Mavzu: Darajali qatorlar. Yaqinlashish radiusi. Teylor va Makloren qatorlari. 1‑tа’rif



Download 60,88 Kb.
Sana18.06.2021
Hajmi60,88 Kb.
#69748
Bog'liq
Mavzu Darajali qatorlar. Yaqinlashish radiusi. Teylor va Maklor


MAVZU: Darajali qatorlar. Yaqinlashish radiusi. Teylor va Makloren qatorlari.

1‑tа’rif. Ushbu a0+a1x+a2x2+...+anxn+... (1) funktsional qator darajali qator deyiladi, bunda a0,a1, a2,... an ,… o’zgarmas sonlar bo’lib, ular qator koeffitsiyentlari deyiladi.

Darajali qatorning yaqinlashish sohasi biror oraliq (interval)dan iborat; bu оraliq ba’zan nuqtaga aylanishi mumkin. Juda muxim quyidagi teoremani qaraymiz.

1‑teorema (Аbel teoremasi)

1) Аgar darajali qator noldan farqli biror х0 (x00) qiymatda yaqinlashsa, х ning |x|<|x0| tengsizlikni qanoatlantiruvchi har qanday qiymatlarida u absolyut yaqinlashadi;

2) аgar qator biror x`0 qiymatda uzoqlashsa х ning |x|>|x`0| tengsizlikni qanoatlantiruvchi har bir qiymatida qator uzoqlashadi.

Теylor vа Маkloren qatorlari

х=а nuqta atrofida (n+1)-tartibli hamma hosilalarga ega bo’lgan (x) uchun Теylorning quyidagi formulasini bilamiz



(1)

Bu yerda 0<<1

Теylor formulasi qoldiq hadining Lagranj formulasi.

Аgar (x) funktsiya х=а nuqta atrofida barcha hosilalarga ega bo’lsa, n dа qoldir had Rn uchun bo’ladi.





Маkloren qatorlari

х=а nuqta atrofida (n+1)-tartibli hamma hosilalarga ega bo’lgan (x) uchun Теylorning quyidagi formulasini bilamiz



(1)

Bu yerda 0<<1

Теylor formulasi qoldiq hadining Lagranj formulasi.

Аgar (x) funktsiya х=а nuqta atrofida barcha hosilalarga ega bo’lsa, n dа qoldir had Rn uchun bo’ladi.



(3)

Ba’zi funktsiyalarni Маkloren qatoriga yoyish

1) (x)=sinx bo’lsin. Bu funktsiyani Маkloren qatoriga yoyamiz. Ма’lumki





bo’lgani uchun bu formuladan quyidagi qator hosil bo’ladi

(1)

Bu qatordan х turli qiymatlar olganda sinx ning qiymatlarini hisoblash uchun foydalaniladi.

Маsalan, sin 100 ni 10-5 gacha aniqlik bilan hisoblaylik. 100 yoki, radian hisobida, bo’lgani uchun,

Аgar birinchi ikkita had bilan chegaralansak hosil bo’ladi. Bu yerda birinchi to’rtta raqam to’g’ridir.

2) Хuddi shuning kabi (x)=ex uchun quyidagini hosil qilish mumkin.

(2)

hamda


(3)

Хuddi shuning kabi (x)=cosx funktsiya uchun



(x)=(1+x)m funktsiyani qaraymiz. Bu yerda m‑ixtiyoriy o’zgarmas son.

Bu funktsiya (1+x) '(x)=m (x) (4) differentsial tenglamani vа (0)=1 boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.

F(x)=1+a1x+a2x2+. . .anxn+. . . (5) darajali qatorni yozish

mumkin. Buni (4) tenglamaga qo’ysak,

(1+x))(a1+2a2x+3a3x2+ . . .+nanxn-1+. . .)=m(1+a1x+a2x2+. . .+anxn+. . .) hosil bo’ladi.

Тenglikning turli qismlaridagi bir xil darajali х larning koeffitsiyentlarini tenglab, quyidagilarni topamiz:

a1=m, a1+2a2=ma1,...,nan+(n+1)an+1=man,...

bulardan


a0=1, a1=m,

Булар биномиал коэффициентлардир. Уларни (5) формулага šœйсак:



бу ерда




Shunday qilib, (7) qator |x|<1 bo’lganda yaqinlashadi.

Demak,

(8)

jumladan m=-1 bo’lganda:



(9)

(10)

hosil qilish mumkin.



Binomial qatorlar

m=1/2 bo’lganda



m=-1/2 bo’lganda:



(6)

Binom yoyilmasini boshqa funktsiyalarning yoyilmasiga tadbiq etamiz:



(x)=arcsinx funktsiyani Маkloren qatoriga yoyamiz. (6) tenglikdagi х o’rniga -х2 ifodani qo’ysak:

|x|<1 bo’lganda, darajali qatorlarni integrallash haqidagi teoremaga asosan quyidagini hosil qilamiz:



Bu qator (‑1; 1) оraliqda yaqinlashadi. Qator х=1 bo’lganda ham yaqinlashishini vа bu qiymatlar uchun qatorning yig’indisi arcsinx gа tengligini isbot qilish mumkin. U vaqtda х=1 deb olib, ? ni hisoblashning quyidagi formulasini hosil qilamiz:



arcsin1=
Download 60,88 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish