Мавзу: ягоналик теоремаси

Мавзу: ЯГОНАЛИК ТЕОРЕМАСИ


Фараз килайлик f(z) ва g(z) функциялар D сохада голоморф булсин. Агар бу функциялар D сохага тегишли ва хеч булмаганда битта лимит нукта га эга булсин Е тупламда бир-бирига тенг булса,у холда f(z) ва g(z₀) функциялар D сохада айнан бир-бирига тенг булади:

Исбот. Модамики, нукта Е тупламнинг лимит нуктаси экан, унда Е тупламга тегишли турли нукталардан тузилган ва га интилувчи.
да f(z)=g(z) булгани учун булади. Энди f(z) ва g(z) функцияларни нуктанинг атрофида (бунда нуктадан гача булган масофа ) Тейлор каторига ёямиз:
(1)
булганлиги сабабли k нинг бирор кийматидан бошлаб кейинги лар доирага тегишли булади. Шунинг учун булиб, (1) дан
(2)
булиши келиб чикади. Бу тенгликда да лимитга утиб булишини топамиз: бу (2) тенгликни этиборга олиб (2) ни хар иккала томонини га булсак, унда
(3)
хосил булади. Кейинги тенгликда да лимитга утиб (4) булишини топамиз бу (4) тенгликни этиборга олиб, (3) нинг хар иккала томонини га булсак, унда

хосил булади. Сунг да лимитга утиб , булишини топамиз бу жараёни давом этира бориб булишини топамиз. Шундай қилиб
лар учун булади. Демак, доирада f(z)=g(z) булади. D сохада ихтиёрий

нуктани олиб, ва нукталарни D соха ётувчи узлуксиз L чизик билан бирлаштирамиз B доирада L эгри чизик кисмида бирор нуктани оламиз сунг B да га интилувчи кетма-кетлик караймиз равшанки, булади энди f(z) ва g(z) функцияларни нуктанинг атрофида (бунда булиб,- эса L ва чизиклар орасидаги масофа ) Тейлор каторга ёямиз:

юкорида келтирилган мулохазани такрорлаб ва демак, доирада f(z)=g(z) булишини топамиз.
нуктани L чизик буйлаб нукта тамон силжита бориб ва яна юкорида келтирилган мулохазаларни такрорлаб булишини топамиз. нкута D соханинг ихтиёрий нукта булганлиги сабабли, D сохада f(z)=g(z) булади.
Вейерштрасс теоремаси.
Агар (6) функционал каторнинг хар-бир хади D сохада голоморф булиб, бу катор D сохада ётувчи ихтиёрий f ёпик тупламда текис якинлашувчи булса, у холда катор йигиндиси
(6)
функция D сохада голоморф булади.
Исбот. D сохада ихтиёрий нуктани олиб, унинг шундай атрофини караймиз. булсин, шартга кура (6) катор да текис якинлашувчи демак, катор да хам текис якинлашувчи булади. функция D сохада голоморф булгани учун у (6) каторнинг хар бир хади да хам голоморф булади.бинобарин да функция узлуксиз унда катор йигиндиси f(z) функция хам да узлуксиз булади.
Энди да ётувчи ёпик силлик чизикни олайлик (6) каторни чизик буйича хадлаб интеграллаб топамиз.
(7)
Коши теоремасига кура (8) булади. (7 ) ва (8) дан булиши келиб чикади. Морера теоремасидан фойдаланиб f(z) функцияни ва демак, нуктада голоморф булишини топамиз. Каралаётган юю нукта D сщханинг итиёрий нуктаси булганлигидан f(z) функцияни D сохада голоморф булиши келиб чикади.
Натижа:
Юкорида келтирилгпан Вейерштрасс теоремасининг шарти бажарилганда каторни исталган марта хадлаб диференсиаллаш мумкин булиб, булади.