Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

46-§. Chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalar sistemasi.

Quyidagi
(1)

chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalar sistemasini qaraylik. Bu yerda , oraliqda aniqlangan uzluksiz o’lchamli kvadrat matritsa, oraliqda aniqlangan uzluksiz vektor-funksiya, noma’lum vektor-funksiya.
Lemma-1. Agar va vektor-funksiyalar mos ravishda ushbu
,

tenglamalar sistemasining yechimlari bo’lsa, u holda vektor-funksiya quyidagi

differensial tenglamalar sistemasining yechimi bo’ladi.
Teorema-1. Aytaylik vektor-funksiya (1) sistemaning biror yechimi bo’lib, ushbu
(2)
bir jinsli tenglamalar sistemasining fundamental matritsasi bo’lsin. U holda (1) differensial tenglamalar sistemasining barcha yechimlari
(3)
ko’rinishda ifodalanadi. Bunda ixtiyoriy sonli vektor.
Isbot. Berilgan (1) sistemada
(4)
almashtirish bajaramiz:

Bu yerda

munosabatning bajarilishini e’tiborga olsak, yuqoridagi tenglikdan

kelib chiqadi. (2) sistemaning umumiy yechimi

ko’rinishda bo’lgani uchun (4) almashtirishdan

kelib chiqadi. Bu yerda ixtiyoriy sonli vektor. ■
Teorema-1. Agar (2) sistemaning fundamental matritsasi bo’lsa, u holda (1) differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimi uchun
(5)
formula o’rinli bo’ladi. Bu yerda , ixtiyoriy o’zgarmas vektor.
Isbot. Berilgan (1) sistemaning umumiy yechimini
(6)
ko’rinishda izlaymiz. Bu yerda hozircha noma’lum vektor-funksiya. Avvalo (6) tenglikni differensiallab

munosabatni topamiz. So’ngra bu tenglikni (1) sistemaga qo’ysak:
(7)
hosil bo’ladi. Bunda ushbu

tenglikning o’rinli ekanligini inobatga olsak (7) munosabatdan

ya’ni

kelib chiqadi. Oxirgi tenglamani ushbu
(8)
ko’rinishda yozish mumkin. Bu differensial tenglamani integrallab
(9)

topamiz. (9) tenglikni (6) ga qo’yib, ushbu

formulani hosil qilamiz. ■
Natija-1. (1) differensial tenglamalar sistemasiga qoyilgan

Koshi masalasining yechimi uchun
(10)
formula o’rinli bo’ladi. Bu yerda .
Izoh-1. 1) Agar

ko’rinishdagi vektor-funksiya bo’lsa, u holda (1) differensial tenglamalar sistemasining

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimidan iborat bo’ladi.
2) Ushbu

matritsa-funksiya (1) sistemaning matritsasidan iborat bo’ladi, ya’ni

birlik matritsa.
3) Agar (1) sistemada o’zgarmas matritsa bo’lsa, u holda uning umumiy yechimi uchun

formula o’rinli bo’ladi. Bu yerda

(2) sistemaning fundamental matritsasi bo’lib, ixtiyoriy sonli vektor.
Misol-1. Ushbu

bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalar sistemasini Lagranj usulidan foydalanib yeching.
Yechish. Avvalo, ushbu

bir jinsli differensial tenglamalar sistemasining koeffitsiyentlaridan

matritsa tuzib olamiz. So’ngra bu matritsaning xos qiymatlarini va xos vektorlarini topamiz. Buning uchun

tenglamani qaraymiz. Bu tenglamani koordinatalarda yozib

ya’ni

bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bundan


karrali xos qiymatlarni topib olamiz.
xos qiymatga mos keluvchi xos vektorni ushbu

sistemadan aniqlaymiz:
Endi, bu xos vektorga yopishgan vektorni aniqlash uchun

tenglikdan foydalanamiz: .
bu ma’lumotlardan foydalanib, bir jinsli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topamiz:
.
Endi, o’zgarmasni variyasiyalash usulidan foydalanib, berilgan bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalar sistemasining yechimini

ko’rinishda izlaymiz. Bu yerda hozircha noma’lum funksiyalar.


Topilgan bu hosilalarning ifodalarini berilgan bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalar sistemasiga qoyamiz:


Bundan oddiy differensial tenglamalar hosil bo’ladi. Ularni integrallab

topamiz. ixtiyoriy o’zgarmaslar. Nihoyat ushbu

yechimni topamiz.