Ratsional ifodalarni aynan almashtirish Ratsional kasr ifodalarni sodda kasrlarga yoyish

Aim.uz

Ratsional ifodalarni aynan almashtirish. Ratsional kasr ifodalarni sodda kasrlarga yoyish

Reja:
1. Ratsional ifodalarni aynan almashtirish

2. Ratsional kasr ifodalarni sodda kasrlarga yoyish

Ratsional kasr ifodaning eng sodda ko’rinishi ikkita ko’phadning nisbatan (bo’linmasidan) iborat bo’ladi.

1 –t a ’r i f. Ikkita P_n(x) va Q_m(x) ko’phadning _{ }nisbati algebraik yoki ratsional kasr deyiladi. P_n(x) ko’phad ratsional kasrning surati, Q_m(x) ko’phad esa maxraji deyiladi.

shu bilan birga, maxrajda turgan ko’phad nol-ko’phad bo’lmasligi kerak.

Agar P_n(x) va Q_m(x) ko’phadlar

P_n(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n-1x + a_n,

Q_m(x) = b₀x^m + b₁x^m-1 +…+ b_m-1x + b_m

Kanonik ko’rinishda berilgan bo’lsa, u holda ratsional kasr ifoda ham

_{ } (1)

kanonik ko’rinoshni oladi. Agar n≥m bo’lsa, u holda ratsional kasr noto’g’ri, n

Masalan, _{  } kasrlar to’g’ri, _{ }noto’g’ri kasrlardir.

(1) ifodada n≥m bo’lganda P_n(x) ko’phadni Q_m(x) ko’phadga bo’lish bilan butun qismi ajratiladi. Aytaylik, P_n(x) ko’phadni Q_m(x) ko’phadga bo’lganda S_n-m(x) bo’linma ko’phadga va R_k(x) (kn(x)= Q_m(x) S_n-m(x) + R_k(x) tenglikka ega bo’lamiz. Bu tenglikning ikkala qismini Q_m(x) ga bo’lib, quyidagiga ega bo’lamiz:

_{ }

bu yerda _{ }to’g’ri kasr bo’lib, _{ }ko’phad esa _{ }kasrning butun qismideyiladi.

1-m i s o l: _{ }kasrning butun qismini ajrating.
Y e c h i s h. Kasrning suratidagi ko’phadni maxrajida turgan ko’phadga bo’lamiz:

-x⁴ + 2x³ +1 x² + 2x + 3

x⁴ + 2x³+ 3x² x² –3

-3x² + 1

-3x² -6x – 9

6x +10
Demak, x⁴ + 2x³ +1 = (x²+ 2x + 3) (x²-3) + 6x + 10,

_{ }= x² – 3 + _{ }

bunda x² –3 ko’phad _{ } kasrning butun qismi bo’ladi.

Ratsional kasrlar orasidagi munosabatlar ham ularning aniqlanish sohasi bilan uzviy bog’liqdir.

_{ }ratsional kasrning maxrajidagi Q_m(x) ko’phadning qiymatlarini nolga aylantirmaydigan x ning qiymatlari to’plami bu ratsional kasrning aniqlanish sohasi deyiladi.

Masalan, _{ }kasr barcha butun sonlar to’plamida aniqlangan bo’lib, ratsional sonlar to’plamida esa faqat x = _{ }nuqtada aniqlanmagan.

2 –t a ’ r i f. Agar x o’zgaruvchining barcha qiymatlarida PQ₁ = P₁Q ayniyat o’rinli bo’lsa, u holda ikkita _{ }va _{ }kasr aynan teng, chunki

(x² +1) (x-1) = x³ –x² +x –1

Agar algebraik kasrning surat va maxraji nol-ko’phaddan farqli ko’phadga ko’paytirilgan (bo’lingan) bo’lsa, u holda hosil bo’lgan kasr berilgan kasrga aynan teng bo’ladi.

Haqiqatan, _{ }kasr va R≠0 ko’phad berilgan bo’lsin.

_{ }= _{ } bo’lishini ko’rsataylik.

Shartga ko’ra ikkita kasr aynan teng bo’lishi uchun P (QR) = Q(PR) bo’lishi kerak. Bunday bo’lishi P(QR)=PQR=QPR= Q(PR) dan kelib chiqadi.

Demak, _{ }=_{ }

Endi _{ }kasr berilgan bo’lib, uning surat va maxraji R≠0 umumiy ko’paytuvchiga ega bo’lsin. Bunday holda _{ }=_{ }kasrning surat va mahrajini ularning umumiy ko’paytuvchisiga bo’lishi kasrni qisqartirish deyiladi. berilgan kasrni qisqartirish uchun uning surat va maxrajini ko’paytuvchilarga ajratib, so’ngra surat va maxrajini ularning umumiy ko’paytuvchilarining ko’paytmasiga bo’lish kerak.

2 – m i s o l. Quyidagi kasr ifodalarni qisqartiring:

1) _{ }

Y e c h i s h.har bir kasrning surat va maxrajini ko’paytuvchilarga ajratamiz:

1) _{ }

2) _{ }

3) _{ }

Algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltirish uchun berilgan kasrlar maxrajlarining eng kichik karralisini qopib, uni har bir kasrning maxraji qilib olib, bu kasrning suratlarini esa uning kichik karralisini maxrajlariga bo’lganda cjiqqan bo’linmaga ko’paytirish kerak.

3 – m i s o l. _{ } kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.

Y e c h i s h. Avvalo berilgan kasrlarning maxrajlarini ko’paytuvchilarga ajratib, bu kasrlar maxrajlarining eng kichik karralisini topamiz:

x² –6x +5 = 9x –1) (x-5)

x³ – 6x² +11x –6 = (x –1) (x –2) (x –3)

x² – 3x + 2 = (x –1) (x –2)

EKUK (x² – 6x +5; x³ –6x² + 11x –6; x² –3x + 2 = (x –1)(x –2) (x–3)(x–5). Har bir kasr suratlarining to’ldiruvchisi ko’paytuv-chilarini topamiz:

[(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)]:[(x-1)(x-5)]=(x-20(x-3),

[(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)]:[(x-1)(x-2)(x-3)]=x-5,

[(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)]:[(x-1)(x-2)]= (x-3)(x-5).

Algebraik kasrlar ustida bajariladigan amallar ham odiiy kasrlar ustida bajarilgan amallardek bajariladi.

Ratsioanl kasrlar top’lami qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish (nol-ko’phadga bo’lishdan tashqari) amallariga nisbatan yopiq hisoblanadi, ya’ni algebraik ratsional kasrlarning yi’g’indis, ayirmasi, ko’paytmasi va bo’lnmasi yana algebraik ratsional kasr bo’ladi.

Algebraik ratsional kasrlar ustida amallar quyidagi qonunlarga bo’ysunadi:

1. 
   qo’shishning o’rin almashtirish qonuni:
   

_{ };

2. 
   qo’shishning guruhlash qonuni:
   

_{ };

3. 
   ko’paytirishning o’rin almashtirish qonuni;
   

_{ }

4. 
   ko’paytirishning guruhlash qonuni:
   

_{ }

5. 
   ko’paytirishning qo’shiga nisbatan taqsimot qonuni:
   

_{ }

4-m i s o l. _{ }

ifodani soddalashtiring.

Y e c h i s h. Berilgan ifodani amal bosqichlari va ularni bajarish qoidalariha roiya qilib soddalashtiramiz:

1. 
   _{ }
   
2. 
   _{ }
   
3. 
   _{ }
   
4. 
   _{ }
   

5-m i s o l. _{ }ifodani soddalashtiring.

Y e c h i s h. a > 0 bo’lganda a^-r = _{ }(0 < r є Q) munosabatdan foydalanib, berilgan ifodani soddalashtiramiz:

1) 1 + _{ }- _{ }+

_{ }

2) _{ }

Tayanch iboralar:

Ratsional, algebraik ifoda, kasr, sodda kasrlarga yoyish

Nazorat savollari:

Kasrlarni qisqartiring:

1. _{ }

2. _{ }

3. _{ }

4. _{ }

Aim.uz