O’zbekiston respublikasi axborot texnologiyalari va kommunikatsiyalari rivojlantirish vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari universiteti mustaqil ish



Download 51.43 Kb.
Sana02.05.2021
Hajmi51.43 Kb.

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

Mustaqil ish

Mavzu: Жадвал функциялар учун Лагранж итерполяцион кўпхадини тузиш


Bajardi:___________________ Tekshirdi:_________________

Режа:

  1. Функцияларни яқинлаштириш масаласи .



  1. Лагранжнинг интерполяцион формуласи.

Таянч тушунчалар: Функцияларни яқинлаштириш, интерполяция, Лагранж интерполяцион формуласи.

Фараз қилайлик , y миқдори x миқдорининг функцияси бўлсин. Бу функциянинг аниқланиш соҳасидаги ҳар бир x учун мос y нинг қиймати аниқланганлигини билдиради. Лекин ҳамма вақтда x билан y орасидаги боғлиқликни y=f(x) формула турида кўрсатиш мумкин эмас. Агар мумкин бўлса



ҳам бу

боғлиқлик мураккаб формула

кўринишида бўлиб, уни

ҳисоблаш қийин

бўлиши

мумкин.Агар боғлиқлик аниқ берилмаган

бўлсада, микдорлар жадвал

кўринишида

берилган

бўлиши

мумкин,яъни {xi,yi}, i=0,1,2,…,n кўринишида. Бу ҳол кўпинча экспериментлар натижасида

олинган миқдорларга тааллуқлидир.Функциянинг жадвалда берилмаган қийматларини ҳисоблаш керак бўлади. Бундай ҳолларда функцияларнинг қийматларини ҳисоблаш учун, унга муайян маънода яқин ва тузилиши соддароқ бўлган функциялар билан алмаштириш масаласи қўйилади.

Берилган f(x) функциясини унинг аниқланиш соҳаси нуқталарида қийматлари энг кам фарқ қилувчи содда φ(х) функцияси билан алмаштириш масаласи функцияларни яқинлаштириш масаласи дейилади. Функцияларни яқинлаштириш дискрет нуқталарда амалга оширилса, унда у нуқтали аппроксимация масаласи бўлиб ҳисобланади. Нуқтали аппроксимация масалаларидан энг асосийси функцияларни интерполяциялаш масаласидир. Интерполяция масаласинининг моҳияти қуйидагидан

иборат. [a,b] оралиқда y=f(x) функция берилган ёки ҳеч бўлмаганда унинг

қийматлари мавжуд бўлсин. Шу оралиқда аниқланган ва ҳисоблаш учун

қулай бўлган қандайдир функциялар синфини, масалан, кўпхадлар синфини {P(x)} оламиз. Берилган y=f(x) функцияни [a,b] оралиқда интерполяциялаш масаласи шу функцияни берилган синфнинг P(x) функцияси билан тақрибий равишда f (x) P(x) алмаштиришдан иборатки, P(x) берилган

нуқталарда f(x) билан бир хил қийматларни қабул килсин: P(xi ) = f (xi ) (i = 0, n)

Бу ерда кўрсатилган x 0 , x1,..., x n нуқталар интерполяция тугунлари дейилади, P(x) эса интерполяцияловчи функция дейилади. Агар {P(x)} синфи сифатида даражали кўпҳадлар синфи олинса,у ҳолда интерполяциялаш алгебраик дейилади.

Биз асосан алгебраик интеполяциялаш билан шуғулланамиз. Бу ерда масаланинг қўйилиши қуйидагичадир: Даражаси n дан юқори бўлмаган шундай кўпҳад тузилсинки, у берилган (n+1) та x 0 , x1,..., x n нуқталарда берилган f (x 0 ), f (x1 ),..., f (x n ) қийматларни қабул қилсин. Бу масалани геометрик таърифлаш ҳам мумкин. Демак, Cm коэффициентларни шундай аниқлаш



керакки,

P(x) =C0

0

+ C x + C

2

x 2

+...+ C

n

x n

(1)







1














кўпҳад учун ушбу













P(x k ) = f (x k ), k = 0,1,..., n

(2)

тенгликлар бажарилсин. Бу тенгликларни очиб езсак, Cm(m=0,q,...,n) ларга нисбатан (n+1)




номаълумли (n+1) -та тенгламалар системаси ҳосил бўлади







С0 + С1x 0 + C2 x 02 + ... + Сn x 0n

= f (x 0 ),







+ С1x1 + C2 x12 + ... + Сn x1n







С0

= f (x1 ),

(3)










−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−







+ С1x n + C2 x n2 + ... + Сn x nn

= f (x n ),




С0




Бу системанинг детерминанти Вандермонд детерминантидир: W(x 0 , x1 ,..., x n ) . xk нуқталар бир биридан фарқли бўлгани учун детерминант нолдан фарқли. Шунинг учун ҳам (3) система ва шу билан бирга қўйилган интерполяция масаласи ягона ечимга эга. Бу системани ечиб Cm ларни топиб (1) га қўйсак, P(x) кўпҳад аниқланади. Биз P(x) нинг ошкор кўринишини топиш учун бошқача йўл тутамиз, аввало фундаментал кўпҳадлар деб аталувчи Qnj(xi) ларни, яъни

0, ij

Qnj (xi ) = δi j = 1, i = j

шартларни қаноатлантирадиган n-даражали кўпҳадларни тузамиз. У ҳолда

n

Ln (x) = ∑f (x j )Qnj (x)



j=0

изланаётган интерполяцион кўпҳад бўлади. Ҳақиқатан ҳам барча i=0,1,2,…,n лар учун



n

n

Ln (xi) = ∑ f (x j )Qnj (xi ) = ∑f (x jij = f (xi )

j= 0

j=0

ва иккинчи томондан Ln(x) n-чи даражали кўпҳаддир.

Энди Qnj(xi) ларга қўйилган шартга кўра Qnj (x) = C ⋅ ∏(x x j )

i j

кўринишида оламиз ва номаълум C ни эса Qnj (x j ) = C ⋅ ∏(x j xi ) = 1 i j

шартдан топамиз. Натижада

Qnj (x) = ∏ x xi

i j x j xi

Буни (4) га қўйиб,керакли кўпҳадни аниқлаймиз



n




x xi




Ln (x) = ∑f (x j ) ⋅∏

(5)

x j xi

j=0

i j




Бу кўпҳад Лагранж интерполяцион кўпҳади дейилади. Энди Лагранж интерполяцион кўпҳадининг






















n







бошқа кўринишини келтирамиз. Бунинг учун

ωn+1 (x) = ∏(x x i )






















i=0







кўпҳадни киритамиз. Бундан ҳосила олсак ,






















n



















n







ωn+1 (x) = ∑

∏(xx i )




Демак,

ωn+1 (x j ) = ∑

(x j xi )

k=0

ik
















k=0

ik




Шунинг учун Лагранж кўпҳадини қуйидагича езиш мумкин



















n




ωn+1

(x)
















Ln (x) = ∑







f (x j )




(6)




(x x jn+1 (x j )










j=0










Энди тугунлар бир хил узоқликда жойлашган хусусий ҳолни кўрамиз:

xi+1 xi = h, i =







+ ih ва

x = x 0 + th







o, n 1 бўлиб, xi = x 0

алмаштириш бажарамиз, у

ҳолда


































x x j = h(t j),

ωn+1 (x) = h n+1ω*n+1 (t)




бу ерда




























*










*







n j

j!(n j)!h

n

ωn+1

(t) = t(t 1)...(t n), ωn+1 (x j ) = (1)










бўлиб, Лагранж кўпҳади қуйидаги куринишни олади































n




(1)ns f (x j )










Ln (x 0 + th) = ω*n+1 (t)
















(7)










(t j) j!(n j)!













j=0







Агар бирор [a,b] оралиқда берилган f(x) функцияни Ln(x) интерполяцион кўпхад билан алмаштирсак, улар интерполяция тугунларида ўзаро устма-уст тушиб, бошқа нуқталарда эса фарқ қилади. Шунинг учун қолдиқ ҳаднинг R(x)=f(x)-Ln(x) кўринишини топиш ва уни баҳолаш мухим. Бунинг учун интерполяция тугунларини ўз ичига оладиган [a,b] оралиқда f(x) функция (n+1) тартибли f(n+1)(x) узлуксиз ҳосилага эга деб фараз қиламиз.Қуйидаги теорема ўринли

ТЕОРЕМА. Агар f(x) функция [a,b] оралиқда (n+1) тартибли узлуксиз ҳосилага эга бўлса, у ҳолда интерполяция қолдиқ ҳадини

R(x) = f (n+1) (ξ )

ωn+1 (x)

(8)

(n +1)!







кўринишда ифодалаш мумкин. Бу ерда ξ∈[a,b] бўлиб, умуман x нинг функциясидир.
Download 51.43 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
O’zbekiston respublikasi
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
axborot texnologiyalari
o’rta maxsus
davlat pedagogika
nomidagi toshkent
guruh talabasi
pedagogika instituti
texnologiyalari universiteti
toshkent axborot
xorazmiy nomidagi
rivojlantirish vazirligi
samarqand davlat
navoiy nomidagi
haqida tushuncha
toshkent davlat
ta’limi vazirligi
nomidagi samarqand
vazirligi toshkent
Darsning maqsadi
Toshkent davlat
tashkil etish
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
Ўзбекистон республикаси
Alisher navoiy
matematika fakulteti
bilan ishlash
Nizomiy nomidagi
pedagogika universiteti
sinflar uchun
fanining predmeti
таълим вазирлиги
vazirligi muhammad
maxsus ta'lim
o’rta ta’lim
fanlar fakulteti
ta'lim vazirligi
tibbiyot akademiyasi
Toshkent axborot
махсус таълим
haqida umumiy
Referat mavzu
umumiy o’rta
pedagogika fakulteti
ishlab chiqarish
fizika matematika
universiteti fizika
Fuqarolik jamiyati