O’z-o’zini tekshirish uchun savollar

O’z-o’zini tekshirish uchun savollar:
1. Son va raqamning bir biridan farqi?

2. Natural va butun sonlar?

3. Tub va muurakkab sonlar qanday sonlar?

4. EKUB va EKUK?

1. Buyumlarni sanash yoki bir xil buyumlar orasidan biror buyumning tartib raqamini ko’rsatish uchun foydalaniladigan 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,………….n sonlari natural sonlari deyiladi.

Harqanday natural son 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 raqamlari yordamida yoziladi. Masalan, 2457 yzuvida 2-minglar raqami, 4-yuzlar raqami, 5-o’nlar raqami, va 7-birlar raqami ekanini bildiradi, 2457=2*1000+4*100+5*10+7

2. Sizga boshlang’ich nazariyadan ma’lumki natural sonlar bu tabiiy (tabiat) sonlaridir. Bu so’z inglizcha natural so’zidan olingan bo’lib , o’zbek tilida tabiiy degan ma’noni bildiradi. Bu tabiiy sonlar ya’ni sonoqda ishlatiladigan sonlarni 1, tub sonlar va murakkab sonlarga ajratib o’rganish bizga natural sonlarni ya’nada yaxshiroq tushunishimizga yordam beradi. Har qanday N natural sonni quyidagicha yozish mumkin:

N = a_nqⁿ + a_n-1q^n-1 +……+ a₁q+ a₀ (1)

bunda 0 (i = 1,2,……,n) shart o’rinli bo’ladi.

Bu yuqoridagi (1) formula N natural sonni q asosli sanoq sistemasida yozish deb nomlaymiz va qisqacha ko’rinishi N_(q) deb belgilaymiz .

Bunga misol tariqasida ikkilik, sakkizlik va o’nlik `sanoq sistemasida (1) formula quyidagicha:

Ikkilik sanoq sistemasida

N=N₍₂₎ = a_n2ⁿ + a_n-12^n-1 +……+ a₁2+ a₀

bunda 0 (i = 1,2,……,n) shart o’rinli bo’ladi.

Sakkizlik sanoq sistemasida yuqoridagi(1) formula quyidagicha:

N=N₍₈₎ = a_n8ⁿ + a_n-18^n-1 +……+ a₁2+ a₀

bunda 0 (i = 1,2,……,n) shart o’rinli bo’ladi

Sakkizlik sanoq sistemasida yuqoridagi(1) formula quyidagicha:

N=N₍₁₀₎ = a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 +……+ a₁10+ a₀ (2)

bunda 0 (i = 1,2,……,n) shart o’rinli bo’ladi.

3. Tub sonlar bu cheksiz natural sonlar ichida qanday qonuniyat bilan taqsimlanganini hali hech kim aniqlay olmagan. Lekin ba’zi tub sonlarni quyidagicha qonuniyat bilan yozish mumkin.

p = 4k+1 va p = 6k+5

Buni misollarda o’zingiz sinab ko’ring.

Agar siz berilgan N natural sonni murakkab yoki tub son ekanligini aniqlashiz uchun bu sonni  dan kichik bo’lgan barcha tub sonlarga bo’lib ko’rishingiz kerak. Agar hech qaysi tub songa bo’linmasa, unda bu natural son tub son bo’ladi.

Har qanday murakkab sonni tub ko’paytuvchilarga ajratish mumkin. Uning umumiy ko’rinishi (kanonik yoyilmasi ) quyidagicha bo’ladi.

n =  (bunda p₁, p₂ …….p_k – tub sonlardir). (3)

Bu n natural sonning natural bo’luvchilari soni quyidagicha topiladi.

Agar sizda n natural sonini tub ko’paytuvchilarga ajratilgan holati ma’lum bo’lsa, siz  sonini natural bo’luvchilari sonini quyidagicha aniqlashiz ham mumkin.

N natural sonining natural bo’luvchilari yig’indisini topish uchun bu sonni eng avvalo tub ko’paytuvchilarga ajratish kerak ya’ni yuqoridaga (3) orqali ko’rinishda keltirish kerak.

S(n) = 

N natural sonining barcha natural bo’luvchilari ko’paytmasi quyidagicha topiladi.
P(n) = 
1 dan n gacha bo’lgan natural sonlar ichida n soni bilan o’zaro tub bo’lgan natural sonlar soni quyidagicha topiladi.

Agar n! =  ko’rinishda yoyilgan bo’lsa, (bunda p₁, p₂ …….p_k – tub sonlardir)

 aniqlanadi. ( [x] – x sonining butun qismi)

Fermning kichik teoremasi

Ixtiyoriy p tub soni va ixtiyoriy a natural soni uchun a^p – a soni p soniga qoldiqsiz bo’linadi.

Yoki yuqoridagi teoremaning boshqacha ko’rinishi quyidagicha;

a^p-1-1 soni p soniga qoldiqsiz bo’linadi. Bunda p tub son va a soni p soniga bo’linmaydi.

4. Siz sonlarning eng katta umumiy bo’luvchisini topishda odatda sonlarning kanonik yoyilmasidan foydalanasiz. Ya’ni n sonining kanonik yoyilmasi

n =  (bunda p₁, p₂ …….p_k – tub sonlardir).

Lekin sonlarning eng katta bo’luvchisini topish masalasi bevosita Evklid algoritmi tushunchasi bilan bog’liqdir. Ya’ni bu algoritm quyidagicha.

Berilgan a va b (a>b) natural sonlarning eng katta umumiy bo’luvchsi EKUB(a,b) uchun Evklid algoritmidan foydalanamiz, ya’ni:

a = bq₁ + r₁ (0 r₁

b = r₁ q₂ + r₂ (0 r₂< r₁)

r₁ = r₂ q₃ + r₃ (0 r₃< r₂)

……………………………..

r_n-2 = r_n-1 q_n + r_n (0 r_n< r_n-1)

r_n-1 = r_n q_n+1 r_n+1=0

Hosil qilingan noldan farqli a va b sonlarning EKUBi r_n = EKUB(a,b) dan iborat bo’ladi.

Misol: Evklid algoritmidan foydalanib EKUB (3n+1;10n+3) ni hisoblang.

Yechim: 10n+3 = (3n+1)*3+n

3n+1=n*3+1

n = 1*n
Demak EKUB (3n+1;10n+3)=1