O‘zbekiston respublikasi


O‘q otish (otishmalar) usuliga oid ba’zi misollar



Download 0.64 Mb.
bet8/14
Sana25.05.2020
Hajmi0.64 Mb.
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   14

O‘q otish (otishmalar) usuliga oid ba’zi misollar


va ularni Mathcad matematik paketi yordamida yechish

  1. misol. Ushbu

tenglamani

y  y = ex
y(0) = 1; y(1) = 2.


chegaraviy shartlarda o‘q otish usuli bilan Mathcad matematik paketidan foydalanib yeching.

Yechish. Bu chegaraviy masalaning aniq yechimi quyidagicha;

yt(t) : 1 et  cos(t) sin(t) 2  1 e1  cos(1)


2 sin(1) 2

Chegaraviy shartlarni tekshiramiz:

yt(0)  1; yt(1)  2 .

Ammo shuni e’tiborga olamizki, bu tenglama ushbu

yt(0) = 1 ; yt = 1
2

 


chegaraviy shartlarda yechimga ega emas.

Bu tenglamani o‘q otish usuli bilan yechishning algoritmini Mathcad matematik paketi yordamida tuzamiz:

Berilgan:


f (x) : ex

N : 2  FRAME



j: 0...N

a : 0

b : 1

h : b  a

N

h  0.5


Diskret o‘zgaruvchilarga o‘tamiz:

x j : j h

x0 : a

x N : b



Chap chegaradagi shart: agar

y10 : 0

y00 : 1

bo‘lsa, u holda o‘ng chegarada



Bu yerda va bundan keyin quyidagi belgilashlar kiritilgan:

y0 j -

birjinsli bo‘lmagan differensial tenglama xususiy yechimining diskret

qiymati; qiymati.

y1j

  • birjinsli differensial tenglama umumiy yechimining diskret

Quyidagi qiymatlarni ixtiyoriy beramiz:

m : 0.5 



1  FRAME

50



y01 : y00 m
h


y11 : h

y11 : 0



Ana shu qiymatlar qolgan barcha uchun yetarli.

y0j



y1j

j  2, N.

qiymatlarni topish


Algoritm: j: 1...N 1 y01 2 .

Birjinsli va birjinsli bo‘lmagan differensial tenglamalarning mos xususiy va umumiy yechimlarini hisoblashning rekurrent formulalarini ayirmali ko‘rinishda yozamiz:



y0j1  2  y0j  y0j1 y0

= exj

y1j1  2  y1j  y1j1 y1 = 0





h2 j h2 j

Bu tenglamalar quyidagilarni yozamiz:



y0 : h2exj  y0  y0  2  y0 y1 : h2 y1
j1 j j1 j

j1 j j1 j


  • y1

 2  y1

Hisoblashlarning oxirida quyidagini topamiz:

B : 2  y0N

y1N



Endi y vektorning barcha komponentalari qiymatlarini yozamiz:

j: 0...N

yj : y0j  B y1j

yN  2


Hosil qilingan natijalarni taqqoslash grafigini chizamiz (4-rasm).
2















y

1.5



yt( t)


1 0 0.5 1

x  t

4-rasm.


  1. misol. Ushbu

tenglamani


y  y = ex

y(0)  1, y(4)  2

chegaraviy shartlarda o‘q otish usuli bilan Mathcad matematik paketidan foydalanib yeching.



Yechish. Bunga mos boshlang‘ich qiymatlarga tuzatishlar kiritamiz:

a x b,

bunda a : 0



b : 4 . Boshlang‘ich nuqtalar soni: N : 40 ; x

bo‘yicha:

h : b a , bunda h 0.1.

Animatsiya parametrini tanlaymiz:


N

): s0 : 1 , s1: 1 .


m : 0.2 

1 FRAME , ishoralar (+, –

20



Birjinsli va birjinsli bo‘lmagan dastlabki differensial tenglama mos

xususiy yechimini diskret boshlang‘ich qiymatini beramiz:

y00 : 1 ,

y10 : 0 .


Quyidagi qiymatlarni ixtiyoriy beramiz:

y01 : y00



  • s0  h

m

y11 : s1 h

y11  0



Animatsiya holatida bu tasdiqni tahlil qilamiz. Erkli o‘zgaruvchi-

larning diskret qiymatlari: j: 1...N 1

x j : j h

x0 : a

x N : b



Dastlabki birjinsli va birjinsli bo‘lmagan differensial tenglamani

ayirmali ko‘rinishda yozamiz va ularning taqribiy yechimlarini diskret nuqtalarda yozamiz:



y0 h2 exj y0 y0 2 y0 y1  h2  y1  y1  2  y1
j1 j j1 j

j1 j j1 j


B : 2  y0N
j: 0...N

y : y0


  • B y1

y1N

Natijada quyidagiga ega bo‘lamiz:

j j j


y  2 yt(t) : 1 et  cos(t) sin(t) 2  1 e4  cos(4)




N 2 sin(4) 2

Chegaraviy shartni tekshiramiz: yt(0) 1

yt(4)  2



Natijalarning animatsion grafigi 5- va 6-rasmlarda keltirilgan:

Ushbu

yt(0) 1,

yt  1

 


2

chegaraviy shartlarda berilgan tenglama



yechimga ega emas. Bu holda:

y(x) 1 ex  cos(x) B  sin(x),
2


y(x)  1 ex  sin(x) B  cos(x)

,


2




1

y(0)  1,

y

e 2 1  0.

2

2  

2 5 5




























































































y


yt( t)

0

2



4 0 1 2 3 4

x  t


5-rasm.

yt( t)

2.5
0 0 y


2.5


5 0 2.5 5 7.5 5
10

t  x


6-rasm.

  1. misol. Ushbu

differensial tenglamani


y" y = ex
y(0)  1 ; y(4)  2

chegaraviy shartlarda o‘q otish usuli bilan sonly yechimg. Chegaraviy shartlarni boshqasi bilan almashtiring va mos yechimni toping. Olingan taqribiy yechimni aniq yechim bilan taqqoslang, grafiklarni chizing, animatsiyalarni ko‘rsating.

Yechish. Berilgan differensial tenglamaning aniq yechimi quyidagicha:

yt(t) : 1  (et  cos(t))  sin(t) 2  1  (e4  cos(4))


2 sin(4) 2


Bu yechim ushbu yt(0) 1

qanoatlantiradi.

yt(4)  2

chegaraviy shartlarni



Bu tenglamani yechishning o‘q otish usuli bo‘yicha algoritmini keltiramiz:

Berilgan:

f (x) : ex

N : 40  FRAME

j: 0..N


Diskret o‘zgaruvchilarga o‘tamiz:

x j : j h

x0 : a

x N : b



Chegaraviy shartlar:

y00 : 1

y10 : 0


Bu yerda va bundan keyin quyidagi belgilashlar kiritilgan:

y0 j -

birjinsli bo‘lmagan differensial tenglama xususiy yechimining diskret

qiymati; qiymati.

y1j

- birjinsli differensial tenglama umumiy yechimining diskret



Quyidagi qiymatlarni ixtiyoriy beramiz:

m : 0.1 



1  FRAME

20



y01 : y00 m
h

y11 : h, y11  0



Algoritm: j:1..N 1

Birjinsli va birjinsli bo‘lmagan differensial tenglamalarning mos xususiy va umumiy yechimlarini hisoblashning rekurrent formulalarini ayirmali ko‘rinishda yozamiz:

y0j1 2 y0j y0j1 y0 = eX j y1j1  2  y1j  y1j1 y1 = 0



h2 j h2 j

Bu tenglamalardan foydalanib, quyidagilarni yozamiz:

y0 : h2  (exj  y0 )  y0  2  y0
j1 j j1 j

y1j1 : h2  y1j  y1j1  2  y1j



B : 2  y0N

y1N

j: 0..N

B  6.446

yj : y0j  B y1j

yN  2



Differensial tenglama yechimining grafigi 7-rasmda tasvirlangan
h


Quyidagilarni erkli beramiz:

y11 : h y11  0 .

m : 0.5 



1  FRAME

50

y01 : y00 m


Grafikni qurish uchun zarur bo‘lgan parametrlarni kiritamiz (8-rasm):

N : 0

j:1..N 1

a : 0

b : 4



h : b  a

N

h  0.1


y00 : 1

y10 : 0

x j : j h

x0 : a

x N : b



y0 : h2  (ex j  y0 )  y0  2  y0
j1 j j1 j


y1j1 : h2  y1j  y1j1  2  y1j

B : 2  y0N

y1N



j: 0..N

yj : y0j  B y1j

yN  2



yt(t) : 1  (et  cos(t))  sin(t) 2  1  (e4  cos(4))


2 sin(4) 2

yt(0)  1 yt(4)  2

Bu grafikdan ko‘rinadiki, olingan yechim aniq yechimdan deyali farq qilmaydi.



  1. misol. Issiqlik o‘tkazuvchanlikning statsionar tenglamasi yoki

«Reaksiya-diffuziya» turidagi statsionar tenglamalardan biri quyidagi ikki nuqtali chegaraviy masalaga olib kelingan:

уʹʹ+ x2y +2 = 0;

y(-1) = 0; y(1) = 0.

Bu chegaraviy masalani o‘q otish usuli bilan yeching.



2
y 0

yt (t)


2
4 0 1 2 3 4

xt


7-rasm.


8-rasm.


Yechish. Dastlab berilgan chegaraviy masalani quyidagi birinchi tartibli ikkita tenglamalar sistemasiga keltirib olamiz:

y'  f ,

f '  2  x2 y,



y(1)  0, y(1)  0.

Endi bu masalani Koshi masalasiga keltiramiz. Buning uchun α parametrni shunday kiritamizki, uning qiymati hozircha noma’lum f (-1) gat eng bo‘lsin. Ana shu x=1 nuqtada chegaraviy shart bajarilayotgandagi α parametrni topish uchun masalaga yana ikkita tenglama kiritamiz. Buning uchun dastlabki sistemani α parametr bo‘yicha integrallaymiz:



p y ,

q f . Natijada quyidagi oddiy differensial tenglamalar

 

sistemasiga ega bo‘lamiz:


y'  f ,

f '  2  x2 y,



p'  q,

q'  x2 p,



y(1)  0,



p(1)  1,



f (1)  ,

q(1)  0.

Bu sistemani fiksirlangan α parameter uchun yechib, y(2) ning qiymatini topamiz, bu qiymat, umuman olganda, haqiqiysidan farq qiladi. α parameterning qiymatini to‘g‘rilash uchun uning yangi qiymatini quyidagi formula yordamida hisoblaymiz:

new

old

y(1)calc y(1) .

f (1)

Bu yerda y(1)calc – hisoblashlar natijasida topilgan y(1) ning qiymati. Endi oxirgi sistemani yana bir bor yechamiz va hokazo.

Bu hisoblashlar jarayoni |α new - α old |< shart bajarilgunga qadar qayta bajariladi, bu yerda  - oldindan berilgan hisob aniqligi.

Dastlabki berilgan chegaraviy masalani o‘q otish usuli bilan yechishda avvalo u Koshi masalasini yechishga olib kelinadi, keyin esa

«yetishmayotgan» vektor shaklidagi boshlang‘ich qiymat otishmalar usuli yordamida aniqlab olinadi. Bu vektorni topib olish uchun Mathcad da ushbu


Download 0.64 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   14




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
O’zbekiston respublikasi
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
o’rta maxsus
davlat pedagogika
axborot texnologiyalari
nomidagi toshkent
pedagogika instituti
texnologiyalari universiteti
navoiy nomidagi
samarqand davlat
guruh talabasi
ta’limi vazirligi
nomidagi samarqand
haqida tushuncha
toshkent axborot
toshkent davlat
Darsning maqsadi
xorazmiy nomidagi
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
Alisher navoiy
Ўзбекистон республикаси
rivojlantirish vazirligi
matematika fakulteti
pedagogika universiteti
sinflar uchun
Nizomiy nomidagi
таълим вазирлиги
tibbiyot akademiyasi
maxsus ta'lim
ta'lim vazirligi
bilan ishlash
o’rta ta’lim
махсус таълим
fanlar fakulteti
Referat mavzu
umumiy o’rta
Navoiy davlat
haqida umumiy
Buxoro davlat
fizika matematika
fanining predmeti
universiteti fizika
malakasini oshirish
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
davlat sharqshunoslik
jizzax davlat