Мавзу: Функция орттирмаси

Mavzu: Funksiya orttirmasi. Hosila. Hosilaning geometrik va mexanik ma’nosi.
R e j a:

1. Funksiya orttirmasi.

2. Hosila.

3. Hosilaning geometrik va mexanik ma’nosi.

Algebra va elementar funksiyalarning butun maktab kursi davomida matematik tushunchalarni kengaytirdik, ularni birmuncha murakkab tushunchalarga etkazib, chuqurlashtirdik. Harakatning oniy tezligi nimadan iborat? Jismning O dan gacha vaqtda o’tgan yo’lini ko’rsatuvchi biror funksiyasi ma’lum. Argument ga biror orttirma beriladi, boshqacha aytganda qiymat o’rniga qiymat qaraladi. Argumentning bu orttirmasiga funksiyaning quyidagi orttirmasi mos keladi:

Funksiyaning bu orttirmasi argumetning orttirmasiga bo’linadi:

va bundan da limit olinadi. Bu

ifodani funksiyaning dan gacha bo’lgan oraliqdagi o’zgarishning “o’rtacha tezligi” deb, bu nisbatning dagi limitini esa bu funksiya o’zgarishining vaqt paytdagi oniy tezligi deb qarash mumkin.

Yuqoridagi muhokamalardan funksiya jismning dan gacha vaqt davomida o’tgan yo’lidan iborat. Bu hol funksiyaga ma’lum cheklanishlarni qo’yadi. Jumladan, bu funksiya argumentning vaqt musbat qiymatlari uchun aniqlangan bo’lishi (chunki vaqt), faqat manfiy bo’lmagan qiymatlarni qabul qilishni ( - yo’l uzunligi) va monoton o’suvchi bo’lishi kerak edi (vaqt qancha ko’p bo’lsa, o’tilgan yo’l ham shuncha ko’p bo’ladi). Endi esa olingan natijalarni ixtiyoriy funksiya uchun, umuman aytganda, jismning harakatiga hech bir bog’liq bo’lmagan funksiyalar uchun (aytganda) umumlashtiramiz.

ixtiyoriy funksiya bo’lsin, x ning tayinlangan qiymatida bu funksiya ga teng qiymatni qabul qiladi. qiymatga orttirma beramiz, ya’ni qiymat o’rniga qiymatni qaraymiz. U holda funksiya qiymatni qabul qiladi. shunday qilib, funksiya orttirmani oladi:

Ushbu,

nisbat funksiyaning dan gacha bo’lgan oraliqda o’zgarishining o’rtacha tezligini ifodalaydi. Bu o’rtacha tezlik ham ga, ham ga bog’liq bo’lishi ko’rinib turibdi. Endi ni nolga intiltirib, funksiyaning nuqtada o’zgarishining oniy tezligini (agar bu limit mavjud bo’lsa) topamiz:

Berilgan funksiya uchun bu limit ga bog’liq va berilgan funksiyadan nuqtada, olingan hosila deyiladi. ning har bir qiymatiga funksiyaning oniy o’zgarish tezligini o’z qiymati mos keladi. Shuning uchun

limit (agar bu limit mavjud bo’lsagina) ixtiyoriy x nuqtada funksiyasining oniy o’zgarish tezligini ifodalaydi. Bu argumentning yangi funksiyasi deb qarash mumkin. Bu yangi funksiya berilgan funksiyadan olingan hosila deyiladi. Ko’pincha « funksiyadan olingan hosila» ifodasida «olingan» so’zini tashlab to’g’ridan-to’g’ri « funksiyasining hosilasi» deyilaveradi. Matematikada hosilalar turlicha belgilanadi. Biz va kabi belgilashlardan foydalanamiz:

bir necha misollar qaraymiz.

Misol:

Shuning uchun

demak

Shunday qilib,

O’zgarmas sonning hosilasi nolga teng.

Misol: funksiyaning hosilasini toping.

Bunday yozamiz,

shuning uchun

bundan kelib chiqadi:

funksiyaning hosilasi 1 ga teng.

Misol: funksiyaning hosilasini toping.

Bunday yozamiz:

shuning uchun:

demak,

shunday qilib,

funksiyaning hosilasi ga teng.

Oldingi ikki misoldan farqi shundaki, bunda hosila x ga bog’liqdir.

funksiyadan olingan hosilaning dagi qiymati kabi belgilanadi.

Masalan: agar bo’lsa, shuning uchun

tenglama ni qo’yib ni hosil qilamiz. Bundan . Shunday qilib izlangan urinmaning tenglamasi

shunday qilib hosilaning geometrik ma’nosi:

Funksiya hosilasining nuqtadagi qiymati funksiya grafigiga shu nuqtada o’tkazilgan srinmasining burchak koeffisientiga teng.

Nazorat misollari:
Funksiya hosilasini toping.

1.

2. Jism qizdirilgan. Uning temperaturasi vaqt o’tishi bilan qonun bo’yicha o’zgaradi ( -temperatura, gradus bilan, - vaqt minut bilan).

a) sek dan sekundgacha vaqt oralig’ida jism temperaturasining o’rtacha o’zgarishini:

b) temperatura o’zgarishining sekund paytida oniy tezligini toping.

Topshiriqlar:
Funksiyaning hosilasini toping.

Agar

bo’lsa, ni toping.