O‘zbekiston respublikasi qishloq va suv xo’jaligi vazirligi samarqand qishloq xo’jalik instituti

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI QISHLOQ VA SUV XO’JALIGI VAZIRLIGI

SAMARQAND QISHLOQ XO’JALIK INSTITUTI

Oliy matematika va axborot texnologiyalari kafedrasi


Oily matematika va axborot texnologiyalari kafedrasi assistenti Muradov Qodir Qo‘ldoshevichning
“ANIQMAS INTEGRAL TA’RIFI VA XOSSALARI”

mavzusidagi ochiq darsi ishlanmasi

Samarqand - 2015

8.14-mavzu:

Aniqmas integral ta’rifi va xossalari.

Aniqmas integralta’rifi va xossalari mavzusi bo'yicha amaliy mashg'ulotining ta'lim texnologiyasi modeli

Monitoring va baholash	Og'zaki so'rov, kuzatish.
Vaqt – 2 soat	Talabalar soni: 25 nafar
O’quv mashg’uloti shakli	Individual topshiriqlarni bajarishga asoslangan amaliy mashg’ulot.
Mashg'ulot rejasi	1. Boshlang‘ich funksiya tushun-chasi. 2. Aniqmas integral ta’rifi. 3. Integrallash qoidalari. 4. Asosiy integrallar jadvali. 5. Aniqmas integral xossalari. 6. O‘zgaruvchilarni almashtirish va bo‘laklab integrallash.
Asosiy tushuncha va atamalar	Funksiya hosilasi, differensiallash qoidalari, hosilalar jadvali, funk-siya differensiali, boshlang’ich funksiyalar, aniqmas integral, in-tegral belgisi, integ-ral ostidagi funksiya, integral ostidagi ifoda, integrallash jadvali, bevosita integ-rallash, integralni topishda o‘zga-ruvchilarni almashtirish, aniqmas integralni bo‘laklab integrallash
Amaliy mashg'ulotining maqsadi	Aniqmas integral va uning xossa-lari haqidagi bilimlarni mustah-kamlash va ularni chuqurlashtirish..
Pedagogik vazifalar	O'quv faoliyati natijalari
1. Mavzu bo'yicha bilimlarni tizimlashtirish, mustahkamlash. 2. O'quv materiallari bilan ishlash ko'nikmalarini hosil qilish. 3. Boshlang‘ich funksiyani tushun-tirish. 4. Aniqmas integralni ta’riflash. 5. Integrallash qoidalari bilan tanishtirish. 6. Asosiy integrallar jadvali. 7. Aniqmas integral xossalarini tushuntirish. 8. O‘zgaruvchilarni almashtirish va bo‘laklab integrallash.	- boshlang‘ich funksiya haqida tushunchaga ega bo‘ladilar; - aniqmas integral; - integrallash qoidalari; - asosiy integrallar jadvali; - aniqmas integral xossalari; - o‘zgaruvchilarni almashtirish va bo‘laklab integrallash haqida amaliy ko‘nikmaga hamda mustaqil topshiriqlarni bajara oladilar.
Ta'lim usuli va texnikasi	Amaliy mashg'ulot, tezkor-so'rov, aqliy hujum, insert, suhbat, munozara.
Ta'lim shakli	Frontal, jamoaviy(guruhli).
Ta'lim vositalari	Amaliy mashg‘ulot ishlanmasi, o'quv topshiriqlar varaqalari, proyektor, axborot texnologiylari vositalari, taqdimot va tarqatma materiallar.
Ta'lim berish sharoiti	Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan, guruhli shaklda ishlashga mo'ljallangan auditoriya

Mavzu bo'yicha amaliy mashg'ulotining texnologik xaritasi

Ish bosqich-lari va vaqti	Ta'lim beruvchi	Ta'lim oluvchilar
1-bosqich. Mavzuga kirish (15 daqiqa)	1.1. Mavzuning nomi, maqsadi va o'quv faoliyati natijalari bilan tanishtiriladi. 1.2. Talabalar o'quv faoliyatini baholash mezonlari bilan tanishtiriladi (1-ilova). 1.3. Talabalarning darsga tayyorgarlik darajasini aniqlash, bilimlarini faollashtirish maqsadida tezkor-savollar o'tkaziladi (2-ilova, insert, BxBxB (Bilaman/Bilishni xohlayman/Bilib oldim)): Mavzu mazmunining muhokamasi guruhlarda davom etishi e'lon qilinadi.	Tinglaydilar. yozib oladilar. Aniqlashtiradilar, savollar beradilar. Talabalar berilgan savollarga javob beradilar.
2-Asosiy bosqich. (50-daqiqa)	2.1. Talabalarni 4 ta o'quv guruhiga bo'linadi. va har biriga vazifalar beradi (3-ilova). Guruhlarda o'quv vazifasini bajarish bo'yicha ishni tashkil qiladi. Mavzu bo'yicha tarqatma material tarqatiladi (4-ilova). O'quv faoliyti natijalarini eslatadi. Vazifani bajarishda o'quv materiallaridan foydalanish mumkinligini eslatadi. Berilgan topshiriqlarni har bir guruh lideri bittadan doskada izohlashga, ya'ni prezentatsiyaga tayyorlashni so'raydi. 2.2. Taqdimot boshlanishini e'lon qiladi. Taqdimot vaqtida javoblarga izoh beradi, to'gri e'chimlarga e'tibor beradi, xatolarni ko'rsatadi. Talabalar bilan birgalikda javoblar to'g'riligini baholaydi, savollarga javob beradi. 2.3. Guruhlar bajargan ishlari bo'yicha o'z-o'zini baholaydilar va tekshiradilar. 2.4. Javoblarni to'ldiradi va qisqacha xulosalar qiladi.	Tinglaydilar, guruhlarda ishlaydilar, misol va masalalarni daftarda yechadilar, savollar beradilar. Guruh liderlari topshiriqlar javoblarini aytadilar. Liderlar o'z guruhlarida baholash o'tkazadilar. Tinglaydilar.
3- bosqich, yakuniy (15 d aqiqa)	3.1. Mavzu bo'yicha talabalarda yuzaga kelgan savollarga javob beradi, yakunlovchi xulosa qiladi. 3.2. Mashg'ulotda maqsadga erishishdagi, talabalar faoliyati tahlil qilinadi va baholanadi. 3.3. Mustaqil ish uchun topshiriqlar beriladi (6-ilova) va uning baholash mezonlari aytiladi.	Savol beradilar, tinglaydilar. Tinglaydilar; Topshiriqlarni yozadilar.

1-ilova

Har bir mashg'ulot 0,5 balldan 2 ballgacha baholanadi. Guruрlarning ish natijalarini baholovchi me'zonlari

Me'zonlar	Ball	%	Guruh natijalari bahosi
			1	2	3	4
Axborotning to'liqligi	1,0	50
Illyustratsiya (grafik tarzda taqdim etish)	0,6	30
Gurux faolligi (qo'shimcha, berilgan savol, javoblarning soni)	0,4	20
JAMI	2	100

86-100% -"a'lo", 71-85% -"yaxshi", 55-70% - "qoniqarli", 0-54%- "qoniqarsiz".

2-ilova

Insert texnikasini qo'llagan holda ish yuritish qoidalari
1. Matnni o'qing.

2. Matn qatorlariga qalam bilan beligilar qo'yib, olingan ma'lumotni tizimlashtiring:

V - ... haqida mavjud bo'lgan bilimlar (ma'lumotlar) mos keladi
- (minus) - ... haqidagi mavjud bilimlarga e'tiroz bildiradi.
+ (plyus) - yangi ma'lumotlar hisoblanadi.
? - tushunarsiz / aniqlik / qo'shimcha ma'lumot talab qiladi
BxBxB texnikasini qo'llagan holda ish yuritish qoidalari

1. 
   "Insert" texnikasidan foydalanib matnni o'qing.
   
2. 
   Olingan ma'lumotlarni tizimlashtiring - matnga qo'yilgan belgilar asosida tablitsa qatorlarini to'ldirib chiqing.
   

BxBxB (Bilaman / Bilishni xoxlayman / Bilib oldim)

№	Mavzu savollari	Bila-man (Q)	Bilishni xohlay- man (?)	Bilib oldim
1	Boshlang'ich funksiya qanday funksiya?
2	Aniqmas integral deb nimaga aytiladi?
3	Boshlang'ich funksiya va aniqmas integral orasida qanday bog'lanish bor?
4	Integrallash amali nima?
5	Aniqmas integral qanday xossalarga ega?
6	Asosiy integrallar jadvali nimalardan iborat?
7	Integrallash to'g'ri bajarilganligini qanday tekshirish mumkin?

3-ilova

Kichik guruhlarda ishlash qoidasi

1. 
   Talabalar ishni bajarish uchun zarur bilim va malakalarga ega bo'lmog'i lozim.
   
2. 
   Guruhlarga aniq topshiriqlar berilmog'i lozim.
   
3. 
   Kichik guruh oldiga qo'yilgan topshiriqni bajarish uchun yetarli vaqt ajratiladi.
   

4. 
   Guruhlardagi fikrlar chegaralanmaganligi va tazyiqqa uchramasligi haqida ogohlantirilishi zarur.
   
5. 
   Guruh ish natijalarini qanday taqdim etishini aniq bilishlari, o'qituvchi ularga yo'riqnoma berishi lozim.
   
6. 
   Nima bo'lganda ham muloqotda bo'ling, o'z fikringizni erkin namoyon eting.
   

Guruhlarga beriladigan topshiriqlar
1-varaqa

Quyidagi integrallarni hisoblang va ularning to’g’ri hisoblanganligini tekshiring:






2-varaqa

1. Quyidagi integrallarni hisoblang va ularning to’g’ri hisoblanganligini tekshiring:





3-varaqa

1. Quyidagi integrallarni hisoblang va ularning to’g’ri hisoblanganligini tekshiring:





4-varaqa

1. Quyidagi integrallarni hisoblang va ularning to’g’ri hisoblanganligini tekshiring:






4-ilova

Aniqmas integral ta’rifi va xossalari mavzusi bo'yicha tarqatma material
1. Boshlang'ich funksiya

Ma'lumki matematikada amallar juft-juft bo'lib uchrab keladi. Jumladan, qo'shish va ayirish, ko'paytirish va bo'lish, darajaga ko'tarish va ildiz chiqarish va boshqalar. Funksiya hosilasini topishga yoki differensialash amaliga teskari amal bormikan degan tabiiy savol tug'iladi.

Differensial hisobda funksiya berilgan bo'lsa, uning hosilasini topishni qaradik. Haqiqatda ham fan va texnikaning bir qancha masalalarini hal etishda teskari masalani yechishga to'g'ri keladiki,berilgan f(x) funksiya shunday, F(x) funksiyani topish kerakki, uning hosilasi berilgan f(x) funksiyaga teng bo’lsin. Ma’lumki, bunday funksiya berilgan f(x) funksiyaning boshlang’ich (dastlabki) funksiyasi deyiladi.

Masalan, y=f(x)=x⁴ funksiyaning boshlang’ich funksiyasi, bo’ladi, chunki bo’ladi.

2. Aniqmas integral

Ta’rif. F(x) funksiya biror oraliqda f(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, F(x)+C (bunda C ixtiyoriy o’zgarmas) funksiyalar to’plami shu oraliqda f(x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va

Bilan belgilanadi. Bu yerda f(x) integral ostidagi funksiya, f(x)dx integral ostidagi ifoda, x integrallash o’zgaruvchisi, deyiladi.

Demak, simvol, f(x) funksiyaning hamma boshlang’ich funksiyalari to’plamini belgilaydi. Berilgan funksiyaning aniqmas integralini topish amaliga integrallash deyiladi.
Aniqmas integralning xossalari
1. Aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga, differensiali esa integral ostidagi ifodaga teng, ya’ni

va
2. Biror funksiyaning hosilasidan hamda differensialidan aniqmas integral shu funksiya bilan ixtiyoriy o’zgarmasning yig’indisiga teng, ya’ni

va
Bu xossalar aniqmas integralning ta’rifidan bevosita kelib chiqadi. Haqiqatan, 1-xossadan bo’ladi. (Qolganlarini keltirib chiqarish o’quvchiga havola etiladi. Bu xossadan differensiallash va integrallash amallari o’zaro teskari amallar ekanligini payqash mumkin.

3. O’zgarmas ko’paytuvchini integral belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin, ya’ni bo’lsa,

4. Chekli sondagi funksiyalar algebraik yig’indisining aniqmas integrali, shu funksiyalar aniqmas integrallarining algebraik yig’indisiga teng, ya’ni

Asosiy integrallar jadvali
Berilgan funksiyaga asosan uning boshlang‘ichini topish, berilgan funksiyani differensiallashga nisbatan ancha murakkabroq masaladir. Differensial hisobda asosiy elementar funksiyalarning, yig‘indining, ko‘paytmaning, bo‘linmaning hamda murakkab funksiyalarning hosilasini topishni o‘rgandik. Bu qoidalar istalgan elementar funksiyalarning hosilasini topishga imkon berdi. Elementar funksiyalarni integrallashda esa differensiallashdagidek umumiy qoidalar yo‘q. masalan, ikkita elementar funksiyalar boshlang‘ichlarining ma’lum bo‘lishiga qaramasdan, ular ko‘paytmasining, bo‘linmasining boshlang‘ichini topishda aniq bir qoida yo‘q.

Integrallashda integral ostidagi ifodaning muayyan berilishiga qarab, unga mos individual usullardan foydalanishga to‘g‘ri keladi. Boshqacha aytganda, integrallashda ancha kengroq fikr yuritish kerak bo‘ladi. Funksiyani integrallash ya’ni boshlang‘ich funksiyani topish metodlari bir qancha shunday usullarni ko‘rsatadiki, ular yordamida ko‘p hollarda maqsadga erishiladi.

Integrallashda maqsadga erishish uchun quyidagi asosiy integrallar jadvalini yoddan bilish zarur.


Bu formulalarning to‘g‘riligini, tekshirish tengliklarning o‘ng tomonidagi ifodalar differensiali integral ostidagi ifodaga teng ekanligini ko‘rsatishdan iboratdir. Masalan,



O’zgaruvchilarni almashtirish
Har doim ham berilgan integralni topishda bevosita integrallash usulini qo’llash samarali natija bermaydi, yoki bo’lmasa, uni topish jarayoni nihoyatda qiyinchilik to’g’diradi. Bunday hollarda boshqacha yo’l tutishga to’g’ri keladi. Ana shunday yo’llardan biri integral ostidagi o’zgaruvchini almashtirish usulidir.

Aniqmas integralni o’zgaruvchini almashtirish usuli bilan integrallashning mohiyati shundaki, berilgan integralni asosiy integrallash formulalarining birortasi bo’yicha oson integrallanadigan integralga keltirishdan iborat.

integralni topish uchun x o’zgaruvchini deb belgilab, yangi u o’zgaruvchi bilan almashtiramiz. Bu tenglikni differentsiallab, ni topamiz. Integral ostidagi x va dx larning o’rniga u va du larni qo’yib, quyidagini hosil qilamiz:

(1)

(1) formula yordamida integral topilgach, yangi o’zgaruvchi eski o’zgaruvchiga almashtiriladi. Demak, o’zgaruvchini almashtirish usulida integrallash uchun quyidagi bosqich ishlari amalga oshiriladi:

1. Integral ostidagi ifodaning qaysi qismini yangi o’zgaruvchi yordamida belgilashni aniqlash.

2. Yangi va eski belgilashlar tengligining ikkala qismini differentsiallash va eski o’zgaruvchining differentsialini topish.

3. Topilganlarni integral ostiga qo’yish (almashtirish).

4. Hosil bo’lgan integralni topish.

5. Eski o’zgaruvchiga qaytish.
Aniqmas integralni bo’laklab integrallash
va funktsiyalar biror x sohada uzluksiz va differentsiallanuvchi bo’lsin. Shu funktsiyalar ko’paytmasining differentsialini topamiz:

(1)

Shartga asosan, va funktsiyalar uzluksiz bo’lganligi sababli, (1) tenglikning ikkala tomonini integrallash mumkin:

yoki (2)

Aniqmas integralning 3-xossasiga asosan edi. Bundan foydalanib, (2) tenglikni quyidagi ko’rinishda ifodalash mumkin:

(3)

(3) tenglikka aniqmas integralni bo’laklab integrallash formulasi deyiladi.

(3) formula yordamida integrallash uchun integral ostidagi ifodani va ko’paytiruvchilar orqali ifodalash kerak. ko’paytiruvchini shunday tanlash lozimki, uning hosilasi ga nisbatan soddaroq bo’lsin.

Bo’laklab integrallash asosan uch bosqichdan iborat, ya’ni:

1-bosqich: Integral ostidagi ifodani ikkita ko’paytiruvchiga ajratib, ulardan birinchi va ikkitasini bilan belgilash.

2-bosqich: va ni topish.

3-bosqich: Bo’laklab integrallash formulasi ni qo’llash.
Integrallashga bir necha misollar qaraymiz.
1-misol. integralni hisoblang.

Yechish. Integralning 4 va 3 xossalariga asosan,

bo‘ladi. Asosiy integrallar jadvalidagi 1), 2), 4) formulalarga asosan,

Demak,

.

Yuqoridagi integralni hisoblashda har bir, integralda o‘zining ixtiyoriy o‘zgarmasini qo‘shdik, lekin oxirgi natijada bitta ixtiyoriy o‘zgarmasni qo‘shamiz, chunki ixtiyoriy o‘zgarmaslar bo‘lsa, ham ixtiyoriy o‘zgarmas bo‘ladi, shuning uchun, oxirgi natijani quyidagicha yozamiz:

.

Integralning to‘g‘ri hisoblanganligini tekshirish uchun oxirgi tenglikning o‘ng tomonini differensiallash bilan ko‘rsatish mumkin(buni bajarishni o‘quvchiga havola etamiz).

2-misol. integralni hisoblang.

Yechish. Manfiy daraja xossasidan, hamda 4) xossadan foydalanib, jadvaldagi 1) formulaga asosan,

bo‘ladi.

3-misol. integralni hisoblang.

Yechish. ayniyatdan hamda integralning 3) va 4) hossalaridan foydalanib hisoblaymiz:

4-misol. integralni hisoblang.

Yechish. Jadvaldagi 9) formulaga asosan,

5-misol. Integralni toping:

Yechish: belgilash kiritamiz. Bundan hamda Topilganlarni berilgan integralga qo’yamiz:

6-misol. Integralni toping:

Yechilishi: Belgilash kiritamiz: bundan

U holda,

7-misol. Integralni toping:

Yechilishi: belgilashni amalga oshiramiz. Bundan, Integral ostidagi ifodani ko’paytuvchilarga ajratamiz:

U holda,

dan . Shuning uchun

8-misol. integralni toping.

Yechilishi: Belgilashlarni quyidagicha amalga oshiramiz:



belgilashning ikkala tomonini differentsiallaymiz, ning ikkala tomonini esa integrallaymiz:

va

Ushbularni (3) formulaga qo’yamiz:

9-misol. ni toping.

Yechilishi: 1)

2)

3)
5-ilova
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
Quyidagi integrallarni toping:

1. ; Javobi: . 2. ; Javobi: .

3. ; Javobi: . 4. ; Javobi: .

5. ; Javobi:
Aniqmas integralda o’zgaruvchini almashtirishga doir misollar:
1. Javobi:

2. Javobi:

3. Javobi:

4. Javobi:

5. Javobi:

Aniqmas integralni bo’laklab integrallashga doir misollar:

1. ; Javobi:

2. Javobi:

3. Javobi:

4. Javobi:
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Abdalimov V. Oliy matematika. – Toshkent: O’qituvchi, 1994.

2. Abdalimov V. Oliy matematikadan misol va masalalar to’plami. -Toshkent: Milliy ensiklopediya, 2003

3. Begmatov A. B., Yakubov M.Y. Iqtisodchilar uchun matematika /ma’ruzalar matni/.-Samarqand,2003.

4. Bogomolov N.V. Oliy matematikadan amaliy mashg’ulotlar. –Toshkent: O’qituvchi, 1977.

5. Davronov P.Z. va boshqalar. Oliy matematika (Oliy matematika fanidan masalalar yechish bo‘yicha uslubiy qo‘llanma). Samarqand – 2013.

7. Soatov Yo. U. Oliy matematika. –T.: “O‘qituvchi”, 3-jild, 1996. -640 b.

8. Sultonov J.S. Oliy matematika (nazariy va amaliy mashg‘ulotlar bo‘yicha uslubiy qo‘llanma). -Samarqand, 2004.

9. Internet manbalari:

- www.ziyonet.uz

- www.google.uz

- www.gov.uz

- www.rsl.ru

- www.msu.ru

- www.nlr.ru

- www.matn.ru

- http://el.tfi.uz/pdf/enmcoq22_uzk.pdf

- http://el.tfi.uz/pdf/enmcoq22_uzl.pdf