Oliy matematika

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI

OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

QARSHI MUHANDISLIK-IQTISODIYOT INSTITUTI

“OLIY MATEMATIKA” KAFEDRASI

Mavzu: Integrallashning asosiy usullari.





Bajardi: “IE-12” guruh talabasi Yusupov Doston

Qabul qildi: Raxmonov Buron

Qarshi 2013
Reja:

1. 
   Bevosita integrallash usuli.
   
2. 
   Differensial belgisi ostiga kiritish usuli.
   
3. 
   O’zgaruvchini almashtirish usuli.
   
4. 
   Bo’laklab integrallash usuli.
   

1. 
   Bevosita integrallash usuli
   

Bu usulda integral ostidagi funksiyani formulalar yordamida almashtirish hamda aniqmas integralning asosiy xossalari va asosiy integrallar jadvalidan foydalanib integral topiladi.

1-misol topilsin.

Yechish.

tenglikka ega bo’lamiz. Bundan,

bo’lganligi sababli

bo’ladi.

Har bir qo’shiluvchini integrallash natijasida o’zining o’zgarmaslari с₁ , с₂ va с₃ ga ega bo’ldik. Oxirgi natijaga bitta ixtiyoriy o’zgarmas c ni yozamiz, chunki c₁,c₂,c₃ ixtiyoriy o’zgarmas bo’lganda c=3c₁ +8c₂ –c₃ ham ixtiyoriy o’zgarmas bo’ladi.

Shunday qilib tenglikka ega bo’lamiz.

Olingan natijaning to’g’riligiga differensiallash orqali ishonch hosil qilish qiyin emas. Haqiqatan,

Bundan buyon har qaysi qo’shiluvchini integrallagandan so’ng ixtiyoriy o’zgarmasni yozmaymiz, chunki bu o’zgarmasning yig’indisi yana o’zgarmas bo’lganligi uchun, uni biz oxirida yozamiz.

2-misol. integral topilsin.

Yechish. Elementar matematikadan ma‘lum darajani pasaytirish formulasidan foydalanib berilgan integralni ko’rinishida yozish mumkin. Bundan,

kelib chiqadi va quyidagi tenglikka ega bo’lamiz.

.

3-misol. integral topilsin.

Yechish. с formulaga asoslanib berilgan integralni ko’rinishida yozamiz.

tenglikka ega bo’lamiz. Integrallar jadvalidagi formulalardan foydalanib quyidagini hosil qilamiz: .

4- misol. topilsin.

Yechish.

Bu yerda sin² x+cos² x=1 trigonometrik ayniyatdan hamda aniqmas integralning xossasidan foydalanish natijasida berilgan integral jadval integrallarining yig’indisiga keltirildi.

5-misol. topilsin.

Yechish.



2.Differensial belgisi ostiga kiritish usuli

Bu usulda integral ostidagi ifodalarni ko’rinishini o’zgartirish hisobiga jadval integraliga keltiriladi.

Bu usul bilan aniq misollar yordamida chuqurroq tanishib chiqamiz.

6-misol. .

7-misol.



8-misol.

9-misol. .

10-misol.



11-misol.



12-misol.



13-misol. .

14-misol. .
3. O’zgaruvchini almashtirish usuli

Jadvalga kirmagan integralni hisoblash talab qilinganda bu usulga murojaat qilinadi. almashtirish kiritamiz, bunda uzluksiz, uzluksiz hosilaga hamda teskari funksiyaga ega bo’lsin. U holda bo’lib,

(1)

ekanini isbotlaymiz. Bu tenglikning to’g’riligini ko’rsatish uchun uning o’ng tomonidagi ifodalarning х bo’yicha hosilasi uning chap tomonidagi integral ostidagi funksiyaga tengligini ko’rsatamiz.

Murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasiga binoan

tenglikka ega bo’lamiz. Aniqmas integralning 1-xossasiga ko’ra

bo’lishini hamda o’zaro teskari funksiyalarning hosilalari orasida munosabat mavjudligini hisobga olsak

kelib chiqadi.

Bu (1) tenglikni to’g’riligini ko’rsatadi. (1) tenglikning o’ng tomonidagi integral topilgandan keyin chiqqan natijaga t ning tenglamadan topilgan x orqali qiymati ni qo’yish lozim.

Izoh. Ba‘zi hollarda o’zaruvchini ko’rinishda emas, balki kabi olgan ma‘qul.

Masalan,

.

Bundan buyon o’zgaruvchini almashtirish jarayonini integraldan so’ng vertikal kesmalar orasiga yozamiz.

Endi o’zgaruvchini almashtirib integrallashga bir necha misollar ko’ramiz.

15-misol.

formuladan t ni х orqali ifodalaymiz:

Demak,

16- misol.

17-misol.

18-misol.



19-misol..

20-misol. . tenglikdan ni hosil qilamiz, natijada .
4. Bo’laklab integrallash usuli

Faraz qilaylik, u(x), v(x) differensiallanuvchi funksiyalar bo’lsin. U holda yoki bo’lishi ravshan. Oxirgi tenglikni ikkala qismini integrallab yoki (2)

bo’laklab integrallash formulasi deb yuritiluvchi formulaga ega bo’lamiz.

Bo’laklab integrallashning mohiyati shundan iboratki, berilgan integralni hisoblashda integral ostidagi ifodani udv ko’paytma shaklida tasvirlab va (2) formulani tadbiq qilinsa, berilgan integralni jadval integrali yoki osongina topiladigan integral bilan almashtiriladi. Integrallarni bo’laklab integrallash usuli bilan hisoblashda muhim o’rinni u va dv ifodalarni qanday tanlanishi egallaydi.

Qanday hollarda larni qanday tanlashni qaraylik.

I.

turdagi integrallarni bo’laklab integrallash uchun deb olib qolgan ifodalarni dv orqali belgilash ma‘qul, bunda n- darajali ko’phad, а o’zgarmas son.

II.

turdagi integrallarni bo’laklab integrallash uchun transendent ko’paytuvchini u va deb olish maqsadga muvofiq.

III. (a,b-o’zgarmas sonlar) turdagi integrallar uchun esa va qolgan ko’paytuvchilarni dv deb olish ma‘qul.

Bo’laklab integrallash jarayoniga tegishli belgilashlarni ham xuddi o’zgaruvchini almashtirish usulidagidek integraldan so’ng vertikal kesmalar orasiga yozamiz.

21-misol. topilsin.

Yechish. desak bo’lib, (2) formulaga binoan kelib chiqadi.

22- мисол. .

23-misol.

24-misol.

25-misol.

26-misol.



Shunday qilib,

tenglikka ega bo’ldik. Bu tenglamani berilgan J integralga nisbatan yechib uni topamiz.

Demak, .

ADABIYOTLAR

1. 
   Т.Азларов, Ҳ.Мансуров. Математик анализ. 1-қисм. Тошкент «Ўқитувчи», 1986.
   
2. 
   Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Москва, «Наука”, 1980.
   
3. 
   А.А.Гусак. Высшая математика. 1-том. Минск, 2001.
   
4. 
   Т.Жўраев, Ҳ.Мансуров ва бошқ. Олий математика асослари. 1-қисм. Тошкент «Ўқитувчи», 1999.
   
5. 
   И.А.Зайцев. Высшая математика. Москва, «Наука”, 1991.
   
6. 
   Д.В.Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва, «Наука”, 1986.
   
7. 
   Х.Р.Латипов, Ш.Таджиев. Аналитик геометрия ва чизиқли алгебра. Тошкент «Ўқитувчи»,1995.
   
8. 
   В.П.Минорский. Сборник задач по высшей математике. Москва, «Наука”, 2000.