Mavzu: Boshlang’ich funksiyalarni topishning qoidalari

Mavzu: Boshlang’ich funksiyalarni topishning

qoidalari.

1. 
   Agar F(x) va G(x) funksiyalar mos ravishda ƒ(x) va g(x) ning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, F(x) + G(x) yig’indi ƒ(x) + g(x) ning boshlang’ich funksiyasi bo’ladi, ya’ni
   

F’(x)= ƒ(x), G’(x)=g(x)→(F(x)+G(x))’= ƒ(x)+g(x).

2. 
   Agar F(x) funksiya g(x) ning boshlang’ich funksiyasi bo’lib, k o’zgarmas son bo’lsa, k*F(x) funksiya k* ƒ(x) ning boshlang’ich funksiyasi bo’ladi, ya’ni
   

F’(x)= ƒ(x), k_{ }R≠0→(kF(x))’=k ƒ(x).

3. 
   Agar F(x) funksiya ƒ(x) ning boshlang’ich funksiyasi bo’lib, k va b o’zgarmaslar (k≠0) bo’lsa, _{ } ƒ(kx+b) funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’ladi:
   

(_{ }ƒ(kx+b).

Berilgan funksiyalar uchun boshlang’ich funksiyalarni toping.

A-guruh

1. 
   y= -7x+4; 2) y=3x² +4; 3) y= 2x²+3x-8; 4) y= ax+b.
   

B-guruh

1. 
   y=ax²+bx+c; 2) y=ax³+bx²+cx+k; 3) y=_{ } -4sinx; 4) y=1-cos3x;
   

5) y=8(11-3x)⁵; 6) y=x²+_{ }.
D-guruh

1. 
   y=_{ }; 2) y=_{ }; 3) 7sin_{ }+_{ }; 4) y=_{ }; 5) y=_{ };
   

6) y= _{ }; 7) y=e^2x-3; 8) y=2^0.5x+1; 9) y=_{ }
Mavzu: Aniqmas integral haqida tushuncha.

Ta’rif. f(x) funksiyaning yoki ƒ(x)dx differensial ifodaning aniqmas integrali deb berilgan funksiyaning barcha boshlang’ich funksiyalari to’plamini aytiladi va∫ integral belgisidan foydalanib bunday yoziladi.

∫f(x)dx=F(x)+C,

Bu yerda F’(x)= f(x), f(x) integral ostidagi funksiya, f(x)dx integral ostidagi ifoda deb ataladi.

Aniqmas integral quyidagi xossalarga ega:

1.Aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga, aniqmas integralning differensiali esa integral ostidagi ifodaga teng.

Bu xossa aniqmas integralning ta’rifidan va differensialning ta’rifidan foydalanib isbotlanadi:

(∫(x)dx)’=(F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(x)+0=f(x)

d(∫f(x)dx)=(∫f(x))’dx=f(x)dx.

2. Biror berilgan funksiya differensialining aniqmas integrali shu funksiyaga o’zgarmas qo’shiluvchining qo’sihlganiga teng, ya’ni:

∫d_{ }(x)=_{ }

Isbot. ∫d_{ }(x)=G(x) belgilashni kiritib, d_{ } G(x)=∫d(_{ } yoki ∫ d_{ }(x)=_{ }(x)+C ekani kelib chiqadi.

3 . Ikkita funksiya algebraic yig’indisining aniqmas integrali shu funksiyalar aniqmas integrallarining algebraic yig’indisiga teng:

∫(f(x)+_{ }(x))dx=∫f(x)dx+∫_{ }(x)dx.

Eslatma. Bu xossa qo’shiluvchi funksiyalarning soni ikkitadan ortiq bo’lganda ham to’g’ridir.

4 . O’zgarmas ko’paytuvchini aniqmas integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:

∫cf(x)dx=c ∫ f(x)dx (c-const, c ≠ 0).

Keying ikkita xossa tenglikning har ikkala tomonini differensiallash yo’li bilan oson isbotlanadi.

Eng soda aniqmas integrallar jadvalini asosiy funksiyalarning differensiallari jadvalidan va aniqmas integralning 2-xossasidan foydalanib tuzamiz.

Y=f(x) differensiallanuvchi funksiya uchun dy= f’(x)dx ekanini hisobga olib, differensiallarning quyidagi jadvalini keltiramiz:­­