Определение матрицы и пояснение нумерации элементов

1. 
   Определение матрицы и пояснение нумерации элементов
   

Матрицей размера n X m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами. Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.
Строки матрицы нумеруются сверху вниз, а столбцы – слева направо.

2. 
   Порядок и размер матрицы
   

Порядок имеет только матрица которая квадратная, а квадратная она если у нее количество строк равно количеству столбцов.
Строки обозначаются: M
Столбцы обозначаются: N

Пример 1 : если m=4 и n=4 они равны между собой значит это матрица 4 порядка.

Пример 2 : m=3 а n=5 они не равны между собой, следовательно у этой матрицы нету порядка.

3. 
   Сложение и вычитание матрицы
   

Складывать и вычитать можно матрицы одного размера в результате получается матрица того же размера.
Сложение матриц (сумма матриц) A + B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:
сij = aij + bij
Вычитание матриц (разность матриц) A - B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной разности всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:
сij = aij – bij

4. 
   Умножение матрицы на число
   

Произведением матрицы A на число k называется матрица B = k · A того же размера, полученная из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:
bi,j = k · ai,j



Свойства умножения матрицы на число
1 · A = A
0 · A = Θ, где Θ - нулевая матрица
k · (A + B) = k · A + k · B
(k + n) · A = k · A + n · A
(k · n) · A = k · (n · A)

5. 
   Какие действа с матрицами называют линейными?
   

Линейными операциями называются операции сложения матриц и умножения матрицы на число.

6. 
   Перечислить свойства линейных операций
   

1. 
   Коммутативность: A+B = B + A
   
2. 
   Ассоциативность: A+B+C=(A+B)+C=A(B+C)
   
3. 
   Дистрибутивность относительно умножения на число y x (A+B)=y x A + y x B
   

7. 
   Сформулировать правило умножения матриц.
   

Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что матрицы согласованы. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.

8. 
   Перечислить свойства произведения матриц
   

1. 
   Ассоциативность (A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)
   
2. 
   Ассоциативность по умножению (μ⋅A)⋅B=μ⋅(A⋅B)(μ⋅A)⋅B=μ⋅(A⋅B)
   
3. 
   Дистрибутивность A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅CA⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C, (A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C(A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C,
   
4. 
   Умножение на единичную матрицу Em⋅Am×n=Am×n⋅En=Am×nEm⋅Am×n=Am×n⋅En=Am×n
   
5. 
   В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. AB≠BAAB≠BA
   
6. 
   EA=A
   

9. 
   Дать определение минора 𝑀𝑖𝑗 элемента определителя
   

Если в определителе n-го порядка вычеркнуть i строку и j столбец, то оставшийся определитель (n-1)-го порядка называется минором данного элемента aij и обозначается Mij. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Главным минором k-го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении ее k строк и k столбцов с одинаковыми номерами.
Угловым минором k-го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении ее первых k строк и первых k столбцов.
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя D называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j.

10. 
    Перечислить основные свойства определителей.
    

1. 
   При замене столбцов строками с тем же номером (при транспони-ровании) определитель своего значения не меняет, т.е. строки и столбцы у определителя равноправны.
   
2. 
   Определитель, содержащий строку (столбец) из нулей, равен нулю.
   
3. 
   При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
   
4. 
   Определитель, содержащий две равные строки (столбца), равен нулю.
   
5. 
   Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
   
6. 
   Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбцы) равен нулю.
   
7. 
   Если все элементы строки (столбца) представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, каждый из которых имеет строку (столбец) из соответствующих слагаемых элементов.
   
8. 
   Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответст-вующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель своего значения не изменит.