O’zbekiston Respublikasi Qashqadaryo viloyati
Xalq ta’limi vazirligi xalq ta’limi boshqarmasi
Kitob tuman Davlat 1-ixtisoslashgan maktab-internati
aniq fanlar uslubiy birlashmasi
mavzusida bir soatli dars
1-ixtisoslashgan maktab-
internatning matematika
fani o’qituvchisi
Baxtiyor Abdiyev
Kitob-2015 yil
Oz-oz o’rganib dono bo’lur ,
Qatra-qatra yig’ilib daryo bo’lur.
Mavzu: Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya.
Maqsad :
1. Ta’limiy maqsadlar;
O’quvchilarni quyidagilar bilan tanishtirish:
-cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya;
-cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig’indisi;
-hayotda uchrasi mumkin bo’lgan iqtisodiy masalalarni hal qilishga
o’rgatish.
2. Tarbiyaviy maqsadlar;
-o’quvchilarni mantiqiy fikrlashga o’rgatish;
-o’quvchilarni muammolarni hal qila olishga, harakat qilishga
o’rgatish;
-o’quvchilarning ilmiy dunyoqarashini kengaytirish, axloqiy, estetik
tarbiya berish.
3. Rivojlantiruvchi maqsadlar;
- o’quvchilarni tatqiqot olb borishga qiziqishlarini orttirish;
-nazariy xulosa chiqara olishga o’rgatish;
-tengdoshlarining fikrlarini o’rganib o’z nuqtai nazari bilan taqqoslay
olish.
Bilimlar . Bu mavzuni o’rganish natijasida o’quvchilar quyidagi
bilimlarga ega bo’lishlari lozim:
-cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya nimaligini;
-cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya hadlari yig’indisini
hisoblash formulasi.
Ko’nikmalar:
- cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani aniqlay olish;
- cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig’indisi, formulasini
qo’llashga doir misol va masalalarni ishlay olish.
Darsni jihozlash.
-kvadrat yuzini bo’laklash tasvirlangan plakat;
-1 metr uzunlikdagi tayoqcha;
Darsda foydalaniladigan texnologiyalar.
-Tatqiqot texnologiyasi ( olingan bilimlar asosida kichik bir muammo
orqali yangi mavzuning yoritilishiga erishish )
D a r s n I n g b o r I s h i
I. Yangi darsni bayon etishga tayyorgarlik:
Biz avvalgi mavzularda geometrik progressiyani o’rganganmiz.
Ta’rifga ko’ra noldan farqli b1, b2 , b3, …, bn -1, bn,b n + 1 ,… , sonlar
uchun b n + 1 = bn∙q tenglik bajarilsa , bunday ketma-ketlik geometrik
progressiya deyiladi, bunda q – nolga teng bo’lmagan son .
Shunday qilib geometrik progressiyaning maxraji q- noldan farqli
ixtiyoriy son bo’lishi mumkin.
Agar geometrik progressiyaning birinchi hadi b1 va maxraji q bo’lsa
shu geometrik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig’indisini
Sn = formula bilan hisoblanishini bilamiz.
Ushbu 1+3+9+27+81 +… yig’indida qatnashuvchi sonlar geomet-
rik progressiya tashkil etadi. Bu geometrik progressiyaning dastlab-
ki n ta hadining yig’indisini hisoblash mumkin, lekin uning barcha
hadlari yig’indisini hisoblab bo’lmaydi.
II. Yangi mavzuga yetaklovchi tatqiqot.
Sinfdagi o’quvchilar uchta guruhga bo’linadi. Kuchliroq o’quvchilar
har xil guruhlarga tushishdi. Guruhlarga ushbu masalani hal etish
topshiriladi.
1- masala Uzunligi 1 metr bo’lgan kesma olib uni teng ikkiga bo’l-
sak va bitta bo’lakni olib qo’yib ikkinchi bo’lakni yana teng ikkiga bo’l-
sak ,bitta bo’lakni olib qo’yib ikkinchi bo’lakni yana teng ikkiga bo’lsak
va shu ishni davom ettiraversak.
ь
Savollar :
1. Bo’laklashni necha marta bajarish mumkin?
2. Bo’laklar uzunliklariga teng bo’lgan sonlardan ketmf-ketlik tuzing.
-
Shu ketma-ketlik gemetrik progressiya bo’ladimi?
-
Ketma-ketlikning 1000000 hadi qaysi songa yaqinlashayapti?
-
Shu ketma-ketlik barcha hadlari yig’indisini hisoblash mumkinmi? Agar mumkin bo’lsa hisoblang.
Bu masalani hal etish uchun guruhlarga 5 minut vaqt beriladi va har
bir guruh fikrini bittadan o’quvchi bayon etadi.
Bunda quyidagilarga erishish zarur:
1) Bo’lishni cheksiz ko’p marta davom e’ttirish mumkin .
2) ,
3) Bu ketma-ketlik geometrik progressiya tashkil etadi va q=
4) Ketma-ketlining hadlari cheksiz kichiklashib, nolga intilyapti
5) Kesmalar uzunliklarining yig’indisi 1 ga teng,
= 1
Bu masalada, biz q= bo’lganda geometrik progressiyaning barcha
hadlari yig’ndisini hisoblay oldik. Umuman olganda agar <1
bo’lsa, geometrik progressiyaning barcha hadlari yig’ndisini hisob-
lash mumkin.
III. Yangi darsning bayoni
Ta’rif: Maxrajning moduli birdan kichik bo’lgan geometrik progress-
siya cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya deyiladi.
Masalan, ushbu geometrik progressiyalar cheksiz kamayuvchi
geometrik progressiyalardir.
-
1, bunda q=
b) 1, bunda q=
v) 1,- bunda q= -
Biz guruhlarda tahlil qilgan masalalardan kelib chiqqan
ketma-ketlik ham cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya
ekan.Shu geometrik progressiyaning dastlabki n ta hadining yig’indi-
sini hisoblaylik.
Sn =
Agar n cheksiz ortsa ,u holda nolga istagancha yaqinlashib
boradi.
Bunday hol qo’yidagicha yoziladi.
n ,
Shunday qilib n , bo’lgani uchun
n , (1-
Ya’ni n da S
Shuning uchun deb hisoblanadi.
Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig’indisi deb
n da uning dastlabki n ta hadi yig’indisi intiladigan songa
aytiladi.
Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig’indisini hisoblash
formulasini keltirib chiqarishda Sn= hormuladan
hoydalanamiz.
Avvalo, Sn= =- qn shakl almashtirishni
bajaramiz.
Agar n cheksiz ortsa, <1 bo’lgani uchun
Shuning uchun qn ham n da nolga intiladi.
Formuladagi qo’shiluvchi n ga bog’liq emas.
Demak n da Sn yig’indi songa intiladi.
Shunday qilib, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning
S yig’indisi quyidagiga teng.
S= bunda <1
Xususiy holda, b1=1 bo’lganda, S= ni olamiz.
Bu tenglik odatda ushbu ko’rinishda yoziladi:
1+q+q2+q3+…+qn-1+…= bunda, <1
O’rganilgan formulani qo’llashni mashq qilish uchun misollar:
1-misol. cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya
yig’indisini toping.
Yechish: b1= b2=- bo’lgani uchun q=
S = formulaga qo’yamiz
S=
Javob: S=
2-misol. Agar b3=-1, q= bo’lsa, cheksiz kamayuvchi geometrik
progressiya yig’indisini toping.
Yechish: Avvalo b ni topish kerak. formulaga ko’ra
hosil bo’ladi, bundan b1 =-49 ekanini topamiz.
S=
Javob: S=-57
Cheksiz davriy o’nli kasrlarni S= formula foydalanib, oddiy
kasr shaklida yozish mumkin.
3- misol. a=0,(15)=0,151515… cheksiz o’nli davriy kasriy oddiy kasr
shaklida yozing.
Yechish:
Berilgan cheksiz kasr taqribiy qiymatlarning quyidagi ketma-ketligini
tuzamiz.
a1=0,15=
a2 = 0,1515 =
a3= 0,151515 =
Taqribiy qiymatlarni bunday yozish berilgan davriy kasriy cheksiz
kamayuvchi geometrik progressiya yig’indisi shaklida tasvirlash
mumkinligini ko’rsatadi.
a= 0,151515… = …
b1=, q= ekanini aniqlash qiyin emas.
S = formulaga ko’ra,
a=
III. Mustahkamlash uchun mashqlar;
Darslikdagi 287-290 mashqlarning toq nomerli misollari yechiladi.
Bu misollar avval guruhlarda muhokama etiladi.
-
guruh 287(1), 2- guruh 288(2) 3-guruh 289(1), va 4- guruh 290(3)
doskada tahlil qiladi.
Har bir misolning bajarilishi usuliga boshqa guruhlarning munosabati so’raladi.
IV. Shundan so’ng o’quvchilarga kichik bir tadqiqot olib
boorish taklif etiladi.
Tadqiqot o’tkazish uchun ushbu masalalar taklif etilishi mumkin.
1 – masala. Hisoblang;
2- masala:
Tomoni a ga teng bo’lgan teng tomonli uchburchak berilgan.
Bu uchburchakning uchta balandligidan yangi uchburchak chizilgan,
yangi teng tomonli uchburchakning uchta balandligidan yana teng
tomonli uchburchak chizilgan va shu tariqa cheksiz ko’p teng tomonli
uchburchaklar hosil qilina borilgan. Barcha teng tomonli uchburchak-
lar yuzlarining yig’indisini toping.
3- masala:
Shaxmat ixtirosi uchun beriladigan mukofot haqidagi masala.
Bu masala Abu Rayhon Beruniyning “Qadimgi xalqlardan qolgan
yodgorliklar “ asarida keltirilgan.
Shaxmat o’yini yoqib qolgan podsho shaxmat ixtirochisiga mukofot
bermoqchi bo’libdi. Ixtirochi keksa donishmand podshodan shaxmat
taxtasining 1-katagi uchun bir dona bug’doy, 2-katagi uchun 2 dona
bug’doy, 3-katagi uchun 4 dona bug’doy va har bir keyingi katagi
uchun avvalgisiga qaraganda 2 marta ko’p bug’doy berishni so’rabdi.
Qimmatbaho mukofot so’ralishini kutgan shoh taajjubga tushibdi-
da, vaziriga “bu kishi so’ragan don bir xaltadan ortmasa kerak, mayli,
berib yuboringlar!” debdi. Qani hisoblangchi, agar 50 dona bug’doy
doni 1 grammga teng deb olinsa, podsho ixtirochi donnishmandga
qancha bug’doy berishi kerak bo’ladi?
Tadqiqotni avval har bir o’quvchi alohida olib boradi.
So’ngra o’quvchilar ikkitadan birgalashib, bir-birlarini fikrlarini o’rganib,
bitta fikrga kelishadi. Shundan so’ng, sinf o’quvchilari teng ikkiga bo’li-
nishib, ikkita guruh hosil qiladilar va har bir guruh tadqiqotni davom
ettirib, yagona fikrga keladi. Har bir guruhdan bittadan o’quvchi guruh
fikrini bayon etadi. Guruhlar boshqa guruh o’quvchilarining yechimlari
haqida o’z fikrlarini bildiradilar.
O’qituvchi bildirilgan fikrlar orasida eng ma’quli haqida o’z nuqtai-naza-
rini bayon etadi. 1-3 masalarning to’liq yechimi quyidagicha yoziladi:
1-masalaning yechimi:
=
=
=
Javob:
2-masalaning yechimi
Tomoni a bo’lgan teng tomonli uchburchakning yuzi
balandligi esa gat eng. Balandliklardan tuzilgan teng tomonli
uchburchakning yuzi balandligi esa = ga
teng. Tomoni bo’lgan teng tomonli uchburchakning yuzi esa
ga teng.
U holda barcha uchburchaklarning yuzlari cheksiz kamayuvchi
geometrik progressiya tashkil etadi:
Bu progressiya barcha hadlarining yig’indisi
Javob; kvadrat birlik
3-masalaning yechimi
O’quvchilar, bug’doy donalari soni quyidagicha bo’lishini aniqlay
olishadi:
1+2+22+23+24+…+263
qo’shiluvchilar geometrik progressiya tashkil etadi.Bu geometrik
progressiya cheksiz kamayuvchi emas.
b1=1, q=2, n=64
Sn==
Albatta bu sonni kalkulyatorsiz hisoblash qiyin, o’quvchilar vaqtni tejash
uchun hisoblashni kompyuterda bajarishadi.
Bu son esa quyidagiga teng:
18 446 744 073 709 551 615
Agar bu sondan iborat bug’doy donalarini ko’z oldimizga keltirmoqchi
bo’lsak, buning uchun eni 10 metr, balandligi 4 metr va uzunligi 300
million kilometrlik ombor kerakligi, ya’ni bunday omborning uzunligi
yer bilan quyosh o’rtasidagi masofadan ikki marta ziyodroq bo’lishini
yoki buning uchun butun yer yuziga sakkiz marta bug’doy ekib , hosil
yig’ishtirish lozimligi, yoki shuncha bug’doy tashish uchun 628 milliard
to’rt otli arava kerak bo’lishini tasavvur etishimiz kerak. Agar rostdan
50 doda bug’doy 1 gramm bo’lsa, shuncha bug’doy 368 934 881 474
tonnadan ko’proq bo’ladi.
V. Shundan so’ng o’quvchilarni bugungi darsda qatnashishlari va
harakatlarini baholash mumkin.
Dars boshida qo’yilgan kesmalar uzunliklarini yig’indisini hisoblagan
o’quvchilar baholanadi.
-
287-290- misollarni (1-3) mashqlarni doskada bajargan o’quvchilar
baholanadi.
2-Tadqiqot olib borishda eng aktiv bo’lgan, eng to’gri fikrni bayon
etgan o’quvchi va guruh o’quvchilari baholanadi.
VI Darsda ishlatilgan cheksiz kamayuvchi geometrik
progresssiya, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning
yig’indisi iboralarni eslab qolish ta’kidlanadi.
VII Uyga vazifa:
287-290(3-4)
295, 296 masalalar
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Algebra. 9-sinf uchun darslik.
SH.A.Alimov, M.A. Mirzaahmedov, O.R. Xolmuhamedov
2. 9-sinfda algebra. O’qituvchilar uchun qo’llanma.
SH.A.Alimov, M.A. Mirzaahmedov, O.R. Xolmuhamedov
3. Algebradan masalalar to’plami.
M. Saxayev
4. O’n to’qqiz chempion.
M. Muhiddinov
Muhtaram ustozlar, aziz matematika fani o’qituvchilari!
Sizga taqdim etilayotgan ushbu metodik qo’llanmada maktab
matematika kursining ajoyib tushunchalaridan biri “Cheksiz kamayuv-
chi geometrik progressiya” mavzusini bayon qilishning o’ziga xos va
albatta zamonaviy pedagogik texnologiyalarga asoslangan usuli bayon
etilgan. Biz bu ijodiy ishni “shablon” tariqasida qabul qilishni maslahat
berish fikridan yiroqmiz.
Shunday bo’lsada mavzudagi asosiy tushunchani o’quvchilar kichik bir
tadqiqot orqali mustaqil egallaslariga yo’naltirilgan ushbu dars uslubi
bilan tanishib chiqishni tavsiya etamiz.
Qarshi davlat universiteti matematika
fakulteti dotsenti, fizika-matematika
fanlari nomzodi
Eshpo’lat Aliqulov 1>1>1>1>
Do'stlaringiz bilan baham: |