Понятие вектора. Основные свойства векторов. Вектор

1. 
   Понятие вектора. Основные свойства векторов.
   

Вектор — в самом элементарном случае это математический объект, который характеризуетсявеличиной и направлением.В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какаяиз его граничных точек является началом, а какая — концом. У вектора есть длина и определенное направление. Графически вектора изображаются как направленные отрезки прямой конкретной длины. Длина вектора – это и есть длина этого отрезка.Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|. Определение Упорядоченную совокупность ( x1, x2, ... , x n ) n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа xi ( i = ) - компонентами, иликоординатами, вектора. Пример. Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.Обозначения. Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, a или . Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

2. 
   Операции над векторам.
   
3. 
   Сколярное произвеение векторов. Ортогональност векторов.
   

Произведением вектора x = (x1, x2 , ... ,xn) на действительное число λ называется вектор λ x = (λ x1, λ x2, ... , λ xn). Суммой векторов x = (x1, x2, ... ,xn) и y = (y1, y2 , ... ,yn) называется вектор x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ... , x n+ + yn). Скалярное произведение векторов. Ортогональность векторов. Наряду с операциями сложения векторов и умножения вектора на число, важное место занимает операция скалярного умножения двух векторов. В этой статье мы дадим определение скалярного произведения векторов на плоскости и в трехмерном пространстве, перечислим его свойства и подробно разберем решения характерных примеров, в которых требуется вычислить скалярное произведение. Для любых векторов  и  справедливы следующие свойства скалярного произведения: свойство коммутативности скалярного произведения ;свойство дистрибутивности  или 

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1). Условие ортогональности векторов.Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю.

4. 
   Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
   

инейно зависимые и линейно независимые системы векторов Пусть X — линейное пространство Определение. Система векторов x₁, x₂, … , x_n Î X называется линейно зависимой, если существуют числа α₁, α₂, … , α_n Î R , не все равные нулю (т.е. α₁² + α₂² + … + α_n² ≠ 0 ), такие, что

α₁x₁ + α₂x₂ + … + α_nx_n = θ.

Если это равенство выполняется только при α₁ = α₂ = … = α_n = 0 , то система векторов называется линейно независимой.

Вместо "линейно зависимая (или независимая) система векторов" можно говорить просто "линейно зависимые (или независимые) векторы".

Теорема Чтобы векторы x₁, x₂, … , x_n Î X были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

Следствие. Два вектора x₁ и x₂ линейно зависимы тогда и только тогда, когда x₁ = αx₂ или x₂ = βx₁ при некоторых α, β Î R , т.е. когда векторы x₁ и x₂ коллинеарны.

Свойства

• 
   линейно зависимо
  
• 
   линейно независимо   линейно независимо для всех 
  
• 
   линейно зависимо   линейно зависимо для всех 
  

5.