Navoiy davlat pedagogika instituti fizika -matematika fakulteti matematika-informatika ta

 

1 

O’ZBEKISTON  RESPUBLIKASI  XALQ TA’LIMI VAZIRLIGI                                                                                                      

 

 

NAVOIY DAVLAT  PEDAGOGIKA INSTITUTI 

 

 

 

FIZIKA –MATEMATIKA FAKULTETI 

 

MATEMATIKA-INFORMATIKA TA’LIM YO’NALISHI  

 

                       “UMUMIY MATEMATIKA” 

 

 

 

 

 

KAFEDRASI 

 

 

 

 

 

 

 

Mavzu: Aniq integralni taqribiy  hisoblash va uning 

tadbiqlari

 

 

 

 

                                      

Bajardi:  4-A matematika-informatika yo`nalishi  

                                                  talabasi  Sattorova Shaxnoza                 

                                  Ilmiy  rahbar: prof.Imomqulov S.A 

 

 

 

 

 

 

2 

                                                        

Navoiy-2012y. 

 

Mundarija 

 

Kirish.................................................................................. 

 

1- §.  Aniq integrallarni hisoblash …………………... 

  

2- §. Aniq integralni taqribiy hisoblash  …………….. 

3- §.Aniq integralning bazi tadbiqlari …………….. 

4- §.Yoy uzunligi va uni hisoblash…………………. 

 

Xulosa……………………………………………………… 

 

Foydalanilgan adabiyotlar………………………………….. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 

 

Kirish 

 

Qadim  zamonlardan buyon odamlar ekin maydoni yuzalarini o`lchash 

uchun ekin maydonini kichik to`rtburchaklarga ajratib, so`ngra ularning yuzalarini 

qo`shib  maydon yuzi  kattaligini taqribiy topishgan.  Xuddi shu usulni Arximed 

geometric figuralarni yuzasi va hajmini topishda qo`llagan. Nyuton barcha 

fizikaviy hodisalar differensiallash va integrallash amallarining ketma-ket 

takrorlanish natijasida ro`y berishini kuzatadi. Shu prinsipni qo`llab ko`pgina 

natijalarga erishadi. Shu sababli ham integral va differensial tushunchalari nyuton 

nomi bilan bo`g`liq. 

  I n t e g r a l  

t u s h u n c h a s i  

matematik 

analizning 

asosiy 

tushunchalaridan  biri  bo’lib  matematika,  fizika,  mexanika  va  boshqa 

fanlarning  eng  kuchli  quroli  hisoblanadi.  Egri      chiziqlar  bilan 

chegaralangan  yuzlarni,  egri  chiziq  yoylari  va  uzunliklarini,  hajmlarni, 

ishlarni,  tezliklarni,  yo’llarni,  inersiya  momentlarini  va  hokazolarni 

hisoblashga  ishlarining  hammasi  integral hisoblashga keltiriladi. 

       

 

[a,b]  kesmada 

  uzlusiz    funksiya  berilgan  bo’lsin  uning  bu 

kemadagi eng kichik  va eng kata qiymatlarini m va M bilan belgilaymiz 

[a,b] kesmani   

                          

 

 

 

4 

nuqtalar bilan n ta  qismga ajratamiz .           

 

deb hisoblaymiz va  

 

Deb  faraz  qilamiz.  So`ngra

    Funksiyaning  eng  kata  va  eng  kichik 

qiymatlarini  

                            [

 kesmada m

1

 va M

1

 bilan, 

                            [

 kesmada m

2

 va M

2

 bilan, 

……………………………………… 

[

 kesmada m

n

 va Mn bilan, 

belgilaymiz,endi  

 

               (1)

 

 

             (2)

 

yig’indilarni  tuzamiz. 

  quyi  integral  yig’indi  deb 

 

esa    yuqori 

integral yig’ndi deb ataladi. 

Agar 

  bo’lsa  u  holda  quyi    integral  yig’indi  son qiymati  ichki        

chizilgan zinasimon shaklning  

AC

0

N

1

C

1

N

2…

C

n-1 

N

n

BA  siniq  chiziq 

bilan  chegarlangan  yuzaga  teng 

bo’lib  yuqori  integral  yig’indining 

son  qiymati  esa  Tashqi  chizilgan 

zinasimon  

 

5 

                       AK

0

C

1

K

1…

C

n-1

K

n-1

C

n

BA 

Saklning siniq chiziq bilan chegaralangan yuziga teng 

Yuqori va quyi integral yig’indining ba’zi xossalarini ko’rsatib o’tamiz. 

Har qanday 

  uchun 

 bo’lgani sababli,  (1) va (2) 

formulaga muvofiq  

 

 bo’lgan holdagina tenglik belgisi bo’ladi  

   bo’lgani  uchun m(f(x)) funksiyaning 

[a,b] kesmada eng kichik qiymati)  

 

 

Shunday qilib  

 

 

bo’lgani sababli (m(f(x) funksiyaning [a,b] kesmada eng katta  qiymati)  

 

 

Shunday qilib  

 

Hosil qilingan tengsizlikni birgalikda yozamiz: 

 

Agar 

  bo’lsa  bu  tengsizliklar  soda  geometric  ma’noga  ega 

chunki   

 

6 

  va   

  qiymatlariga  mos  tartibda  ichki    chizilgan 

AL

1

L

2

B  to’g’ri  to’rtburchak  yuziga  tashqi  chizilgan 

to’g’ri 

to’rtburchak yuziga teng 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 

 

 

1. Aniq integrallarni hisoblash 

 

1

0

. Aniq integrallarni ta’rifga ko`ra hisoblash. Aytaylik, 

])

,

([

)

(

b

a

R

x

f



 

bo`lsin. Unda integral ta’rifiga ko`ra 















1

0

0

)

(

)

(

lim

n

k

b

a

k

k

dx

x

f

x

f

P





 

bo`ladi. 

1-Misol. Ushbu  



b

a

dx

x

sin

 

integral hisoblansin. 

◄  Ravshanki, 

]

,

[

sin

)

(

b

a

C

x

x

f





.  Demak, 

])

,

([

)

(

b

a

R

x

f



. 

]

,

[

b

a

 

oraliqni ushbu  

b

n

a

k

a

a

a

a

n

n

n

n



















,...,

,...,

2

,

,

 

nuqtalar yordamida, bunda 

,

n

a

b

n







n

 ta teng bo`lakka bo`lib, har bir  

)

1

,...,

2

,

1

,

0

(

]

)

1

(

,

[











n

k

k

a

k

a

n

n





 

bo`lakda 

k



 nuqtani quyidagicha  

)

1

,...,

2

,

1

,

0

(

)

1

(











n

k

k

a

n

k





 

tanlaymiz. U holda 

x

x

f

sin

)

(



funksiyaning integral yig`indisi quyidagicha  



























1

0

1

0

)

)

1

(

sin(

)

)

1

(

sin(

n

k

n

n

n

k

n

n

k

a

k

a











 

ko`rinishga ega bo`ladi.  

Ma’lumki,  













)

)

1

(

sin(

2

sin

2

2

sin

2

1

)

)

1

(

sin(

n

n

n

n

k

a

k

a









 

 

8 





















)

)

2

3

(

cos(

)

)

2

1

(

cos(

2

sin

2

1

n

n

n

k

a

k

a







 

bo`ladi. 

Natijada integral yig`indi uchun ushbu 

))

2

1

cos(

)

2

1

(cos(

2

sin

2

)

)

2

3

(

cos(

)

)

2

1

(

cos(

2

sin

2

1

0

n

n

n

n

n

k

n

n

n

n

b

a

k

a

k

a























































 

tenglikka kelamiz. 

Keyingi tenglikda 

0









n

k

P

x





 da limitga o`tib topamiz: 

b

a

xdx

b

a

cos

cos

sin







. ► 

2

0

. Nyuton-Leybnits formulasi. Aytaylik, 

)

(x

f

 funksiya 

]

,

[

b

a

 segmentda 

berilgan va shu segmentda uzluksiz bo`lsin. U holda 

)

(x

f

 boshlang`ich funksiya 





x

a

dt

t

f

x

F

)

(

)

(

 

ga ega bo`ladi. 

Ravshanki, 

)

(х



 funksiya 

)

(x

f

 ning ixtiyoriy boshlang`ich funksiyasi 

bo`lsa, u holda 

C

x

F

x

Ф





)

(

)

(

        

)

(

const

C



 

bo`ladi. 

Bu tenglikda, avval  

a

x



 deb 

С

а

Ф



)

(

, 

so`ngra 

b

x



 deb 







b

a

C

dx

x

f

b

Ф

)

(

)

(

 

bo`lishini topamiz. Demak, 

 

9 

                  







b

a

а

Ф

b

Ф

dx

x

f

).

(

)

(

)

(

                 

(1) 

(1) formula Nyuton-Leybnits formulasi deyiladi. 

Odatda,  

)

(

)

(

a

Ф

b

Ф



 ayirma 

b

a

x

Ф )

(

 kabi yoziladi. Demak, 

)

(

)

(

)

(

)

(

a

Ф

b

Ф

x

Ф

dx

x

f

b

a

b

a









. 

Masalan, 

a

b

a

b

x

dx

x

b

a

b

a

ln

ln

ln

ln

1











.      

)

0

,

0

(





b

a

 

3

0

. 

O`zgaruvchilarini 

almashtirish 

formulasi. 

Faraz 

qilaylik, 

]

,

[

)

(

b

a

C

x

f



 bo`lsin. Ravshanki, bu holda 



b

a

dx

x

f

)

(

 

integral mavjud bo`ladi. 

Ayni paytda, bu funksiya 

]

,

[

b

a

 da boshlang`ich 

)

(x

Ф

 funksiyaga ega bo`lib, 







b

a

a

Ф

b

Ф

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

 

bo`ladi. 

Aytaylik, aniq integralda 

x

 o`zgaruvchi ushbu 

)

(t

x





 

formula  bilan  almashtirilgan  bo`lib,  bunda 

)

(t



  funksiya  quyidagi  shartlarni 

bajarsin: 

1) 

]

,

[

)

(







C

t



  bo`lib, 

)

(t



  funksiyaning  barcha  qiymat-lari 

]

,

[

b

a

  ga 

tegishli; 

2) 

,

)

(

a







  

b



)

(





; 

3) 

)

(t



 funksiya 

]

,

[





 da uzluksiz 

)

(t





 hosilaga ega  bo`lsin. 

U holda  

 

10 











b

a

dt

t

t

f

dx

x

f









)

(

))

(

(

)

(

                   (2)  

bo`ladi. 

◄  Ravshanki, 

))

(

(

t

Ф



  murakkab  funksiya 

]

,

[





  segmentda  uzluksiz 

bo`lib, 

)

(

))

(

(

)

))

(

(

(

t

t

Ф

t

Ф

















 

bo`ladi. 

Agar 

)

(

)

(

x

f

x

Ф





ekanini e’tiborga olsak, unda 

)

(

))

(

(

)

))

(

(

(

t

t

f

t

Ф















 

bo`lishini topamiz. Bu esa 

))

(

(

t

Ф



 funksiya 

]

,

[





 da 

)

(

))

(

(

t

t

f









 funksiyaning 

boshlang`ich funksiyasi ekanini bildiradi. Nyuton-Leybnits formulasiga ko`ra 































)

(

)

(

))

(

(

))

(

(

)

(

))

(

(

a

Ф

b

Ф

Ф

Ф

dt

t

t

f

       (3 ) 

bo`ladi. 

(2) va (3)

 

munosabatlardan 











b

a

dt

t

t

f

dx

x

f









)

(

))

(

(

)

(

/

                       (4) 

bo`lishi kelib chiqadi. ► 

(4)

 

 formula aniq integralda o`zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi. 

2-misol. Ushbu  





1

0

2

1

dx

x

 

integral hisoblansin. 

◄ Berilgan integralda 

t

x

sin



 almashtirishni bajara-miz. Unda 

















2

0

2

2

0

2

1

0

2

cos

cos

sin

1

1





tdt

tdt

t

dx

x

 













2

0

2

0

4

)

2

sin

4

1

2

1

(

)

2

cos

2

1

2

1

(







t

t

dt

t

 

 

11 

bo`ladi. ►