O’zbekiston aloqa va axborotlashtirish agentligi toshkent axborot texnologiyalari universiteti samarqand filiali

 
1 
O’ZBEKISTON    ALOQA  VA  AXBOROTLASHTIRISH AGENTLIGI 
 
 
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI 
SAMARQAND FILIALI 
 
 
Yaxshiboyev M.U., Narzullayev U.X., Muxiddinov S. R., Xasanov X.A. 
 
 
OLIY MATEMATIKADAN 
MISOL  VA  MASALALAR  TO’PLAMI     
 
ALGEBRA VA ANALITIK GEOMETRIYA, LIMIT, UZLUKSIZLIK, 
HOSILA, INTEGRAL 
 
 
 
1 - QISM  
 
 
 
 
 
 
 
 
S A M A R Q A N D  –  2012  
 

 
2 
 
O’ZBEKISTON  ALOQA  VA  AXBOROTLASHTIRISH AGENTLIGI 
 
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI 
SAMARQAND FILIALI 
 
Yaxshiboyev M.U., Narzullayev U.X., Muxiddinov S. R., Xasanov X.A. 
 
 
OLIY MATEMATIKADAN 
MISOL VA MASALALAR TO’PLAMI 
 
ALGEBRA VA ANALITIK GEOMETRIYA, LIMIT, UZLUKSIZLIK, 
HOSILA, INTEGRAL 
 
 
1 - QISM  
 
5521900  –  «Informatika  va  axborot  texnologiyalari»,      5522200  – 
“Telekommunikatsiya”,        5140900  –  “Kasb      ta’limi  (Informatika  va  axborot 
texnologiyalari)”,  5811100  -    «Korxonalar  servisi»  (edektron  va  komp’yuter 
texnikasi) bakalavriat yo’nalishlari  uchun o’quv–uslubiy qo’llanma   
 
TATU  Samarqand filiali  o’quv–uslubiy  
Kengashining 2011 yil 31 may qarori  
bilan (9- bayonnoma) nashrga tavsiya etilgan 
 
 
SAMARQAND – 2012  

 
3 
M.U.Yaxshiboyev,  U.X.Narzullayev,    S.R.Muxiddinov,  X.A.Xasanov  Oliy 
matematikadan  misol  va  masalalar  to’plami:  algebra  va  analitik  geometriya,  limit, 
uzluksizlik, hosila, integral. 1 - qism  Samarqand: SamDU nashri, 2012, –116 bet. 
 
      
 
 
O’quv–uslubiy qo’llanmada  ikkinchi, uchinchi va yuqori tartibli determinatlar, 
matritsa,  chiziqli  tenglamalar  sistemasi,  vektorlar,  tekislik  va  fazodagi  to’g’ri 
burchakli  Dekart  koordinatalar  sistemasi,  vektorlarning  vektor  va  aralash 
ko`paytmalari,  tekislikda  to’g’ri  chiziq,  ikkinchi  tartibli  chiziqlar,  fazoda  tekislik  va 
to’g’ri  chiziq,  sirtlar,  kompleks  sonlar,  to’plam,  to’plamlar  ustida  amallar,  haqiqiy 
sonlar,    sonlar  ketma-ketligi  va  uning  limiti,  funksiyaning  limit,    funksiyaning 
uzluksizligi,  funksiyaning  hosilasi  va  differensiali,  funksiyaning  yuqori  tartibli 
hosilasi  va        differensiali,  Lopital  qoidalari  va    Teylor  formulasi,    funksiyani  to’liq 
tekshirish, aniqmas, aniq va xosmas integrallar hamda  ularning   tadbiqlari.   
 
 
 
 
Taqrizchilar:                              A. G’aziev, SamDU matematik  
   analiz kafedrasi professori, 
 
 
 
                                 B. Tursunqulov, TATU Samarqand 
                                                                filiali dotsenti 
 
 
 
 
TATU Samarqand filiali, 2012 
 

 
4 
MUNDARIJA 
So’z  boshi…………………………………………………………………………...6 
1-amaliy mashg’ulot.  2-, 3-, 

n
 tartibli determinantlar. Hisoblash usullari…….....7 
2-amaliy mashg’ulot. Matritsalar va ular ustida amallar. Teskari matritsa, 
matritsaning rangi………………………………………………………………..…..11 
3-amaliy mashg’ulot.  Chiziqli algebraik tenglamalar sistemani yechishda  Kramer, 
matrisa va Gauss usullari…………………………………………………………….19 
4-amaliy mashg’ulot. Vektorlar va ular ustida chiziqli amallar.  Vektorlarning 
skalyar, vektor va aralash ko’paytmalari....................................................................22 
5-amaliy mashg’ulot. Tekislikda to’g’ri chiziqlar.....................................................29 
6-amaliy mashg’ulot. Ikkinchi tartibli chiziqlar.......................................................33 
7-amaliy mashg’ulot. Tekislik va fozada to’gri chiziq.............................................39 
8-amaliy mashg’ulot.  Ikkinchi tartibli sirtlar……………………………………..45 
9-amaliy mashg’ulot.  Kompleks sonlar……………………………………..…..46 
10- amaliy mashg’ulot.  Sonlar ketma-ketligi va uning limiti………………….....54 
11- amaliy mashg’ulot. Funksiyaning limiti…………………………………...….57 
12- amaliy mashg’ulot. Funksiyaning uzluksizligi…………………………..……63 
13- amaliy mashg’ulot. Funksiyaning hosilasi va differensiali…………………....69 
14- amaliy mashg’ulot. Funksiyaning yuqori tartibli hosilasi   va differensiali……79 
15- amaliy mashg’ulot. Funksiyani hosila yordamida tekshirish…………………..83 
16- amaliy mashg’ulot. Lopital qoidalari.  Teylor formulasi……………………....89 
17- amaliy mashg’ulot. Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral……………….91  
18-amaliy  mashg’ulot.  Integrallarni  hisoblashda  o’zgaruvchilarni  almashtirish  va 
bo’laklab integrallash……………………………………………………………..…95 
19-amaliy mashg’ulot. Rasional funksiyalarni integrallash......................................98  
20-amaliy  mashg’ulot.  Tarkibida  trigonometrik  funksiyalar  qatnashgan  ifodalarni 
integrallash……………………………………………………………………….…101 
21-amaliy mashg’ulot. Ba’zi irrasional ifodalarni integrallash...............................106 
22-amaliy mashg’ulot. Aniq integralni hisoblash. nyuton-leybnis formulasi…….109 

 
5 
23-amaliy mashg’ulot. Chegaralari cheksiz xosmas integrallar………………….112  
24-amaliy mashg’ulot. Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrallari……..114 
Adabiyotlar………………………………………………………………………..117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
6 
 
SO’Z   BOSHI  
 
 
Ilm-fan jadal taraqqiy etayotgan, zamonaviy axborot-kommunikatsiya tizimlari 
vositalari keng joriy etilgan jamiyatda turli fan sohalarida bilimlarning tez yangilanib 
borishi, ta’lim oluvchilar oldiga ularni jadal egallash bilan bir qatorda,  muntazam va 
mustaqil ravishda bilim izlash vazifasini qo’ymoqda. 
 
Hozirgi  vaqtda  oliy  matematika  fani,  texnika  va  iqtisodning  turli  –tuman 
masalalarini  hal  qilishda  keng  qo’llanilmoqda.  Talabalar  o’quv  adabiyotni  mustaqil 
o’rganish  va  undan  foydalana  bilish  malakalarini  hosil  qilish,  mantiqiy  fikrlashni 
o’stirish  va  matematikaviy  madaniyatning  umumiy  saviyasini  ko’tarish;  tatbiqiy 
masalalarni matematikaviy tomondan tekshirish malakalarini hosil qilish kabilar talab 
qilinadi. 
Uslubiy  qo‘llanma  bakalavriatning  5521900  –  «Informatika  va  axborot 
texnologiyasi»,  5522200  –  “Telekommunikasiya”,        5140900  –  “Kasb      ta’lim 
(Informatika va axborot texnologiyalari)”, 5811100 -  «Korxonalar servisi» (edektron 
va  komp’yuter  texnikasi)      ta’lim  yo‘nalishlari    uchun  mo‘ljallangan  bo‘lib,  u 
amaldagi  davlat  ta’lim  standartlari  va  «Oliy  matematika»  fani  namunaviy  dasturiga 
asosan tuzildi. 
      
 O’quv–uslubiy ko’llanma  ikkinchi,  uchinchi  va  yuqori tartibli  determinantlar, 
matritsa,  chiziqli  tenglamalar  sistemasi,  vektorlar,  chiziqli  fazo,  fundamental 
yechimlar  sistemasi,  tekislik  va  fazodagi  to’g’ri  burchkli  Dekart  koordinatalar 
sistemasi,  vektorlarning  skalyar,  vektor  va  aralash  ko`paytmalari,  tekislikda  to’g’ri 
chiziq,  ikkinchi  tartibli  chiziqlar,  fazoda  tekislik  va  to’g’ri  chiziq,  sirtlar,  kompleks 
sonlar,  to’plam,  to’plamlar  ustida  amallar,  haqiqiy  sonlar,    sonlar  ketma-ketligi  va 
uning  limiti,  funksiyaning  limit,    funksiyaning  uzluksizligi,  funksiyaning  hosilasi  va 
differensiali, funksiyaning yuqori tartibli hosilasi va    differensiali, Lopital qoidalari 
va    Teylor  formulasi,    funksiyani  to’liq  tekshirish,  aniqmas,  aniq  va  xosmas 
integrallar hamda  ularning   tadbiqlari mavzularini o’z ichiga olgan.  
        

 
7 
1-amaliy mashg’ulot. 
 
 2-, 3-, 

n
 TARTIBLI DETERMINANTLAR. HISOBLASH USULLARI 
 
1. Determinantlarni hisoblang: 
8
5
5
3
)
a
; 
cd
bd
ac
ab
b)
;   




cos
cos
sin
sin
)
c
;   
b
og
a
og
d
a
b


1
1
)
;                                                                                                                                                                                                                                                  




sin
cos
1
1
sin
cos
)
i
i
e


;           
bi
a
di
c
di
c
bi
a
f





)
. 
2. Determinantlarni hisoblang: 
6
3
1
0
2
3
4
5
1
)



a
;               
0
2
2
2
0
2
2
2
0
)
b
;             
9
8
7
6
5
4
3
2
1
)
c
; 
b
a
c
a
c
b
c
b
a
d )
;        
0
0
0
0
)
e
d
c
b
a
e
;  
1
cos
sin
1
cos
sin
1
cos
sin
)






f
; 
1
1
1
0
1
0
1
)
i
i
i
i
g



; 
 
)
2
3
2
1
(
1
1
1
)
2
2
2
i
h










; 
)
3
4
sin
3
4
cos
(
1
1
1
1
1
)
2
2







i
i


. 
 
3. Determinantlarni yoymasdan turib, quyidagi ayniyatlarni isbotlang: 
)
)(
)(
(
1
1
1
)
b
c
a
c
a
b
ab
c
ca
b
bc
a
a




; 
 
)
)(
)(
)(
(
1
1
1
)
3
3
3
2
2
2
b
c
a
c
a
b
bc
ac
ab
c
b
a
c
b
a
b






; 

 
8 
2
2
2
1
1
1
1
1
1
)
c
c
b
b
a
a
ab
c
ca
b
bc
a
c

;   
2
2
2
3
3
3
1
1
1
)
(
1
1
1
)
c
c
b
b
a
a
c
b
a
c
c
b
b
a
a
d



. 
4. 
x
x
x
x
x
x
a
2
2
1
3
2
1
2
1
3
2
1
5
)
  determinantning  x
4
  va  x
3
  ni  saqlovchi  hadlarni  toping.
 
 
 
x
x
x
x
b
1
3
5
2
1
3
2
3
1
3
2
1
)
, determinantning  x
4
, x
3
 va x
2
 ni saqlovchi hadlarni toping. 
 
 
5. 
d
c
b
a
a
3
2
1
1
2
3
1
2
2
1
1
1
)
  determinantni 4-ustun elementlari bo’yicha yoying; 
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
)
d
c
b
a
b
 determinantni 1-ustun elementlari bo’yicha yoying; 
 
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
)






d
c
b
a
c
 determinantni 3-satr elementlari bo’yicha yoying. 
6. Determinantni uni yoymasdan turib hisoblang: 

 
9 
1
2
2
2
1
1
1
b
a
a
c
c
b
b
a
c
a
c
b
c
b
a



. 
7.  Determinantning  xossalaridan  foydalanib  (satr  va  ustun  bo’yicha  yoyishni 
ham hisobga olganda) ayniyatlarni isbotlang: 
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
c
b
a
abc
a
c
b
b
a
c
b
a
c
c
b
a
a






; 
)
)(
)(
)(
)(
)(
(
)
)(
)(
)(
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
y
c
y
b
y
a
x
c
x
b
x
a
y
x
c
b
c
a
b
a
y
c
x
c
y
b
x
b
y
a
x
a
b

















;    
;
cos
cos
)
1
(
)
cos
1
(
)
cos
1
(
)
cos
1
(
cos
)
1
(
)
cos
1
(
)
cos
1
(
)
cos
1
(
cos
)
1
(
)
2
2
2
2
2
2
2























c
c
cb
ca
bc
b
b
ba
ac
ab
a
a
c
2
2
2
2
2
)
(
)
d
c
b
a
a
b
c
d
b
a
d
c
c
d
a
b
d
c
b
a
d










;        
d
ac
bc
ab
c
b
a
d
c
b
a
c
b
a
e
2
2
2
2
0
1
1
1
0
1
1
1
0
)
2
2
2







. 
8. Determinantlarni hisoblang: 
 

 
10 
3
1
2
5
3
2
1
2
2
1
3
1
5
7
2
1
)




a
;     
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
)
b
;     
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
)
c
;         
4
2
3
1
6
1
2
4
3
0
1
2
5
2
1
3
)




d
;              
 
13
6
7
9
11
1
2
4
4
3
1
1
3
8
6
10
)




e
; 
3
2
4
2
4
1
2
3
2
3
4
3
1
3
3
1
)
f
;   
1
2
3
4
2
1
4
3
3
4
1
2
4
3
2
1
)






g
;  
5
8
6
3
9
6
9
5
6
4
3
2
2
9
7
4
)

h
; 
4
3
4
4
3
3
1
3
4
1
2
2
4
3
2
1
)
i
; 
1
0
0
8
17
0
1
0
17
25
0
0
1
2
8
0
0
0
7
4
0
0
0
3
2
) 
j
; 
1
8
0
6
7
5
4
2
2
3
2
3
4
3
13
1
0
1
4
8
1
3
3
1
5
)






k
;   
2
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
1
5
1
1
1
1
1
6
)
e
;  
 
9. Laplas teoremasidan foydalanib, quyidagi determinantlarni hisoblang: 
 a)  
1
6
5
4
9
5
4
3
7
4
3
2
1
0
0
1




;     b)   
0
4
3
0
5
201
183
6
0
3
2
0
4
79
62
5

;      c)   
2
1
4
5
0
2
1
3
0
7
0
2
2
5
1
3



; 
 
d)      
0
6
4
5
7
0
0
0
0
1
0
4
0
3
5
0
2
0
0
3
5
8
6
7
9
;    e)    
1
2
0
0
0
2
1
2
0
0
3
2
1
2
0
4
3
2
1
2
5
4
3
2
1
;          f)   
3
0
4
0
3
0
4
0
3
0
4
0
3
0
2
0
3
0
2
0
3
0
2
0
1
; 
  
10.  Quyidagi  determinantlarni  avval  almashtirishlar  bajarib  soddalashtiring, 
so’ng  Laplas teoremasidan foydalanib hisoblang: 
 

 
11 
a)   
4
7
7
11
5
9
5
8
1
1
1
2
1
1
1
3


;    b)   
6
8
6
8
7
9
7
9
6
8
6
8
7
9
7
9




;    c)  
6
4
3
2
8
6
4
3
9
6
6
4
12
9
8
6








; 
 
d)    
416
417
416
417
418
419
418
419
106
295
157
344
137
162
186
213
;   
                  e)    
9
3
6
2
1
6
2
4
5
2
3
1
2
2
1
6
1
4
9
7
4
1
3
10
8





; 
 Mustaqil yechish uchun misollar va masalalarning javoblari 
 
1. a)  -1;  b) 0;  s) sin(

 - 

);  d) 0;  e) 0; f) a
2 
+ b
2 
+ c
2 
+ d
2.
 2. a)  -50; b)  16;      с)  0;     
в) 3abc -a
3 
- b
3 
- с
3
;   e) 0;    f) sin(

 - 

) + sin(

 - 

) + sin(

 - 

);   g) –2; h) 0;   i)  3i 
3 . 4. a) 10 x
4
, - 2x
2
,  - 3x
3
;  b) x
4
, -x
3
, -32x
2