Метод простой итерации

Исходная матрица.

0.97	0.05	-0.22	0.33	48
-0.22	0.45	0.08	-0.07	-1.8
0.33	-0.13	1.08	0.05	-0.78
-0.08	-0.17	-0.29	0.77	1.73

Метод простой итерации.
Прежде чем применять метод итераций, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы. Если при этом условие все таки не выполняется, то иногда удается обеспечить сходимость метода с помощью следующего метода.
Пусть дана система Ax = b. Преобразуем ее к виду: x= Qx + c
где Q = E - D•A, c = D•b
Здесь D - некоторая матрица. Нам необходимо подобрать такую матрицу D, чтобы выполнялось условие |Q| < 1.
Чтобы получить |Q| < 1, используем следующий способ.

Имеем СЛАУ: A x =b (1)
Предполагая, что a_ii ≠ 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x₁, второе – относительно x₂,…, n-ое уравнение – относительно x_n. В результате получим:
x₁=β₁ - α₁₂x₂ - α₁₃x₃ - ... - α_1nx_n
x₂=β₂ - α₂₁x₁ - α₂₃x₃ - ... - α_2nx_n
x_n=β_n - α_n1x_n - α_n3x₃ - ... - α_nn-1x_n-1
где β_i=b_i/a_ii; α_ij=a_ij/a_ii при i ≠ j; α_ii=0
Система (2) в матричной форме имеет вид:
x=β - αx
Прежде чем применять метод, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы.

0,97 0,05 -0,22 0,33 -0,22 0,45 0,08 -0,07 0,33 -0,13 1,08 0,05 -0,08 -0,17 -0,29 0,77

Систему будем решать методом последовательных приближений. Пусть x⁰=β, тогда:
x¹=b - a x⁰
x²=b - a x¹
....
x^k+1=b - a x^k
Приведем к виду:
x₁=49.485 - (0.0515x₂-0.23x₃+0.34x₄)
x₂=-4 - (-0.49x₁+0.18x₃-0.16x₄)
x₃=-0.722 - (0.31x₁-0.12x₂+0.0463x₄)
x₄=2.247 - (-0.1x₁-0.22x₂-0.38x₃)
Вычисления заканчиваются по критерию:

где

a = 0.489+0.178+0.156 = 0.8222

Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x₁=49.485 - 0*0.0515 - 0*(-0.227) - 0*0.34=49.485
x₂=-4 - 0*(-0.489) - 0*0.178 - 0*(-0.156)=-4
x₃=-0.722 - 0*0.306 - 0*(-0.12) - 0*0.0463=-0.722
x₄=2.247 - 0*(-0.104) - 0*(-0.221) - 0*(-0.377)=2.247
N=2
x₁=49.485 - (-4)*0.0515 - (-0.722)*(-0.227) - 2.247*0.34=48.763
x₂=-4 - 49.485*(-0.489) - (-0.722)*0.178 - 2.247*(-0.156)=20.67
x₃=-0.722 - 49.485*0.306 - (-4)*(-0.12) - 2.247*0.0463=-16.428
x₄=2.247 - 49.485*(-0.104) - (-4)*(-0.221) - (-0.722)*(-0.377)=6.233
N=3
x₁=49.485 - 20.67*0.0515 - (-16.428)*(-0.227) - 6.233*0.34=42.573
x₂=-4 - 48.763*(-0.489) - (-16.428)*0.178 - 6.233*(-0.156)=23.73
x₃=-0.722 - 48.763*0.306 - 20.67*(-0.12) - 6.233*0.0463=-13.422
x₄=2.247 - 48.763*(-0.104) - 20.67*(-0.221) - (-16.428)*(-0.377)=5.689
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	49.485	-4	-0.722	2.247	49.485	4	0.722	2.247
2	48.763	20.67	-16.428	6.233	-0.722	16.67	15.706	3.986
3	42.573	23.73	-13.422	5.689	-6.19	3.059	-3.006	-0.543
4	43.282	20.085	-11.138	6.854	0.709	-3.645	-2.285	1.164
5	43.592	20.206	-11.847	6.983	0.31	0.122	0.709	0.129
6	43.38	20.504	-11.933	6.775	-0.211	0.298	0.0861	-0.208
7	43.416	20.383	-11.823	6.786	0.0359	-0.12	-0.11	0.0114
8	43.444	20.383	-11.849	6.805	0.0273	-0.000222	0.026	0.0186
9	43.431	20.404	-11.858	6.798	-0.0122	0.0208	0.00922	-0.007
10	43.431	20.399	-11.852	6.798	-0.000784	-0.00542	-0.00656	-0.000139
11	43.432	20.397	-11.852	6.799	0.00182	-0.00157	0.000406	0.00119
12	43.432	20.398	-11.853	6.799	-0.000417	0.00115	0.000799	-0.000311
13	43.432	20.398	-11.853	6.799	-0.000134	-0.00011	-0.00028	-9.1E-5

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:

max[|x¹²,x¹³|] = ρ(x¹², x¹³) = |6.799 - 6.799| = 0.00028
Вычисляем погрешность: