Mavzu : Funksiyaning



Download 3.89 Mb.
bet4/5
Sana29.08.2021
Hajmi3.89 Mb.
1   2   3   4   5

Ikkinchi ajoyib limit





Ushbu {x

}= ïìæ1 +

1 ö ïü


n
÷ ý
sonli ketma-ketlikni qaraymiz, bunda n-natural son.


íç
n ïîè n ø ïþ


Teorema. Umumiy hadi
yotadigan limitga ega.

x = æ1 + 1 ö


n ç

n

÷
è n ø

bo’lgan ketma-ketlik

n ® ¥

da 2 bilan 3 orasida



Isboti. Nyuton binomi formulasi

(а + b)n = an + n an-1b + n(n -1) an-2b2 + n(n -1)(n - 2) an-3b3 + ... +

1 1× 2

1× 2 × 3

+ n(n -1)(n - 2)...[n - (n -1)] bn

1× 2 × 3 × ... × n

dan foydalanib ketma-ketlikni

xn va

xn+1 hadlarini quyidagi ko’rinishda yozamiz:



n
æ1 1 ö

1 n 1

n(n - 1)

ç 1 ÷ + n(n - 1)(n - 2) ç 1 ÷

3
+ ... +


2
ç + ÷ = + × +

× æ ö æ ö

è n ø

1 n 1× 2

è n ø

n

1× 2 × 3

è n ø



+ n(n - 1)(n - 2)...[n - (n - 1)] ç 1 ÷

1 1

1 1 ç1 ÷

1

ç1



1

֍1

2

÷ + ... +



(17.4)

1× 2 × 3 × ... × n

æ ö


è n ø

= + +

æ -

1× 2 è

ö + æ -



n ø 1× 2 × 3 è

öæ - ö

n øè n ø

æ öæ

ö æ n - ö



+ 1 ç1 - 1 ÷ç1 - 2 ÷...ç1 - 1÷,

1× 2 × 3...n è

n øè

n ø è n ø



x = 1 +
æ

n +1 ç

n +1


1
ö

÷
= 1 + 1 +

1 æ 1 ö

ç1 - ÷ +

1 æ

ç1 -

1 öæ

֍1 -

2 ö

÷ + ... +

è n + 1ø

1× 2 è

n + 1ø

1× 2 × 3 è

n + 1øè

n + 1ø

1 æ 1 öæ

2 ö æ

n -1ö

1 æ 1 öæ

2 ö æ n ö

+ ç1 -

֍1 -

÷...ç1 - ÷ +

ç1 -



֍1 -

÷...ç1 - ÷

1× 2 × 3...n è

n + 1øè

n + 1ø è

n + 1ø

1× 2 × 3...(n + 1) è

n + 1øè

n + 1ø è

n + 1ø .

xn bilan

xn+1

ni taqqoslasak,



xn+1

had

xn haddan bitta musbat qo’shiluvchiga ortiqligini


ko’ramiz.

1 - k



n + 1

> 1 - k



n

(k = 1,2,3..., n -1)

bo’lgani uchun uchinchi haddan boshlab

xn+1 dagi

har bir qo’shiluvchi

xn dagi unga mos qo’shiluvchidan katta. Demak, istalgan n uchun

xn+1 > xn va


umumiy hadi

x = æ1 + 1 ö


n ç

n

÷
è n ø

bo’lgan ketma-ketlik monoton o’suvchi.

Endi berilgan ketma-ketlikni chegaralanganligini ko’rsatamiz. Istalgan k=1,2,3,… uchun

1 - k < 1

n
ekanini hisobga olib (17.4) formuladan


n
æ 1 ö 1 1
1
1
...
1

xn = ç1 + ÷ < +

n

+ + +


1× 2 1× 2 × 3

+

1× 2 × 3 × ... × n



è ø

tengsizlikni hosil qilamiz.


So’ngra

1 <



1× 2 × 3

1 , 1 <



22 1× 2 × 3 × 4

1 , ...,

23

1 <



1× 2 × 3 × ... × n

1




2n-1

ekanligini ta‘kidlab tengsizlikni



n
æ 1 ö
æ 1 1 1 1 ö

xn = ç1 + ÷

n

<1 + ç1 + + + + ... + + ...÷

2 22 23 2n-1

è ø è ø

ko’rinishda yozamiz. Qavsga olingan yig’indi birinchi hadi а=1 va maxraji q= 1 bo’lgan

2

geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini ifodalanganligi uchun cheksiz kamayuvchi




geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini topish formulasi

S = a

1 - q
ga asosan



n
æ 1 ö 1

xn = ç1 + ÷

n

<1 +

= 1 + 2 = 3



1

è ø 1 -

2

tengsizlikka ega bo’lamiz. Ketma-ketlik monoton o’suvchi bo’lganligi sababli uning birinchi hadi



x = ç1 + 1÷
= 2 uning qolgan barcha hadlaridan kichik bo’ladi.


1
æ ö

1 è 1ø


Demak, barcha n uchun

2 £ ç1 + 1 ÷ < 3
o’rinli, ya‘ni umumiy hadi
x = ç1 +
n

÷ bo’lgan


n
æ ö



è n ø

æ 1 ö

n è n ø


ketma-ketlik monoton o’suvchi va chegaralangan. Shu sababli u monoton chegaralangan ketma- ketlikning limiti mavjudligi haqidagi 16.1-teoremaga ko’ra chekli limitga ega. Bu limitni е harfi bilan belgilaymiz, ya‘ni

limç1 + 1 ÷
= e .


n
æ ö





n®¥è n ø

е-irratsional son. Keyinroq uni istalgan darajada aniqlik bilan hisoblash usuli ko’rsatiladi.

е = 2,7182818284...



ç

х

÷
Teorema. æ1 + 1 ö

è х ø



funksiya

х ® ¥ da е songa teng limitga ega:



ç1

х

÷
limæ + 1 ö = e

х®¥è х ø
(17.5).

Isboti. 1)

х ® ¥ deylik. U holda

n £ x < n +1;

1 ³ 1 > 1 ,



n x n + 1

1 + 1 ³ 1 + 1 > 1 + 1 ,
æ

ç1 +

1
n+1

ö

÷



³ +

> +

x

n
æ 1 ö æ 1 ö

ç1 ÷ ç1 ÷
bo’ladi. Agar
х ® +¥, u holda

n x n + 1

è n ø

è x ø

è n + 1ø




x

n
n ® ¥ va

lim æ +

1
n+1

ö

÷ ³



lim æ + 1 ö

³ lim æ +



1 ö yoki


ç1
n®¥ è n ø

х®+¥ è x ø

n®¥ è

n + 1ø



ç1

ç1

÷

÷

n

1 ö æ

÷ ç1 +



1 ö

÷ ³ l



æ

im ç1 +

x

1 ö

÷ ³



æ

lim ç1 +

n+1

1 ö æ

÷ ç1 +



-

1 ö

÷


n ø

è

n ø х

®+¥ è

x ø

n®¥ è

n + 1ø

è

n ø



1

æ

lim ç1 +



n®¥ è

x

x
æ ö æ 1 ö

e ×1 ³

lim ç1 + 1 ÷

³ e ×1



bundan

lim ç1 +

÷ = е



kelib chiqadi.

х®+¥ è x ø

х®+¥ è x ø

2) х ® -¥

deylik. Yangi t=-(x+1) yoki х=-(t+1) o’zgaruvchini kiritamiz.

t ® +¥ da

х ® -¥ va


ç1

x

÷
lim æ + 1 ö

= lim æ -



1
-(t +1)

ö

÷

= lim æ t
-(t +1)

ö

÷ =



х®-¥ è x ø

t ®+¥ è

t + 1ø

t ®+¥ è t + 1ø

æ + 1ö

ç1

ç
t +1
æ 1ö
t +1

t
æ 1ö æ 1ö

= lim ç t ÷

t ®+¥ è t ø

= lim ç1 + ÷

t ®+¥ è t ø

= lim ç1 +

t ®+¥ è

÷ ç1 +



t ø è

÷ = е ×1 = e .



t ø

Shunday qilib,


yuritiladi.

lim æ1 + 1 ö = е


ç

x

÷
х®±¥ è x ø
ekanini isbotladik. Bu limit ikkinchi ajoyib limit deb


Agar bu tenglikda

1 = a

х
deb faraz qilinsa, u holda
х ® ¥ da a ® 0
(a ¹ 0) va

1

lim (1 + a )a = е



a ®0

tenglikni hosil qilamiz. Bu ikkinchi ajoyib limitning yana bir ko’rinishi.



ç

x

÷
у =æ1 + 1 ö

è x ø



funksiyaning grafigi 89-chizmada tasvirlangan.








Chizmadan ko’inib turibdiki bu funksiya (-

1,0) intervalda aniqlanmagan, ya‘ni

1 + 1 < 0 ,

x



chunki

1 + 1 = x + 1 va


x +1 > 0, x < 0 .

x x

Izoh. Asosi е bo’lgan

y = ex


ko’ursatkichli funksiya eksponental funksiya deb ataladi. Bu funksiya mexanikada(tebranishlar nazariyasida),
89-chizma.

elektrotexnikada va radiotexnikada, radioximiyada va hokazolarda turli hodisalarni o’rganishda katta rol o’ynaydi.

Izoh. Asosi

е = 2,7182818284... sondan iborat logarifmlar natural logarifmlar yoki Neper


logarifmlari deb ataladi va

log b

loge x

o’rniga

ln x

deb yoziladi. Bir asosdan ikkinchi asosga o’tish

formulasi
mumkin:

log

ab =

c

logc a

dan foydalanib o’nli va natural logarifmlar orasida bog’lanish o’rnatish


lg x =

ln x


ln10

= 1

ln10
ln x = 0,434294 ln x
yoki
ln x = ln10 lg x = 2,302585lg x .


n+8

n 8 n 8

Download 3.89 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
maxsus ta’lim
O’zbekiston respublikasi
zbekiston respublikasi
axborot texnologiyalari
o’rta maxsus
guruh talabasi
nomidagi toshkent
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
xorazmiy nomidagi
toshkent axborot
pedagogika instituti
haqida tushuncha
rivojlantirish vazirligi
toshkent davlat
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
matematika fakulteti
ta’limi vazirligi
samarqand davlat
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
bilan ishlash
pedagogika universiteti
vazirligi muhammad
fanining predmeti
Darsning maqsadi
o’rta ta’lim
navoiy nomidagi
haqida umumiy
Ishdan maqsad
fizika matematika
nomidagi samarqand
fanlar fakulteti
moliya instituti
sinflar uchun
maxsus ta'lim
Nizomiy nomidagi
ta'lim vazirligi
Ўзбекистон республикаси
universiteti fizika
umumiy o’rta
Referat mavzu
таълим вазирлиги
respublikasi axborot
Toshkent axborot
Alisher navoiy
махсус таълим
Buxoro davlat