p hollarda ularning dinamik chidamlilik darajasini tajribadan emas, balki hisoblashlar yordamida aniqlashga to’g’ri keladi.

Yuqorida aytilganlar doiraviy elastik qatlamlarning nostatsionar tebranishlarini tadqiq qilish, ularning tebranish chastotasi, amplitudasi, shakli, ko’chishi va kuchlanishi kabi boshqa xarakteristikalarini aniqlash muhim amaliy ahamiyatga ega ekanligini ko’rsatadi. Dissertatsiya ishida qaralgan qatlamning buralma tebranishlari haqida masalalar tadqiqotlari ham shunday tadqiqotlar jumlasiga kiradi va muhim amaliy ahamiyatga ega bo’lgan masalalardan biridir.

Dissertatsiya ishining tuzilishi. Ushbu magistrlik dissertatsiya ishi kirish, uchta bob, xulosa va foydalanilgan asosiy adabiyotlar ro’yxatidan iborat bo’lib jami ….betni tashkil qiladi.

Dissertatsiya asosiy bo’limlarining qisqacha mazmuni. Dissertatsiya ishining kirish qismida ishning predmeti va dolzarbligi tavsiflashga atroflicha to’xtalib o’tilgan. Ishning predmeti ishonarli dalillar asosida ko’rsatilgan va shu asosda uning ob’yekti aniqlashtirilgan.

Doiraviy elastik qobiqning buralma tebranishlarini klassik va aniqlashtirilgan tenglamalar asosida tadqiq qilish zamonaviy mexanikaning o’ta dolzarb mavzularidan ekanligi isbotlangan. Dissertatsiya ishining maqsadi va bu maqsadni amalga oshirish uchun bajarilishi kerak bo’lgan vazifalar belgilab olingan. Shunday vazifalardan beshtasi alohida ajratilgan va sanab o’tilgan. Ularning har biriga xarakteristika berilgan.

Dissertatsiya ishida hal qilinishi kerak bo’lgan muammo tahlil qilingan. Olingan natijalarning ilmiy va amaliy ahamiyatlari aniq misollarda sodda qilib tushuntirib berilgan.

Dissertatsiya ishining birinchi bobi “Doiraviy elastik sterjenning tebranish tenglamalari” deb ataladi va o’z ichiga uchta paragrafni olgan. Birinchi paragrafda ko’ndalang kesimi doiraviy bo’lgan silindrik qobiq va sterjenlarning nostatsionar tebranishlariga doir o’tkazilgan ilmiy tadqiqot ishlariga qisqacha sharh berilgan.

Ikkinchi paragrafda ko’ndalang kesimi doiraviy silindrik qobiqning buralma tebranish umumiy tenglamalaridan, qobiqning ichki radiusi nolga teng bo’lgan xususiy holi uchun doiraviy elastik sterjenning umumiy tenglamalari keltirib chiqarilgan. Olingan tenglamalarning boshqa mualliflar tomonidan olingan tenglamalar bilan taqqoslash natijalari bayon etilgan.

Uchinchi paragrafda olingan umumiy tebranish tenglamalaridan xususiy hollarda klassik va aniqlashtirilgan tenglamalar keltirib chiqarilgan. Aniqlashtirilgan tenglamalarning har bir hadi qanday mexanik ma’noga ega ekanligi bayon etilgan.

Dissertatsiya ishining ikkinchi bobi differentsial tenglamalarni yechishning chekli ayirmalar usuli, xususiy hosilali differentsial tenglamalarni taqribiy yechish, doiraviy elastik qobiqlarning buralma tebranishlarini klassik (ikkinchi tartibli) tenglamasi asosida sonli tatbiq etishga bag’ishlangan. Ushbu bobning birinchi paragrafi differentsial tenglamalarni yechishning chekli ayirmalar usuli o’ng, chap va markaziy ayirmalarga bag’ishlangan. Shu bobning Ikkinchi paragrafida xususiy hosilali differentsial tenglamalarni taqribiy yechish uchun asosiy munosabat va tenglamalari yechish tartibi keltirilgan.Umuman olganda bu bob aniq amaliy masalalarni yechish uchun qo’llaniladigan sonli usullarni, xususan chekli ayirmalar usulini bayon qilishga bag’ishlangan.

Bunda asosan to’rtinchi tartibgacha bo’lgan hosilalarni chekli ayirmalar bilan almashtirish masalalari, chap, o’ng va markaziy chekli ayirmali hosilalar to’g’risida ma’lumotlar va boshqa, shunga o’xshash zaruriy ma’lumotlar keltirilgan.

Dissertatsiya ishining uchinchi bobi “Doiraviy silindrik elastik qobiqning buralma tebranishlarini sonli tadqiq etish” deb nomlangan. Bob ikkita paragrafdan iborat bo’lib birinchi paragrafda qobiq ko’ndalang kesimi ichki va tashqi radiuslarini hisobga olgan holda aylanish inersiyasini hisobga olingan hollar uchun yechilgan. Olingan sonli natijalar asosida, ko’chishlarning vaqtga va koordinataga bog’liq grafiklari keltirilgan. Ikkinchi paragrafda doiraviy elastik silindrik qatlamning buralma tebranishlarida ko’ndalang siljish deformatsiyasi ta’sirini hisobga olib sonli natijalar olingan va ushbu natijalar asosida ko’chishlarning vaqtga va koordinataga bog’liq grafiklari tasvirlangan. Natijalar asosida xulosalar chiqarilgan.

§1.1 Doiraviy silindrik qayishqoq-elastik sterjenning nostatsionar

tebranishlari tadqiqotlari

Bernulli statik egilishning differensial munosabatlarini olguniga qadar deformatsiyalanuvchi sterjenlar egilishi haqidagi tadqiqotlar nashr etilmagan. Bu tadqiqotlarni undan keyin L.Eyler (1744) davom ettirdi. Ushbu tenglama ko’ndalang inersiya kuchini hisobga oluvchi dinamik had bilan to’ldirildi. Shunday qilib balkaning ko’ndalang tebranish differensial tenglamasi hosil qilindi va u klassik yoki Eyler-Bernulli tenglamasi deb atala boshladi.

Sterjen uzunligi bo’yicha bir jinsli bo’lmagan, balkaning tebranish differensial tenglamasining ko’rinishi quyidagicha

(1.1)

(1.2)

bunda x-bo’ylama koordinata, t- vaqt, -qaralayotgan nuqtaning sterjenning markaziy o’qidan chetlashishi, -eguvchi moment, -qirquvchi kuch, - taqsimlangan kuch, -ko’ndalang kesim yuzi, -Yung moduli, -zichlik.

Sterjenning klassik egilish nazariyasi tekis kesimlar gipotezasiga asoslangan: dastlabki ko’ndalang kesimdagi tekislik egilishdan keyin ham balkaning ko’ndalang tolalariga normalligicha qoladi. Ko’ndalang va bo’ylama tolalar bo’yicha kuchlanishlarni hisobga olmasa ham bo’ladigan darajada kichik. Tekis kesimlar gipotezasi tajribalardan katta aniqlikka ega.

Aksaryat materiallar uchun Puasson koeffisiyenti nolga teng emas va uning ta’siri bo’ylama cho’zilishda yon tomondan siqilishga, bo’ylama siqilishda yon tomondan kengayishga olib keladi. Bundan ko’rinadiki tekis kesimlar gipotezasi egilish vaqtida ko’ndalang kesimdagi nuqtalarning ko’chishini cheklamaydi. Keltirilgan (1.1) tenglamadan sterjenning tebranish tadqiqotlarida J.Fure (1818) J.Bussinesk (1883) va boshqalar foydalanganlar. Sterjenning ko’ndalang tebranish klassik nazariyasi, sterjen elementlarida aylanish inersiyasi ta’siri hisobga olinganda va ko’ndalang siljish deformatsiyalarining ifodasi S.P.Timoshenko tomonidan taklif etilgan.

Keltirilgan yechimlar sterjen statik egilganda ko’ndalang siljish deformatsiyasi muhim ekanligini ko’rsatadi. Statik holatda ko’ndalang siljish deformatsiyasini rezinali sterjenlarda yaqqol ko’rishimiz mumkin [7].

Siljish deformasiyasi kuchlanish konsentratorlar yaqinidagi biror atrofida bilinadigan yassi ko’ndalang kesimning buzilishiga olib keladi (jamlangan kuchlar, chetlar, jamlangan massalar, qattiqlik yoki zichlik sakrashlari va h.k.) konsentratorlarini bevosita uch o’lchovli elastiklik nazariyasi doirasida muhokama etish zarur.

Dinamik masalalarda bundan tashqari tebranish modellari bilan bog’liq ko’ndalang kesimlarining tuzilishi mumkinligini ta’kidlaymiz; vaqt bo’yicha o’zgaruvchilar, maydonlar katta gradiyentlar zonalarida elastiklik nazariyasi klassik modeli to’g’ri kelmasligi mumkin.

Yaxlit sterjen tebranishlari haqidagi masalani qarab S.P.Timoshenko past chastotalarda ko’ndalang kesimi deformatsiyasining kichik ta’siri chastotaning oshishi bilan o’sadi degan xulosaga kelgan.

Bu uzunlik birligiga buralish to’lqinlari sonining oshishi bilan izohlanadi. S.P.Timoshenko [21] ishlariga tayanib ko’ndalang siljish deformasiyasi va aylanish inersiyasini hisobga olib bir jinsli prizmatik sterjen buralma tebranishlari to’lqin tenglamasini yozamiz. Urinmaning egrilik chizig’iga og’ish burchagi , bu holda buralma deformasiyalari, egrilik va neytral o’q oldidagi siljishlardan iborat, ya’ni

; (1.3)

Eguvchi moment va - ko’ndalang kuchlar ifodalari quyidagicha:

; (1.4)

Sterjen cheksiz kichik elementining aylanish inersiyasi hisobga olinganda chiziq tekisligiga perpendikulyar k nuqta orqali o’tuvchi o’qqa nisbatan harakat tenglamasi quyidagicha:

; (1.5)

Olingan elementning -o’qqa nisbatan harakat tenglamasi ushbu ko’rinishga ega

; (1.6)

(1.4) munosabatni hisobga olsak (1.5) va (1.6) tenglamalardan ikkita harakat differensial tenglamalariga ega bo’lamiz

; (1.7)

; (1.8)

Bu differensial tenglamalardan ni yo’qotib Timoshenko tomonidan aniqlangan balka tenglamasiga ega bo’lamiz

; (1.9)

Agar (1.9) tenglama tarkibidagi bo’lgan hadni hisobga olmasak, undan Releyning aylanish inersiyasi hisobga olingan tenglamasiga ega bo’lamiz.

Chegaraviy masalalarni yechishda (1.7) va (1.8) aniqlashtirilgan tenglamalar (1.2) va (1.3) munosabatlarga mos holda cheraviy shartlar bilan to’ldiriladi. Bunda chegaraviy shartlar korrektligi haqidagi masala muhim hisoblanadi. Ba’zi ishlarda [9, 10, 11] Timoshenkoning tenglamalari klassik nazariya chegaraviy shartlari bilan yechilgan, bu esa nokorrekt.

- y o’qi bo’yicha ko’ndalang siljish va x o’qi yo’nalishida bo’ylama siljishning aproksimatsiyalariga asoslangan.

(1.10)

; (1.11)

ko’rinishidagi Timoshenko modelining keng tarqalgan tavsifini keltiramiz, (1.11) dagi ikkinchi qo’shiluvchi ko’ndalang kesimlar buzilishini, ya’ni ularning tekislikdan siljishini hisobga oladi. (1.10) va (1.11)larni hisobga olib kuchlanishlar uchun ifodalar

; (1.12)

; (1.13)

ko’rinishni oladi.

Klassik nazariyadagi ko’ndalang , normal kuchlanishlar va (1.12) o’q deformasiyasi bilan bog’lanish ko’ndalang va bo’ylama kuchlanishlarni hisobga olmasdan qabul qilinadi.

Integral kattaliklarga o’tib, eguvchi moment va ko’ndalang kuch uchun quyidagi ifodalarni olamiz

; (1.14)

; (1.15)

(1.14) va (1.15) formulalardan ko’rinadiki bu yerda k- korrektlovchi koeffisiyent, -ko’ndalang kesimda siljishning o’rtacha burchagi kesim tekisligi buzilishi taxminiy xarakterlovchi -funksiya ko’rinishi shunday tanlanadiki, kesimda urinma kuchlanishlar taqsimoti elementar nazariyadagi kabi

; (1.16)

D.I.Jukovskiy formulalariga ko’ra bo’lishi lozim. Shuning uchun (1.12), (1.13) va (1.16) dan

; (1.17)

kelib chiqadi.

(1.17) formulalar k korrektlovchi koeffisiyent kattaligini hisoblashga imkon beradi (masalan, to’g’ri to’rtburchakli kesim uchun k=615)

; (1.18)

bog’lanishni kiritib

; (1.19)

ifodalarni olamiz, ular (1.7) va (1.8) tenglamalarga olib keladi. (1.3), (1.18) va (1.19) tenglamalarni taqqoslashdan kelib chiqadi.

(1.10)-(1.19) Timoshenko modelining tavsifidagi masalaning aniq qo’yilishi matematik approksimasiyasi ma’nosida qat’iy emas. Haqiqatan (1.10) munosabat neytral sirtda aniq bajariladi, (1.19) formula esa faqat agar egrilik va sterjen siljishi orasidagi bog’lanish hsobga olingan holda o’rinli.

Timoshenko modelini boshqa talqinlari ham ma’lum. Ulardan biri J.Precott [12] (1945) ga tegishli bo’lib, alohida e’tiborga loyiq. Bitta emas bir nechta talqinlar mavjudligi oxir oqibat bir nechta farqli koeffisiyentlarga ega, o’sha bitta (1.9) tenglamaga olib keladi. k korrektlovchi koeffisiyentning mavjudligi Timoshenko modeliga mos keluvchi gipotezalarni bayon qilishda keyingi natijalarga olib keladi.

(1.9) Timoshenko tenglamasi to’lqin xarakteriga ega Ya.S.Uflend [13] (1948) bu tenglamani yechishda Laplas almashtirishi usulini qo’lladi va shu bilan bog’liq keyingi tadqiqotlarda qo’llanilgan Riman-Mellin qator integrallarni hisobladi.

Timoshenkoning bir jinsli bo’magan balka tenglamalarini V.Q.Qabulov [14] (1960), A.Wergand [15] (1962) lar qaraganlar. Uzunligi bo’yicha o’zgaruvchi holida va kattaliklar, (1.4) munosabatlar o’zgarishsiz qoladi, (1.7) va (1.8) tenglamalar quyidagi ko’rinishni oladi:

(1.20)

Agar sterjen bir jinsli elastik muhitda k qattiqlik koeffisiyenti bilan xarakterlanuvchi ko’ndalang tebranishlar, muhit reaksiyasi -solishtirma bog’lanish sifatida namoyon bo’ladi va (1.9) Timoshenko balka tenglamasiga tegishli hadlar bilan oson to’ldiriladi. Boshlang’ich -ko’chishga va -bo’ylama yuklanishga ega bo’lgan Timoshenko tipidagi balka tenglamasi E.J.Brunelli [16] ishida keltirilgan.

()

S.H.Crandall va A.Yildiz [17], Timoshenko modeliga asoslanib Foygt bo’yicha tebranishlar ko’ndalang, bo’ylama va yopishqoq elastik so’nishlarga effektlarni hisobga oluvchi differensial tenglamalar sistemasini oldilar.

(1.21)

Bu yerda va so’ndirish koeffisiyentlari,

H. Favre [18] ishida

; (1.22)

; (1.23)

munosabatlar bilan ifodalanuvchi qayishqoq-elastik materialdan yasalgan sterjen uchun aylanish inersiyasini va siljish deformasiyasini hisobga olib differensial tenglama keltirib chiqarilgan.

(1.22) bog’lanish Kelvin jismini da va Maksvell jismini da tavsiflaydi. Yana va koeffisiyantlarga nisbatan kichik deb faraz qilinadi, u holda bunday material kvazielastik deb ataladi. Aniqlashtirilgan tenglama

(1.24)

ko’rinishga ega.

Bu yerda -siljishga o’zgarishni ham o’z ishiga oluvchi keltirilgan yuza. Harakatlanayotgan yoki turg’un uchta to’lqin sinflari qaraladi: uzun, o’rta va qisqa. To’lqinlar uzun deyiladi, agar aylanish inersiyasi va siljish hisobga olinmasa. O’rtacha to’lqin holida bu omillar hisobga olinadi, lekin ularning ta’siri kichik. Qisqa to’lqinlarda aylanish inersiyasi va siljish ta’siri ko’ndalang inersiyasi bilan bir xil tartibda bo’lishi bilan xarakterlanadi. H balandlikdagi to’g’ri to’rtburchakli sterjen uchun quyidagi baholar olingan: uzun to’lqinlar , o’rta to’lqinlar , qisqa to’lqinlar . Kelvin muhitidagi to’lqinlar tarqalishi batafsil tekshiriladi.

Oddiy dempfirlashni hisobga olib ko’ndalang tezlikka va burchak tezlikka proparsiyanal bo’lgan J. Gonda [19] tomonidan olingan

(1.25)

bu tenglamaning yechimi Laplas almashtirishlariga keltiriladi.

Balkani aylanish inertsiyasi va siljishini hisobga olingan elastik-plastik dempferlash holidagi buralma tebranishlar tenglamasi M. P. Galin [20] va V.Q.Qabulova [21] ishlarida berilgan.