Mavzu: Matinli masala yechish metodlari nostandart masalalar mantiqiy masalalar reja

Mavzu: Matinli masala yechish metodlari nostandart masalalar mantiqiy masalalar

REJA:

1. 
   Matinli masalalar yechish metodlari
   
2. 
   Mantiqiy, kombinatorik va nosatndart masalalar
   
3. 
   Nostandart masalalar
   

Mantiqiy, kombinatorik va nosatndart masalalarda keltirilgan holatlar, vaziyatlarni tahlil etish asosida o`quvchilar zaruriy axborotni izlash va ajratish ko`nikmalarini egallaydilar, sabab-oqibat bog`lanishlarini o`rnatadilar, mulohaza qilishning mantiqiy zanjirini qurib, konkret shartlarga tayangan holda masalaning eng qulay samarali yechish usullarini tanlash va yechish kabi o`quv faoliyatining kompotensiyaisi shakllantiriladi va rivojlantiriladi. Ushbu qo`llanmada boshlang`ich sinflar matematika darslari uchun qo`shimcha mantiqiy, kombinatorik va nosatndart masalalar haqida so`z yuritilgan. Matnli masalalar mavzusida asosan matematika va kimyo fanlarini o’zarobog’liqliklarini ko’rishimiz mumkin. Ya’ni shunday masalalar borki ushbu masalalaryordamida ba’zi kimyo faniga oid masalalarni yechish shu bilan birga aralashmaga vakonsentratsiyani aniqlashga oid masalalarni yechish mumkin. Aslida esa matnlimasalalarning bir nechta turi mavjud bo’lib, mantiqiy o’ylash orqali yechiladigan, birnechta arifmetik amallar yordamida yechiladigan va tenglamalar yordamidayechiladigan masalalar shular jumlasidandir. Odarda matematikada ham kimyodaham tenglamalar yordamida yechiladigan masalalar ko’riladi.Endilikda biz quyida tenglamalar yordamida yechiladigan bir nechta matnlimasalalarni ko’rib o’tamiz. Matnli masalalar boshlang`ich sinflar matematika kursi mazmunining asosini tashkil etib, ularni yechish jarayonida qo`llaniladigan aqliy faoliyat usullari: analiz, sintez, taqqoslash, analogiya, umumlashtirish, abstraktsiyalash va konkretlashtirish o`quvchilarning mantiqiy tafakkur qilish qobiliyatlarini rivojlantirish bilan bir qatorda, ularning matematikaga qiziqishlarini ham tarbiyalashga ijobiy ta’sir o`tkazadi. Shuning uchun ham umumiy o`rta ta’limning yangi Davlat ta’lim

standarti talablari asosida yaratilgan boshlang`ich ta’lim matematikasi o`quv dasturi mazmunida matnli masalalar turlari kengaytirilib, ularning tarkibiga birinchi bor mantiqiy va kombinatorik masalalar ham kiritildi. Boshlang`ich sinflar matematika kursiga mantiqiy masalalarning kiritilishini, bir tomondan, bu masalalarni yechish o`quvchilarning aqliy rivojlanishiga ijobiy ta’sir o`tkazib, ulardan o`z fikrini mantiqiy izchillik asosida ifodalash ko`nikmalarini tarkib toptirishi bilan izohlansa, ikkinchi tomondan, bu masalalarni yechishda hisoblashlarni bajarish umuman kerak bo`lmasligi yoki yordamchi rol o`ynab, faqat arifmetikaga doir ma’lumotlar bilan chegaralanishi orqali izohlanadi. Kombinatorik masalalarni yechish ham mantiqiy masalalar kabi o`quvchilarning matematik rivojlanishiga ijobiy ta’sir o`tkazadi.

Mantiqiy, kombinatorik va nosatndart masalalarda keltirilgan holatlar, vaziyatlarni tahlil etish asosida o`quvchilar zaruriy axborotni izlash va ajratish ko`nikmalarini egallaydilar, sabab-oqibat bog`lanishlarini o`rnatadilar, mulohaza qilishning mantiqiy zanjirini qurib, konkret shartlarga tayangan holda masalaning eng qulay samarali yechish usullarini tanlash va yechish kabi o`quv faoliyatining kompotensiyaisi shakllantiriladi va rivojlantiriladi. Bu turdagi masalalarni yechishning asosida tartib munosabati tushunchasi yotadi: R munosabat X to`plamda bir vaqtning o`zida antisimmetriklik va tranzitivlik xossalariga ega bo`lsa, bu munosabat tartib munosabat deyiladi. Agar X to`plamda tartib munosabati berilgan bo`lsa, u holda X to`plam shu munosabat yordamida tartiblangan deyiladi. Suning uchun

bu turdagi masalalarni yechishda berilgan to`plam elementlarini to`g`ri tartiblash muhimdir. To`plam elementlarini tartiblashga doir vaziyatlarni to`g`ri chiziqda modellashtirish maqsadga muvofiqdir. Shuning uchun ham bu masalalarni yechishda uning shartida berilgan to`plam elementlarini to`g`ri chiziqda joylashgan nuqtalar bilan tasvirlanib, berilgan munosabat asosida ular birin-ketin joylashtirilib, tartiblanadi. 1-masala. Daftar ruchkadan arzon, lekin qalamdan qimmat. Bu o`quv jihozlari ichida eng arzonini aniqlang? Yechish. Dastlab masala modelini quramiz. Bu holda to`g`ri chiziq “narx chizig`i” vazifasini o`taydi. O`quvchilar bilan o`quv jihozlarini to`g`ri chiziqda ularning bosh harflari ko`rsatilgan nuqtalar bilan va arzonroq o`quv jihozlarini to`g`ri chiziqda chaproqda, qimmatroq jihozni esa o`ngroqda belgilashga kelishib olamiz. So`ngra tartib bilan har bir shartni to`g`ri chiziqda belgilaymiz. - daftar ruchkadan arzon, demak D nuqta R nuqtadan chapda joylashdi. - daftar qalamdan qimmat bo`lsa, u holda qalam daftardan arzon bo`ladi, ya’ni Q nuqta D nuqtadan chapda joylashadi. To`g`ri chiziqda eng arzon o`quv jihozi Q– qalam ekanligini aniqlaymiz Tenglama tuzish orqali masala yechish, masala talabida so’ralgan miqdorni imkoniyati boricha biror harf bilan belgilash, masala shartida qatnashayotgan boshqa miqdorlarni belgilangan harf orqali ifodalash, masala shartida ko’rsatil-gan miqdoriy munosabatlarni, amallarning mantiqan to’g’ri ketma-ketligi orqali ifodalaydigan tenglama tuzish va uni yechish orqali masalaning talabini bajarish demakdir Matematika darslarida о‘quvchilarga matnli masalani mazmunini tushuntirishda hamda yechimni izlashda, matnni ma’noli qismlarga ajratish maqsadga muvofiqdir. Buning natijasida masala ma’noli qismlarga ajraladi.

Masalada ortiqcha ma’lumotlarni chiqarib tashlash, ayrim tushunchalar ifodasini mos atamalar bilan almashtirish va aksincha, ayrim atamalarni ularga mos tushunchalar bilan almashtirish, masala matnini, yechimni izlash uchun qulay bо‘ladigan shaklga keltirib tuzish samaralidir. Umumiy о‘rta ta’lim maktab matematika darslarida matnli masalalarni arifmetik usullar bilan masalani yechish keng tarqalgan usullaridan biridir ya’ni matn bо‘yicha masalani tahlil qilishdir. Bu usulda masalani tahlil qilish masala shartidan ham, uning savollaridan ham boshlanishi mumkin bо‘lgan zanjirli kо‘rinishida bо‘lishi mumkin. Masalaning shartidan tahlil qilishda berilganlar bо‘yicha noma’lumni qanday arifmetik amal yordamida topilishi mumkinligini aniqlash tushuniladi. Bu orqali noma’lumni berilgan ma’lumot deb hisoblab, uning yordamida topilishi mumkin bо‘lgan noma’lumni topishni taqozo etadi. Bu jarayonning bajarilishi noma’lumni hosil qilishga olib keluvchi amalni aniqlaguncha davom ettiriladi. Sonlar ustida arifmetik amallar bajarish orqali masalani yechish bu masalalarni arifmetik usul bilan yechish masala talabiga mos keladi. Berilgan masalani yechishda bir necha arifmetik usullardan foydalanish mumkin. Bu usullar bir – biridan masala yechish jarayonidagi mulohaza va tahlillar bilan farqlanadi. Masalalarni arifmetik usulda yechishga doir ba’zi bir masalalarning tadbiqini keltiramiz. Ayni bir masalani yechishning turlicha arifmetik usullari berilganlar orasidagi, berilganlar bilan noma’lumlar orasidagi arifmetik amallarni tanlashda bu munosabatlarni bajarishdagi Odatda matematikada matnli masalalar berilishi, mazmuni va mohiyatiga qarab quyidagi turlarga ajratiladi: 1) «konsentratsiya» va «protsent» tushunchasi bilan bog‘liq bo‘lgan; 2) harakatga bog‘liq; 3) noma’lumlar

soni tenglamalar sonidan ortib ketuvchi; 4) tengsizliklar tuzib yechiladigan; 5) butun qiymatli o‘zgaruvchili; 6) turli masalalar. Matnli masalalar qaysi turga taalluqli bo‘lmasin, ularni yechishning an’anaviy sxemasi to‘rt bosqichdan iborat bo‘lib, ular quyidagilarni o‘z ichiga oladi: 1. Noma’lumni tanlash; 2. Tenglamalar (yoki tengsizliklar) tuzish; 3. Tenglamalarni yechish, ya’ni noma’lumni topish; 4. Masala shartini qanoatlantiruvchi yechimni tanlab olish. O‘quvchi matnli masalalar yechish san’atini puxta egallab olishi uchun har bir bosqich tog‘risida alohida to‘xtalib o‘tamiz. Ushbu qo‘llanma matnli masalalarning mohiyatiga ko‘ra bir necha turkumga ajratilgani hamda ularni yechishga qanday yondoshish zarurligi haqida to‘xtalib o‘tilishi bilan bir qatorda Oliy o‘quv yurtlariga kirish imtihonlariga tayyorlanayotgan abituriyentlar uchun qiyin va murakkab tuyulgan ana shunday masalalarning yechilishlari ko‘rsatma va izohlar asosida bayon qilinishi bilan ham juda ahamiyatlidir... Umumiy o‘rta ta’lim maktablari, litsey, kollejlar o‘quvchilari va matematika fani o‘qituvchilari hamda oliy o‘quv yurtlariga kirishga tayyorgarlik ko‘ruvchilar uchun qo‘llanma.
Nostandart tenglamadan tenglik belgisi tengsizlik belgisi bilan almashtirilsa, nostandart tengsizlik deb ataluvchi tengsizlik hosil bo’ladi.

Nostandart tenglamalarning yechishning umumiy usuli mavjud bo’lmagani kabi, nostandart tengsizliklarni yechishning ham umumiy usuli mavjud e

mas. Shu sababli, nostandart tengsizliklarni yechishda ham shu tengsizlikka xos bo’lgan chuqur mantiqiy fikr yuritishga to’g’ri keladi.
Nostandart tenglamalarni yechishning umumiy usuli mavjud emas. Odatda, nostandart tenglamalarni yechish uchun funksiyalarning grafiklaridan, turli xossalaridan foydalaniladi. Ma’lumki, funksiyalarni tekshirish, grafiklarini yasashda hosiladan foydalanish muhim ahamiyatga ega. Shunday ekan nostandart tenglamalarni yechishda hosiladan foydalanish mumkin bo‘ladi va bu tenglamaning ildizlarini topish ancha osonlashadi.
Demak, hosiladan foydalanib nostandart tenglamalarni yechish, shuningdek, differensial hisobning asosiy teoremalaridan keng foydalanish mumkin.
Nostandart tenglama ko‘rinishda berilgan bo‘lsin. Umuman, har qanday ko‘rinishdagi tenglamalarni ham ko‘rinishga keltirish mumkin. ko‘rinishdagi tenglamani yechish uchun funksiyani ko‘rib chiqish lozim bo‘ladi.
funksiya biror oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. Bu oraliqda tenglamning ildizlarini qaraymiz. Bunda bir nechta hol bo‘lishi mumkin:

1. 
   tenglama oraliqda ildizga ega emas.
   

Bunday holda funksiya grafigi abssissalar o‘qi Ox dan yuqorida yoki pastda joylashgan bo‘lib, Oxni kesib o‘tmasligi aniq.

• 
  

• 
  Matematikada masalalarni yechishning asosiy usullari sifatida arifmetik va algebraik usullar farq qilinadi. Arifmetik usulda masalani savoliga javob sonlar ustida arifmetik amallarni bajarish natijasida topiladi.
  
• 
  Ayni bir masalani yechishning turlicha arifmetik usullari berilganlar orasidagi, berilganlar bilan noma'lumlar orasidagi arifmetik amallarni tanlashda bu munosabatlarni bajarishdagi ketma-ketliklar bilan farq qiladi.
  
• 
  Matnli masalalarni arifmetik usulda yechish murakkab fao-liyat bo'lib, uning mazmuni berilgan masalaga ham, masala yechuvchining malakasiga ham bog'liq. Shunday bo'lsa-da, unda bir necha bosqichni ajratish mumkin.
  
• 
  Masalaning mazmunini tushuntirib yechish va tahlil qilish.
  
• 
  Masalani yechish rejasini izlash va tuzish.
  
• 
  Yechish rejasini bajarish. Masalaning talabini bajarish haqidagi xulosani ifodalash (masalaning savoliga javob berish).
  
• 
  Yechimni tekshirish va agar xato bo'lsa, uni tuzatish. Masalaning talabini bajarish yoki masalaning savoliga javob berish haqidagi uzil-kesil xulosani ifodalash.
  

Shuni ta'kidlash kerakki, masala yechish jarayonida aytib o'tilgan bosqichlar qat'iy chegaraga ega emas va har doim ham birday to'la bajarilmaydi Nostandart topshiriqlar talabalarning matematikaga qiziqishini shakllantirish vositasi sifatida. Nostandart vazifalar va ularning turlari Nostandart vazifalar Nostandart masalalar - matematika

kursida ularni hal qilishning aniq dasturini belgilaydigan umumiy qoidalar va qoidalar mavjud bo'lmagan masalalar. Ularni murakkablikdagi vazifalar bilan aralashtirib yubormaslik kerak. Murakkabligi oshgan masalalarning shartlari shundan iboratki, ular o'quvchilarga matematikadagi masalani hal qilish uchun zarur bo'lgan matematik apparatni osongina tanlash imkonini beradi. O'qituvchi ushbu turdagi muammolarni hal qilish orqali o'quv dasturida berilgan bilimlarni mustahkamlash jarayonini nazorat qiladi. Ammo nostandart vazifa kashfiyot xarakterining mavjudligini nazarda tutadi. Biroq, agar bitta talaba uchun matematika bo'yicha masalani yechish nostandart bo'lsa, chunki u bunday turdagi muammolarni echish usullarini yaxshi bilmagan bo'lsa, ikkinchisi uchun masalani yechish standart tarzda amalga oshiriladi, chunki u allaqachon bunday muammolarni hal qildi va bir nechta. 5-sinfda matematika bo'yicha xuddi shunday vazifa nostandart, 6-sinfda esa oddiy va hatto murakkab emas. Demak, agar talaba masalani yechishda qanday nazariy materialga tayanishni bilmasa, u ham bilmaydi, u holda bu holda matematikadagi masalani ma’lum vaqt oralig’ida nostandart deb atash mumkin.
Hozirda biz nostandart deb hisoblagan matematikadan masalalar yechishni o‘rgatish usullari qanday? Afsuski, bu vazifalarning o'ziga xosligini hisobga olgan holda, hech kim universal retsepti bilan chiqmadi. Ba'zi o'qituvchilar, ular aytganidek, shablon mashqlarida mashq qilishadi. Bu quyidagicha sodir bo'ladi: o'qituvchi hal qilish yo'lini ko'rsatadi, keyin esa o'quvchi buni ko'p marta muammolarni yechishda takrorlaydi. Shu bilan birga, o'quvchilarning matematikaga bo'lgan qiziqishi o'ldirilmoqda, bu hech bo'lmaganda achinarli.

Masala - bu kundalik hayotimizda uchraydigan vaziyatlarning tabiiy tildagi ifodasidir. Masala asosan uch qismdan iborat bo’ladi.

1. Masalaning sharti - o’rganilayotgan vaziyatni xarakterlovchi ma’lum va no’malum miqdoriy qiymatlar hamda ular orasidagi miqdoriy munosabatlar haqidagi ma’lumot demakdir.
2. Masalaning talabi - masala shartidagi miqdoriy munosabatlarga nimani topish kerakligini ifodalash demakdir.
3. Masalaning operatori - masala talabini bajarish uchun shartdagi miqdoriy munosabatlarga nisbatan bajariladigan amallar yig’ indisi.
Odatda matematikada matnli masalalar berilishi, mazmuni va mohiyatiga qarab quyidagi turlarga ajratiladi:
1) «konsentratsiya» va «protsent» tushunchasi bilan bog‘liq bo‘lgan;
2) harakatga bog‘liq;
3) noma’lumlar soni tenglamalar sonidan ortib ketuvchi;
4) tengsizliklar tuzib yechiladigan;
5) butun qiymatli o‘zgaruvchili;
6) turli masalalar.
Matnli masalalar qaysi turga taalluqli bo‘lmasin, ularni yechishning an’anaviy sxemasi to‘rt bosqichdan iborat bo‘lib, ular quyidagilarni o‘z ichiga oladi: 
1. Noma’lumni tanlash;
2. Tenglamalar (yoki tengsizliklar) tuzish;
3. Tenglamalarni yechish, ya’ni noma’lumni topish;
4. Masala shartini qanoatlantiruvchi yechimni tanlab olish.

O‘quvchi matnli masalalar yechish san’atini puxta egallab olishi uchun har bir bosqich tog‘risida alohida to‘xtalib o‘tamiz.

Tenglama tuzish orqali masala yechish, masala talabida so’ralgan miqdorni imkoniyati boricha biror harf bilan belgilash, masala shartida qatnashayotgan boshqa miqdorlarni belgilangan harf orqali ifodalash, masala shartida ko’rsatilgan miqdoriy munosabatlarni, amallarning mantiqan to’g’ri ketma-ketligi orqali ifodalaydigan tenglama tuzish va uni yechish orqali masalaning talabini bajarish demakdir.
Masalalarni tenglama tuzish orqali yechishni quyidagi ketma-ketlik asosida olib borish maqsadga muvofiqdir.
1. Masala talabida so’ralgan miqdorni, ya’ni noma’lum miqdorni harf bilan
belgilash. Masalan “Harakat bilan bog‘liq ko‘plab masalalarda ko‘pincha noma’lum o‘rnida tezlik, masofa va vaqt olinadi. Bunday hollarda bu kattaliklarni mos ravishda v, s, t va hokazo belgilashlardan qochish kerak. Eng yaxshisi an’anaviy x, y, z, u, v kabi belgilashlarga ko‘nikish va ulardan tezlik, masofa va vaqtning mazmun-mohiyatiga shikast yetkazmagan holda foydalanish lozim. Bunday belgilashlar kelajakda hosil bo‘lgan tenglamani yechishda ham qulay”.
2. Bu harf yordamida boshqa no’malumlarni ifodalash.
3. Masala shartini qanoatlantiruvchi tenglama tuzish.
4. Tenglamani yechish.
5. Tenglama yechimini masala sharti bo’yicha tekshirish.

Maktab matematika kursida tenglama tuzish orqali yechiladigan masalalar ko’pincha uchta har xil miqdorlarni o’zaro bog’liqlik munosabatlari asosida beriladi. Chunonchi:

1) Tezlik, vaqt va masofa.
2) Narsaning qiymati, soni va jami bahosi.

3) Mehnat unumdorligi, vaqt va ishning hajmi.

4) Yonilg’ining sarf qilish normasi, transportning harakat vaqti yoki masofasi va yonilg’ining miqdori.
5) Jismning mustahkamligi, hajmi va uning og’ irligi.
6) Ekin maydoni, hosildorlik va yig’ilgan hosildorlik miqdori.
7) Quvurni o’tkazish imkoniyati, vaqti va quvurdan o’tayotgan moddalarning aralashma miqdori.
8) Bir mashinaning yuk ko’tarishi, mashinalar soni va keltirilgan yuklarning og’ irligi.
9) Suyuqlikning zichligi, chiqarish chuqurligi va bosimi.
10) Tokning kuchi, uchastka zanjirining qarshiligi va uchastkadagi kuchlanishning pasayishi.
11) Kuch, masofa va ish.
12) Quvvat, vaqt va ish.
13) Kuch, elkaning uzunligi va quvvat momenti.
Masalalarni tenglama tuzib yechishda no’malum miqdorlarni turlicha belgilash, ya’ni asosiy miqdor qilib noma’ lumlardan istalgan birini olish mumkin. Asosiy qilib olinadigan va harf bilan belgilanadigan noma’lumni tanlash ixtiyoriy bo’lishi mumkin.
Noma’lum miqdorni tanlashga qarab tuziladigan tenglama har xil bo’ladi, ammo masalaning yechimi bir xil bo’ladi.

Matnli masalalarni yechish usullari turlicha bo’ladi. Ulardan asosiylari:

1) arifmetik usul (masalani savollar tuzib, izohlab, ma’lum mulohazalarga asoslanib yechish);
2) algebraik usul (masalani uning mazmuniga mos tenglama tuzib yechish). Masala yechishda chizmalardan, geometrik, fizik tushunchalardan foydalanish ham yechimga tezroq olib kelishi mumkin.
Masalani tenglama tuzib yechish allomalarimiz asarlarida „al-jabr val-muqobala» usuli deb atalgan.
2. Matnli masalalarni yechish bosqichlari.
Matnli masalani yechish ikkita asosiy bosqichdan iborat bo’ladi:
1) masalaning sharti bo’yicha tenglama tuzish;
2) hosil bo’lgan tenglamani yechish.
Bu bosqichlarni “maydalash”, ularni qismlarga bo’lish ham mumkin. Natijada berilgan masalaning matematik modeli tuziladi.
Masalaning matematik modeli — masalada bayon etilgan muammoli holatni, vaziyatni “matematika tili”ga ko’chirish, bu holatni formulalar, tenglama va tengsizliklar orqali ifodalashdir. Masalaning matematik modelini tuzish quyidagicha bo’ladi:
1. Masalada topilishi kerak bo’lgan noma’lumni belgilash.
2. Noma’lum kattalik (miqdor) bilan masalada berilgan kattaliklar (miqdorlar, sonlar) orasidagi bog’lanishni o’rnatish, topish. Bu
bog’lanish tenglama, tengsizliklar yordamida ifodalanadi.
3. Izlanayotgan noma’lum qanday shartlarni qanoatlantirishi zarurligini aniqlash.
4. 2- bandda tuzilgan tenglamani yechib, yechim berilgan masala mazmunini to’la aks ettirishini, unga mos kelishini aniqlash.
Masala mazmuniga mos tenglama tuzish (2- band) masa¬laning matematik modelini tuzishdagi eng asosiy bosqichdir.