Основными элементарными функциями Элементарной функцией Неэлементарной функцией

ГРАФИКИ НЕЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ
ПЛАН

1. 
   Основными элементарными функциями
   
2. 
   Элементарной функцией
   
3. 
   Неэлементарной функцией
   

Аналитически заданные функции, записанные в явной форме, принято разделять на основные элементарные функции, элементарные функции и неэлементарные функции.
Основными элементарными функцияминазываются следующие функции:
постоянная функция  ;
степенная функция  ;
показательная функция  , где a > 0, a ¹ 1;
логарифмическая функция  , где a > 0, a ¹ 1;
тригонометрические функции  ;
обратные тригонометрические функции  ,  ;
гиперболические функции  .
Большинство этих функций изучались в элементарной математике. Их определения, основные свойства и графики нужно знать на память. Повторению этих функций, а также определению гиперболических функций посвящен изучаемой темы.
Элементарной функциейназывается функция, которая записывается одной формулой вида  , где справа стоящее выражение  составлено из основных элементарных функций и чисел при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции функций.
Например, к элементарным относятся следующие функции:
 ;   ;   ;   .
Неэлементарной функциейназывается функция, которая не относится к элементарным; например, если она не записывается одной формулой или содержит бесконечное число арифметических операций.
Например, нелементарным являются следующие функции:
1) 
2) функция Дирихле: 
3) 

Замечание.Иногда к основным элементарным функциям относят еще и т.н. гиперболические функции и обратные к ним. Все эти функции достаточно просто выражаются через показательную и логарифмическую функции.
а) синус гиперболический  : D(y) = R, E(y) = R, нечетная; обратная функция имеет вид y = Arshx =  .
б) косинус гиперболический  : D(y) = R, E(y) = [1, +¥), четная; обратная функция имеет вид y = Archx =  ,  (у функции chx берется ветвь  ).
в) тангенс и котангенс гиперболическиеопределяются так же как и в тригонометрии:
,  .
Обратная функция для y = thx – это y = Arthx =  . Графики гиперболических функций:

II Элементарные функции
Определение. Элементарной называют функцию, которая может быть задана явно одной формулой, содержащей конечное число арифметических операций и суперпозиций, примененных к основным элементарным функциям.
Следует отметить, что некоторые функции, заданные несколькими формулами (т.е., вообще говоря, неэлементарные) иногда удается записать одной формулой. Примером служит функция y = |x|. По определению

В то же время имеем:  . Таким образом, функция y = |x| - элементарная. Ее график:

III Примеры неэлементарных функций
1) 
(читается «у равно сигнум х»).
2) y = [x], где [x] - целая часть числа x
(читается «y равно антье x»).
Эта функция неэлементарная, ибо задается не формулой, а словесно:
[x] - наибольшее целое, не превосходящее x.
Отметим одно свойство:  .

3) y = {x}, где {x}-дробная часть числа x, т.е. {x} = x - [x].
В пособии рассматриваются различные классы функций и методы построения их графиков. Особое внимание уделено графикам функций, заданных неэлементарно (например, с помощью пределов); заданных параметрически и т. п. В основном приводятся графики функций, широко используемых в различных областях инженерных знаний.
Для студентов ВУЗов и специалистов, интересующихся вопросами математики.

ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ.
Элементарными функциями называются функции, определяемые формулами, содержащими конечное число операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, взятия логарифма, вычисления тригонометрических функций.

Знание элементарных функций и их свойств является необходимым условием для изучения поведения всех других функций. Для построения графика функции любой сложности нужно твердо знать графики элементарных функций. В данном разделе будут рассмотрены простейшие элементарные функции.

Линейная функция y=kx+b.
Графиком линейной функции является прямая. Этот график удобно строить по двум точкам: точке В с координатами х=0, у=b и точке А с координатами y=0, x= -b/k (k=0) (рис. 28). Эти точки являются точками пересечения прямой с осями координат.