Mavzu. Funksiya limiti, limitlar haqidagi teoremalar reja

Mavzu. FUNKSIYA LIMITI, LIMITLAR HAQIDAGI TEOREMALAR
Reja
1. To‘plamning limit nuqtasi.
2. Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi.
3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
Tayanch so’zlar: To‘plamning limit nuqtasi, funksiya limiti, funksiya uzluksizligi, tekis uzluksiz funksiya.


1. To‘plamning limit nuqtasi.
Aytaylik, biror to‘plam va nuqta berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif.  Agar nuqtaning ixtiyoriy
,
atrofida to‘plamning nuqtadan farqli kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, ya’ni

bo‘lsa, nuqta to‘plamning limit nuqtasi deyiladi.
Misollar. 1.  to‘plamning har bir nuqtasi shu to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi.
2.  to‘plamning har bir nuqtasi va nuqtalar shu to‘plamning limit nuqtalari bo‘ladi.
3.  to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi.
4.  to‘plam limit nuqtaga ega emas.
2-ta’rif. ([2], p. 82. Item 3.3.3) Agar nuqtaning ixtiyoriy

o‘ng atrofida (chap atrofida) to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, nuqta to‘plamning o‘ng (chap) limit nuqtasi deyiladi.
3-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun

to‘plamda to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, to‘plamning limit “nuqta”si deyiladi.
Agar ixtiyoriy uchun

to‘plamda to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, to‘plamning limit «nuqta»si deyiladi.
Keltirilgan ta’rif va misollardan ko‘rinadiki, to‘plamning limit nuqtasi shu to‘plamga tegishli bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin ekan.
2. Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plam-ning limit nuqtasi bo‘lsin. nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy :

ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat :

ketma-ketlikni hosil qilamiz.
3-ta’rif. (Geyne). Agar da bo‘ladigan ixtiyoriy ketma-ketlik uchun da bo‘lsa, ga funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi va da yoki

kabi belgilanadi.
Eslatma. Agar da
va
bo‘ladigan turli , ketma-ketliklar uchun da , bo‘lib, bo‘lsa funksiya da limitga ega emas deyiladi.
1-misol. Ushbu

funksiyaning nuqtadagi limiti topilsin.
Quyidagi :

ketma-ketlikni olaylik. Unda

bo‘lib, da bo‘ladi. Demak,

4-ta’rif. (Koshi). Agar son olinganda ham shunday topilsaki, uchun

tengsizlik bajarilsa, soni funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi:
.
Bu ta’rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:
, , :
bo‘lsa, .